2024年中考數(shù)學必考考點總結+題型專訓最值問題（原卷版+解析）

專題35最值問題

考點一：利用對稱求最值問題

-------\

知識回顧

1.基本知識點：

①兩點之間線段最短；②點到直線的距離最短。

2,求最值問題的類型

問題基本圖形解題圖形解題思路與步驟

如圖①：如圖，

存在直線1以及直線0.

外的點P和點Q,直P.

___________________1

線/上存在一點M,解題思路：找點作對稱

使得MP+MQ的值解題步驟：

最小。①從問題中確定定點與動

如圖②：如圖，點。

N

已知NMON以及角②作其中一個定點關于動

內一點P,角的兩邊點所在直線的對稱點。通常

0M與ON上存在點O/-----------------------M上情況下其中一個定點的關

0

A與點B,使得4PAB于動點所在直線的對稱點

的周長最小。P'存在，找出即可。

如圖③：如圖：③連接對稱點與另一個定

D

已知NAOB以及角點。與動點所在直線的交點

內兩點點P與點Q,即是動點的位置。然后解

角的兩邊上分別存二1題。

在M、N使得四邊形、R

PQMN的周長最小。

微專題

1.（2023?德州）如圖，正方形A8C￡）的邊長為6,點E在8c上，CE=2.點M是對角線8。上的一個動

點，則EM+CM的最小值是（）

第1題第2題

A.6/B.3A/5C.2A/13D.4^/13

2.（2023?資陽）如圖，正方形ABC。的對角線交于點。，點E是直線BC上一動點.若AB=4,則AE+OE

的最小值是（）

A.472B.275+2C.2713D.2屈

A.1B.72C.V3D.2

4.（2023?廣安）如圖，菱形ABC。的邊長為2,點P是對角線AC上的一個動點，點￡、尸分別為邊A。、

OC的中點，則PE+尸廠的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.75

5.（2023?赤峰）如圖，菱形A8C。，點A、B、C、。均在坐標軸上./A8C=120°,點A（-3,0）,點E

是C￡＞的中點，點尸是0c上的一動點，則尸。+PE的最小值是（）

3

A.3B.5C.2A/2D.-73

2

6.（2023?安順）已知正方形ABC。的邊長為4,E為C￡>上一點，連接AE并延長交的延長線于點R

過點D作DGLAF,交AF于點H,交BE于點G,N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC,

MN.若S'DCG=J_,則MC+MN的最小值為________

S"CE9

7.（2023?內江）如圖，矩形ABCZ）中，AB=6,AD=4,點、E、E分別是AB、OC上的動點，EF//BC,則

AF+CE的最小值是.

8.（2023?賀州）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,E,尸分別是A。，A8的中點，NAOC的平分線

交于點G,點尸是線段QG上的一個動點，則的周長最小值為.

9.（2023?婁底）菱形A8C。的邊長為2,NA8C=45°,點尸、。分別是8C、8。上的動點，C0+P。的最

小值為________

10.（2023?眉山）如圖，點尸為矩形ABC。的對角線AC上一動點，點E為BC的中點，連接PE,PB,若

AB=4,BC=4也,則PE+PB的最小值為

第10題第11題

11.（2023?濱州）如圖，在矩形A8C。中，AB=5,A￡>=10.若點E是邊上的一個動點，過點￡作EP

且分別交對角線AC、直線BC于點。、尸，則在點E移動的過程中,AF+FE+EC的最小值為.

12.（2023?自貢）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是的中點，線段EF在邊AB上左右滑動,

13.（2023?泰州）如圖,正方形ABCD的邊長為2,E為與點。不重合的動點，以為一邊作正方形DEFG.設

DE=di,點、F、G與點C的距離分別為d2、曲，則力+出+曲的最小值為（）

A.72B.2C.2-N/2D.4

14.（2023?安徽）已知點。是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC,/\PAB,APBC,

△PCA的面積分別記為So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,則線段0P長的最小值是（）

35/37省7a

A.C.38D.

