山東省濱州市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題含解析

PAGE30-山東省濱州市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題（含解析）本試卷共4頁，共22小題滿分150分，考試用時120分鐘.留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件利用隨意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，可得的值．【詳解】解：由于角的終邊經(jīng)過點，則，

．故選：B．【點睛】本題主要考查隨意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合，再依據(jù)交集的定義即可求出.【詳解】解：集合

則.

故選：C.【點睛】本題考查了交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，可得，然后代入，即可得答案.【詳解】解：∵在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，

∴，又，.

故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：，

，

，

∴.

故選：D.【點睛】本題考查對數(shù)式和指數(shù)式的大小比較，是基礎(chǔ)題，解題時要仔細(xì)審題，留意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.5.已知正方形的邊長為（）A.3 B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】干脆依據(jù)向量的三角形法則把所求問題轉(zhuǎn)化為已知長度和夾角的向量來表示，即可求解結(jié)論.【詳解】解：因為正方形的邊長為3，，

則.

故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的求解，關(guān)鍵是要將向量轉(zhuǎn)化為知道模和夾角的向量來表示，是基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)解除,當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)得在上遞減,在上遞增,依據(jù)單調(diào)性分析不正確,故只能選.【詳解】令,則,所以函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱,故不正確,當(dāng)時,,,由,得,由,得,所以在上遞減,在上遞增,結(jié)合圖像分析,不正確.故選:D【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性推斷函數(shù)的圖象,考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性推斷函數(shù)的圖象,屬于中檔題.7.已知，，，為平面內(nèi)的四點，其中，，三點共線，點在直線外，且滿意.其中，則的最小值為（）A.21 B.25 C.27 D.34【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，易得，則，依據(jù)基本不等式的應(yīng)用運算，易得的最小值.【詳解】解：依據(jù)題意，，，三點共線，點在直線外，．設(shè)，，則，，消去得，

（當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立）.

故選：B.【點睛】本題主要考查平面對量的基本定理和基本不等式的應(yīng)用，綜合考查，但難度較低，屬基礎(chǔ)題.8.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的隨意平面所截，假如截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.橢球是橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體，如圖，將底面半徑都為.高都為的半橢球和已被挖去了圓錐的圓柱（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面隨意距離處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明圓=圓環(huán)總成立.據(jù)此，橢圓的短半軸長為2，長半軸長為4的橢球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓=圓環(huán)總成立，求出橢球的體積，代入與的值得答案.【詳解】解：∵圓=圓環(huán)總成立，

∴半橢球的體積為：，

∴橢球的體積，

∵橢球體短軸長為2，長半軸長為4，

∴該橢球體的體積.

故選：C.【點睛】本題考查祖暅原理的應(yīng)用，考查圓柱與圓錐的體積，是基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率狀況，下列敘述中錯誤的是（A.消耗1升汽油乙車最多可行駛5B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多.C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油.【答案】ABC【解析】【分析】過橫軸上某一點做縱軸的平行線，這條線和三條折線的交點的意思是相同速度下的三個車的不同的燃油效率，過縱軸上某一點做橫軸的平行線，這條線和三條折線的交點的意思是相同燃油效率下的三個車的不同的速度，利用這一點就可以很快解決問題．涉及到將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的實力和簡潔的邏輯推理實力.【詳解】解：對于

A，由圖象可知當(dāng)速度大于

40km/h

時，乙車的燃油效率大于

5km∴當(dāng)速度大于

40km/h

時，消耗

1

升汽油，乙車的行駛距離大于

5km，故

A

錯誤；

對于

B，由圖象可知當(dāng)速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時，消耗∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故

B

錯誤；

對于

C，由圖象可知當(dāng)速度為

80km/h

時，甲車的燃油效率為

10km/L，即甲車行駛

10km

時，耗油

1

升，故行駛

1

小時，路程為

80km，燃油為

8

升，故C

錯誤；

對于

D，由圖象可知當(dāng)速度小于∴用丙車比用乙車更省油，故

D

正確.

