人教版九年級數(shù)學上冊《二次函數(shù)與一元二次方程》示范教學課件

二次函數(shù)與一元二次方程

1．關于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解為x＝1，則當x＝___時，一次函數(shù)y＝kx＋b

的函數(shù)值為0．1

2．一次函數(shù)

y＝kx＋b

的圖象如圖，則關于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解為_____________．x＝2Oy132xy＝kx＋b

1

3．一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系．一次函數(shù)與一元一次方程

數(shù)：在函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)中，當y＝0

時，x

的值一元一次方程ax＋b＝0

的解

形：函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象與x

軸的交點的橫坐標一元一次方程ax＋b＝0

的解問題如圖，以40

m/s

的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關系h＝20t－5t2．考慮以下問題：（1）小球的飛行高度能否達到15

m？如果能，需要飛行多少時間？（2）小球的飛行高度能否達到20

m？如果能，需要飛行多少時間？（3）小球的飛行高度能否達到20.5

m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時間？

分析：由于小球的飛行高度h

與飛行時間t

有函數(shù)關系h＝20t－5t2，所以可以將問題中h

的值代入函數(shù)解析式，得到關于t

的一元二次方程．如果方程有合乎實際的解，則說明小球的飛行高度可以達到問題中h

的值；否則，說明小球的飛行高度不能達到問題中h

的值．（1）小球的飛行高度能否達到15

m？如果能，需要飛行多少秒？當小球飛行1

s

和3

s

時，它的飛行高度為15

m．解：（1）解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．（1）小球的飛行高度能否達到15

m？如果能，需要飛行多少秒？你能結合上圖指出為什么在兩個時刻，小球的高度為15

m

嗎？Oht132415（2）小球的飛行高度能否達到20

m？如果能，需要飛行多少秒？當小球飛行2

s

時，它的飛行高度為20

m．解：（2）解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．1324Oht20（2）小球的飛行高度能否達到20

m？如果能，需要多少飛行時間？你能結合上圖指出為什么只在一個時刻，小球的高度為20

m

嗎？（3）小球的飛行高度能否達到20.5

m？為什么？因為(－4)2－4×4.1＜0，所以方程無實數(shù)根．這就是說，小球的飛行高度達不到20.5

m．解：（3）解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0．（4）小球從飛出到落地要用多少秒？解：（4）小球飛出時和落地時的高度都為0

m，解方程

0＝20t－5t2，

t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．1324Oht當小球飛行0

s

和4

s

時，它的高度為0

m，這表明小球從飛出到落地要用4

s．從圖來看，0

s

時小球從地面飛出，4

s

時小球落回地面．（4）小球從飛出到落地要用多少時間？1324Oht歸納從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關系密切．例如，已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x

的值為3，求自變量x

的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)．反過來，解方程－x2＋4x＋3＝0又可以看作已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋3的值為0，求自變量x

的值．思考下列二次函數(shù)的圖象與x

軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x

取公共點的橫坐標時，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．

在同一直角坐標系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2＋x－2與x

軸有兩個公共點，它們的橫坐標是－2，1．當x

取公共點的橫坐標時，函數(shù)值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0

的根是－2，1．

在同一直角坐標系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2－6x＋9與x

軸有一個公共點，這點的橫坐標是3．當x＝3

時，函數(shù)值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有兩個相等的實數(shù)根3．

在同一直角坐標系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2－x＋1與x

軸沒有公共點．由此可知，方程x2－x＋1＝0沒有實數(shù)根．反過來，由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應的二次函數(shù)的圖象與x

軸的位置關系．觀看動圖，思考二次函數(shù)圖象與

x軸的公共點與一元二次方程根之間的關系．觀看動圖，思考二次函數(shù)圖象與

x軸的公共點與一元二次方程根之間的關系．歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象可得如下結論．（1）如果拋物線y＝ax2＋bx十c

與x

軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x＝x0時，函數(shù)值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0

的一個根．歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象可得如下結論．（2）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

的圖象與x

軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應著一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

的根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根．

例利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2＝0的實數(shù)根（結果保留小數(shù)點后一位）．解：方法1：畫出函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象（如圖），它與x

軸的公共點的橫坐標大約是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0

的實數(shù)根為x1≈－0.7，x2≈2.7．方法2：我們還可以通過不斷縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根．當自變量x＝2

時，y＜0，當自變量x＝3

時，y＞0，即方程x2－2x－2＝0

在2，3

之間有根．取2，3

的平均數(shù)2.5，當自變量x＝2.5時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，3

之間有根．取2.5，3

的平均數(shù)2.75，當自變量

x＝2.75時，y＞0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，2.75

之間有根．取2.5，2.75的平均數(shù)2.625，當自變量x＝2.625時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.625，2.75

之間有根．重復上述步驟，我們逐步得到：這個根在2.687

5，2.75

之間……可以看到：根所在的范圍越來越小，根所在范圍的兩端的值越來越接近根的值，因而可以作為根的近似值．當要求根的近似值與根的準確值的差的絕對值小于0.1

時，由于|2.687

5－2.75|＝0.062

5＜0.1，我們可以將2.687

5

作為根的近似值．你能用這種方法得出方程x2－2x－2＝0

的另一個根的近似值嗎（要求根的近似值與根的準確值的差的絕對值小于0.1）？當自變量x＝－1

時，y＞0，當自變量x＝0

時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在－1，0

之間有根．取－1，0

的平均數(shù)－0.5，當自變量x＝－0.5時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在－0.5，－1

之間有根．通過取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍．由于|－0.75－(－0.687

5)|＝0.062

5＜0.1，我們可以將－0.6875

作為另一個根的近似值．利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟：（1）畫出函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象；（2）確定拋物線