F2~~2~

考點二：利用確定圓心的位置求最短路徑

知識回顧

1.解題思路：

通過確定圓心的位置，利用定點到圓心的距離加或減半徑解題。

2.確定圓心的方法：

方法①：到定點的距離等于定長確定圓心。通常存在線段旋轉。

方法②：直徑所對的圓周角等于90°。找90°的角所對直線的中點。通常出現(xiàn)兩個角相等。

/-------------------\

微專題

15.（2023?泰安）如圖，四邊形ABC。為矩形，A8=3,BC=4,點尸是線段BC上一動點，點M為線段

4尸上一點，ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

12

B.—

5

C.713--D.713-2

2

16.（2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB=10,點E為高上的一動點，以BE為邊作等邊ABEF,連

接。尸，CF,貝！）/85=,FB+FD的最小值為

第16題第17題

17.（2023?柳州）如圖，在正方形ABC。中，A8=4,G是BC的中點，點E是正方形內一個動點，且EG

=2,連接DE,將線段。E繞點。逆時針旋轉90°得到線段。F,連接CR則線段CP長的最小值為.

18.（2023?無錫）△A3C是邊長為5的等邊三角形，△OCE是邊長為3的等邊三角形，直線8。與直線AE

交于點?如圖，若點D在△ABC內，ZDBC=20°,則/區(qū)4尸=°；現(xiàn)將△OCE繞點C旋轉

1周，在這個旋轉過程中，線段AF長度的最小值是.

專題35最值問題

考點一：利用對稱求最值問題

知識回顧

3.基本知識點：

①兩點之間線段最短；②點到直線的距離最短。

4.求最值問題的類型

問題基本圖形解題圖形解題思路與步驟

如圖①：如

圖，存在直線1

0.

以及直線外的

P.解題思路：找點作對

點P和點Q,直__________________1

稱

線/上存在一點

解題步驟：

M,使得MP+

①從問題中確定定

MQ的值最小。

點與動點。

如圖②：如

②作其中一個定點

圖，已知NMON2\N

/關于動點所在直線

以及角內一點

的對稱點。通常情況

P,角的兩邊0M

O----------------M下其中一個定點的

與ON上存在點

o關于動點所在直線

A與點B,使得

Pf的對稱點存在，找出

△PAB的周長最

即可。

小。

③連接對稱點與另

如圖③：如

D一個定點。與動點所

圖：已知/AOB

在直線的交點即是

以及角內兩點

動點的位置。然后解

點P與點Q,角

題。

的兩邊上分別

存在M、N使得

cB

四邊形PQMN的

周長最小。

微專題

1.（2023?德州）如圖，正方形ABC。的邊長為6,點E在BC上，CE=2.點〃是對角線

8。上的一個動點，則EM+CM的最小值是（）

A.672B.345C.2A/13D.4屈

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化ME,

MC的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接AE交80于M點，

C關于8。對稱，

：.AE就是ME+MC的最小值，

:正方形A8CD中，點E是BC上的一定點，且CE=6-2=4,

"：62+42,

AE=y$2+42=2、13，

：.ME+MC的最小值是2反.

故選：C.

2.（2023?資陽）如圖，正方形ABC。的對角線交于點。點E是直線3C上一動點.若A5

C.2V13D.2屈

【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關于直線BC的對

稱點A,再連接4。，運用兩點之間線段最短得到A。為所求最小值，再運用勾股定理

求線段AO的長度即可.

【解答】解：如圖所示，作點A關于直線8C的對稱點A,連接AO,其與3c的交點即

為點E,再作。尸，AB交A8于點R

：.AE^A'E,AE+OE^A'E+OE,當且僅當4,O,E在同一條線上的時候和最小，如圖所

示，此時AE+OE=A'E+OE=AO,

:正方形ABC。，點。為對角線的交點，

?*-0F=FB=yAB=2-

與A關于BC對稱，

：.AB=BA'=4,

：.FA,=FB+BA'=2+4=6,

在中，oN=VFO2+FA/2=2^/10,

故選：D.