故選：ABC.【點睛】本題考查學(xué)生對圖表的認(rèn)知和解讀實力，也能體現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)圖象數(shù)據(jù)的處理實力和培育數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，考查學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的實力，是中檔題.10.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點，滿意，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則關(guān)于該雙曲線的下列結(jié)論正確的是（）A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C.離心率為 D.離心率為【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，運用雙曲線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得關(guān)于a，b，c的方程，再由隱含條件即可得到a與b的關(guān)系，求出雙曲線的漸近線方程及離心率即可．【詳解】解：設(shè)，

由，可得，

由到直線的距離等于雙曲線的實軸長，

設(shè)的中點，

由等腰三角形的性質(zhì)可得，，

即有，

，即，

可得，

即有，

則雙曲線的漸近線方程為，即；

離心率．

故選：AC．【點睛】本題考查雙曲線定義、方程和性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的運用，考查方程思想和運算實力，屬于中檔題．11.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是最小正周期為的奇函數(shù)B.是圖像的一個對稱中心C.在上單調(diào)遞增D.先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象.【答案】BD【解析】【分析】化簡函數(shù)，將代入得函數(shù)最值，可求得，進(jìn)而可得，通過計算，可推斷A；通過計算，可推斷B；當(dāng)時，，可得在上的單調(diào)性，可推斷C；通過振幅變換和平移變換，可推斷D.【詳解】解：，當(dāng)時，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函數(shù)，故A錯誤；B：，則是圖像的一個對稱中心，故B正確；C：當(dāng)時，，又在上先增后減，則在上先增后減，故C錯誤；D.將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個單位長度，得，故D正確.故答案為：BD.【點睛】本題考查三角恒等變形，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是中檔題.12.如圖，點是正方體中的側(cè)面上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點存在多數(shù)個位置滿意B.若正方體的棱長為1，三棱錐的體積最大值為C.在線段上存在點，使異面直線與所成角是D.點存在多數(shù)個位置滿意到直線和直線的距離相等.【答案】ABD【解析】【分析】通過證明面，可得當(dāng)點上時，有，可推斷A；由已知，當(dāng)點與點重合時，點到面的距離最大，計算可推斷B；C.連接，因為，則為異面直線與所成的角，利用余弦定理算出的距離，可推斷C；連接，過作交于，得到，則點在以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線上，可推斷D.【詳解】解：A.連接，由正方體的性質(zhì)可得，則面當(dāng)點上時，有，故點存在多數(shù)個位置滿意，故A正確；B.由已知，當(dāng)點與點重合時，點到面的距離最大，則三棱錐的體積最大值為，故B正確；C.連接，因為則為異面直線與所成的角設(shè)正方體棱長為1，，則，點到線的距離為，，解得，所以在線段上不存在點，使異面直線與所成的角是，故C錯誤；D.連接，過作交于，由面，面，得，則為點到直線的距離，為點到直線的距離，由已知，則點在以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故這樣的點有多數(shù)個，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查空間垂直關(guān)系的證明和推斷，考查空間中的軌跡問題，考查幾何體體積的計算，異面直線所成角的計算，是中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分共20分.13.古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為________【答案】【解析】【分析】基本領(lǐng)件總數(shù)，利用列舉法求出取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系包含的基本領(lǐng)件有5種，由此能求出取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率．【詳解】解：古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，

現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，

基本領(lǐng)件總數(shù)，

取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系包含的基本領(lǐng)件有：

水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5種，

則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為．

故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法、古典概型等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．14.已知點，，，均在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值是，則球的表面積為__________【答案】【解析】【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，可得為直角三角形，可求出，由已知得到平面的最大距離，設(shè)球的半徑為，則，由此能求出，從而能求出球的表面積.【詳解】解：設(shè)的外接圓的半徑為，

∵，，則，為直角三角形，且

，∵三棱錐體積的最大值是，，，，均在球的球面上，

∴到平面的最大距離，

設(shè)球的半徑為，則，

即解得，

∴球的表面積為.

故答案為：.【點睛】本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要仔細(xì)審題，留意空間思維實力的培育和球的性質(zhì)的合理運用.15.動圓與圓外切，并與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為__________，過點作傾斜角互補的兩條直線，分別與圓心的軌跡相交于，兩點，則直線的斜率為__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由已知可得點到直線的距離等于到點的距離，即動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，則軌跡方程可求；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可求得直線的斜率．【詳解】解：如圖，

由題意可知，，則，

∴點到直線的距離等于到點的距離，

∴動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，

則其軌跡方程為；

點坐標(biāo)為，設(shè)，

由已知設(shè)：，即：，

代入拋物線的方程得：，即，

則，故，

設(shè)，即，

代入拋物線的方程得：，即，

則：，故，

，

直線AB的斜率，

∴直線AB的斜率為?1．

故答案為：；?1．【點睛】本題考查的學(xué)問點是拋物線的性質(zhì)，直線的斜率公式，考查學(xué)生的計算實力，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵，是中檔題．16.設(shè)是定義在上且周期為6的周期函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)在區(qū)間（其中）上的零點的個數(shù)的最小值為，則__________【答案】，，或（表示不超過的最大整數(shù)）【解析】【分析】由圖象平移可知，為定義在上的奇函數(shù)，可得，又為周期為6的周期函數(shù)，可得，分別求得時，的值，歸納即可得到所求通項．【詳解】將的圖象向左平移1個單位，得到的圖象，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即有的圖象關(guān)于原點對稱，即為定義在上的奇函數(shù)，可得，又為周期為6的周期函數(shù)，可得．

