人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第3課時(shí)）》示范教學(xué)課件

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第3課時(shí)）王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道旁李樹(shù)多子折枝，諸兒競(jìng)走取之，唯戎不動(dòng)．人問(wèn)之，答曰：“樹(shù)在道旁而多子，此必苦李．”取之信然．譯文：王戎七歲的時(shí)候，有一次和一些小孩兒出去游玩，看見(jiàn)路邊的李樹(shù)掛了很多果，壓彎了樹(shù)枝，小孩兒們爭(zhēng)先恐后跑去摘李子，只有王戎站著不動(dòng)．別人問(wèn)他，他回答：“樹(shù)長(zhǎng)在路邊，還有這么多李子，這一定是苦的李子．”拿李子來(lái)一嘗，果真是苦的．王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法進(jìn)行推斷的？假設(shè)“李子甜”，李樹(shù)長(zhǎng)在路邊，有許多人采摘，李子少與已知條件“樹(shù)在道旁而多子”產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立結(jié)論“樹(shù)在道旁而多子，此必苦李”是正確的王戎用了間接推理和判斷的方法，從反面論述了李子為什么是苦的．我們知道，不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如果A，B，C

三點(diǎn)在同一條直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C

還能作出一個(gè)圓嗎？探究ABCmn過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓．已知：A，B，C

是直線l

上的三點(diǎn)．求證：經(jīng)過(guò)A，B，C

三點(diǎn)不能作一個(gè)圓．ABCl探究

如何證明你的結(jié)論？l1l2ABClP證明：假設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓．設(shè)這個(gè)圓的圓心為P．∵PA＝PB＝PC，∴點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線l1

上，也在線段BC的垂直平分線l2上，即點(diǎn)P為l1

與l2

的交點(diǎn)，

而l1⊥l與l2⊥l，這與我們以前學(xué)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾．∴經(jīng)過(guò)同一條直線上的三點(diǎn)A，B，C不能作圓．上面證明“經(jīng)過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓”的方法與我們以前學(xué)過(guò)的證明不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓），由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立．這種方法叫做反證法．反證法已知：在△ABC中，AB≠AC．求證：∠B≠∠C．證明：假設(shè)___________，∴___________（___________）這與_________________矛盾．假設(shè)不成立．∴___________．ABC∠B＝∠CAB＝AC等角對(duì)等邊已知AB≠AC∠B≠∠C練習(xí)如何證明“過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓”？探究ABCD

已知：四邊形

ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．ABCD分析：不在同一條直線上的三點(diǎn)是共圓的，我們可以作出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O，再證明第四點(diǎn)（點(diǎn)D）在⊙O上．

已知：四邊形

ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．如何證明點(diǎn)D在⊙O上？O思考假設(shè)點(diǎn)D不在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O上，會(huì)出現(xiàn)哪些情況？你能對(duì)它們進(jìn)行證明嗎？

假設(shè)點(diǎn)

D不在⊙O上，則點(diǎn)

D在⊙O內(nèi)或點(diǎn)

D在⊙O外．

ABCDOABCOD

證明：過(guò)

A，B，C三點(diǎn)作⊙O，假設(shè)點(diǎn)

D不在⊙O上，則點(diǎn)

D在⊙O內(nèi)或點(diǎn)

D在⊙O外．

（1）若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連接CE，則∠B＋∠E＝180°．ABCDOE∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠E．這與△CDE中，∠ADC＞∠E矛盾，∴點(diǎn)D不在⊙O內(nèi)．

已知：四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．

ABCODE（2）若點(diǎn)D在⊙O外，設(shè)AD交⊙O于E，連接CE，則∠B＋∠AEC＝180°．∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝∠AEC．

這與△CDE中，∠AEC＞∠D矛盾，∴點(diǎn)D不在⊙O外．

綜上，假設(shè)不成立，即點(diǎn)

D在過(guò)

A，B，C三點(diǎn)的圓上．

用反證法證明命題的一般步驟是什么？思考第1步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立．第2步：從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果．

第3步：由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說(shuō)明命題的結(jié)論是正確的．

例1

用反證法證明平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．

解：已知：如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H．求證：∠1＝∠2．根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”，可得A′B′∥CD．證明：假設(shè)∠1≠∠2．過(guò)點(diǎn)G作直線A′B′，使∠EGB′＝∠2．A′B′BFACDEHG12A′B′BFACDEHG12這樣，過(guò)點(diǎn)G就有兩條直線AB與A′B′與直線CD平行．這與平行公理“過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾．這說(shuō)明假設(shè)∠1≠∠2不正確，∴∠1＝∠2．∴兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．用反證法主要解決用直接證法不易證明或不能證明的命題，適用于：（1）結(jié)論是否定型的命題；（2）結(jié)論包含的可能結(jié)果有很多或有無(wú)限種可能情況的命題；（3）結(jié)論含有“至少”“至多”等詞語(yǔ)的命題．

例2

用反證法證明：一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角．解：已知：如圖，∠A，∠B，∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C至少有兩個(gè)銳角．證明：假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)銳角，不妨設(shè)0°＜∠A＜90°，則90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°．因此∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與“三角形內(nèi)角和等于180°”相矛盾．∴一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角．