可令，則，即，可得，

當(dāng)時，在上，有；當(dāng)時，在上，有；

當(dāng)時，在上，有；

當(dāng)時，在上，有，，…，

可得

即，或（表示不超過的最大整數(shù)）故答案為：，或（表示不超過的最大整數(shù)）【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，周期性，奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的零點的求法，歸納法和賦值法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分類探討意識，數(shù)學(xué)運算實力，邏輯推理實力和數(shù)學(xué)抽象實力，屬于較難題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17.已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，__________，求△的周長和面積.在①，，②，，③，這三個條件中，任選一個補充在上面問題中的橫線處，并加以解答.【答案】答案不唯一，詳細(xì)見解析【解析】【分析】選擇①：依據(jù)條件求出，，則可求出，再依據(jù)正弦定理可求出，進(jìn)而可得周長面積；選擇②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，聯(lián)立解得：，進(jìn)而可得周長面積；選擇③：由余弦定理可得，則周長可求，再依據(jù)可得，通過面積公式可得面積.【詳解】解：選①因為，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因為，所以，所以△的周長，△的面積.選②因為，所以由正弦定理得，因為，所以.又因為.由余弦定理得所以.解得.所以.所以△的周長.△的面積.選③因為，，所以由余弦定理得，.即解得或（舍去）.所以△的周長，因為，所以，所以△的面積，故答案為：選①△的周長，面積為8；選②△的周長，面積為；選③△的周長9，面積為.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.18.已知為等差數(shù)列，，，為等比數(shù)列，且，.（1）求，的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，進(jìn)而得到；

（2）求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以數(shù)列的通項公式，即.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，，解得，所以數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，則，，兩式相減得，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算實力，屬于中檔題．19.如圖所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）證明：平面平面；（2）點在線段上，試確定點的位置，使平面與平面所成的二面角的余弦值為.【答案】（1）證明見解析；（2）點為線段中點【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，，，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）以為坐標(biāo)原點，以，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點為線段中點時，平面與平面所成的二面角的余弦值．【詳解】解：（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點，以，所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，設(shè)，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得.設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，得，因為平面與平面所成的二面角的余弦值為，所以，整理得，解得或（舍去），所以點為線段中點時，平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查滿意二面角的余弦值的點的位置的推斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力、邏輯推理實力，是中檔題．20.已知橢圓經(jīng)過點，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程組，求得的值，則橢圓方程可求；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形是平行四邊形，可得點坐標(biāo)，把點坐標(biāo)代入橢圓方程，得到，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值．【詳解】解：（1）因為橢圓過點，代入橢圓方程，可得①，又因為離心率為，所以，從而②，聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓為；（2）把代入橢圓方程，得，所以，設(shè)，，則，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以點坐標(biāo)為.又因為點在橢圓上，所以，即.因為.又點到直線的距離，所以平行四邊形的面積，即平行四邊形的面積為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算實力，是中檔題．21.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛藏期.一探討團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)200名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛藏期（單位：天）人數(shù)174162502631（1）求這200名患者的潛藏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述200名患者中抽取40人得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有95%的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)；潛藏期天潛藏期天總計50歲以上（含50歲）2050歲以下9總計40（3）以這200名患者的潛藏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛藏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛藏期是否超過6天相互獨立.為了深化硏究，該探討團(tuán)隊在該地區(qū)隨機調(diào)查了10名患者，其中潛藏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中【答案】（1）（天）（2）填表見解析；沒有的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)（3）最有可能是4人【解析】【分析】（1）利用平均值的定義求解即可；

（2）依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，依據(jù)公式計算，比照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論；

（3）先求出該地區(qū)每名患者潛藏期超過6天發(fā)生的概率，設(shè)調(diào)查的10名患者中潛藏期超過6天的人數(shù)為，由于該地區(qū)人數(shù)較多，則近似聽從二項分布，即，，…，10，由得：，即這10名患者中潛藏期超過6天的人數(shù)最有可能是4人．【詳解】解：（1）（天）.（2）依據(jù)題意，