3.（2023?荷澤）如圖，在菱形ABC。中，AB=2,ZABC=60°,M是對角線BD上的一個

動點，CF=BF,則的最小值為（）

A.1D.2

【分析】當MA+MF的值最小時，4M,尸三點共線，即求4斤的長度，根據(jù)題意判斷

△ABC為等邊三角形，且尸點為2C的中點，根據(jù)直角三角形的性質，求出AF的長度即

可.

【解答】解：當A、M,P三點共線時，即當M點位于時，"A+M/的值最小，

由菱形的性質可知,

AB=BC,

XVZABC=60°,

/.△ABC為等邊三角形，

?一點為8C的中點,AB=2,

：.AF.LBC,CF=FB=\,

在RtAABF中，AF=VAB2-BF2=^3.

故選：C.

4.（2023?廣安）如圖，菱形A3C。的邊長為2,點尸是對角線AC上的一個動點，點E、F

分別為邊A。、0c的中點，則PE+PP的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.V5

【分析】如圖，取AB的中點T,連接PT,FT.首先證明四邊形ADFT是平行四邊形,

推出AD=fT=2,再證明由尸F(xiàn)+PTN尸T=2,可得結論.

【解答】解：如圖，取的中點T,連接尸T,FT.

:四邊形ABC。是菱形，

J.CD//AB,CD=AB,

,;DF=CF,AT=TB,

：.DF=AT,DF//AT,

四邊形AOfT是平行四邊形，

：.AD=FT=2,

:四邊形ABC。是菱形，AE=DE,AT=TB,

：.E,T關于AC對稱，

：.PE=PT,

:.PE+PF=PT+PF,

"：PF+PT^FT=2,

：.PE+PF^2,

：.PE+PF的最小值為2.

故選：A.

5.（2023?赤峰）如圖，菱形A3CD,點A、B、C、。均在坐標軸上.NABC=120°,點A

（-3,0）,點E是CD的中點，點尸是0c上的一動點，則PD+PE的最小值是（

3

A.3B.5C.272D.-73

2

【分析】根據(jù)題意得，E點關于x軸的對稱點是8C的中點E,連接。E交AC與點P,

此時尸Q+PE有最小值，求出此時的最小值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E,連接。E交AC與點

P,此時PD+PE有最小值為DE,

；.OA=OC=3,NDBC=60°,

.?.△BCD是等邊三角形，

：.DE=OC=3,

即PD+PE的最小值是3,

故選：A.

6.（2023?安順）已知正方形A8C。的邊長為4,E為CD上一點、,連接AE并延長交BC的

延長線于點R過點。作。GLAR交AF于點H,交BF于點G,N為跖的中點，M

為BD上一動點,分別連接MC,MN.若“DCG=L，則MC+MN的最小值為____.

S&FCE9

【分析】由正方形的性質，可得A點與C點關于BD對稱，則有MN+CM=MN+AM^AN,

所以當A、M.N三點共線時，MN+CM的值最小為AN,先證明△OCGs△/CE,再由

S

ADCG=1,可知生=工，分別求出。E=l,CE=3,CF=U,即可求出AN.

SAFCE9CF3

?.?四邊形ABC。是正方形，

二4點與C點關于8。對稱，

ACM=AM,

：.MN+CM=MN+AM>AN,

...當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小,

'JAD//CF,

：.ZDAE=ZF,

■:NDAE+NDEH=90°,

'."DG1AF,

；.NCDG+NDEH=90°,

：.ZDAE=ZCDG,

.\ZCDG=ZF,

二△OCGS"CE,

.?SADCG1

^AFCE9

?.?CD—_1,

CF3

???正方形邊長為4,

:.CF=n,

'：AD//CF,

.AD=DE=_1

"CFCET

：.DE=l,CE=3,

在RtZ\CE/中，EF1=CE1+CF2,

：.EF=yl22+122=3,

是EF的中點,

:.EN=3417,

2

在RtZ\ADE中，EA2=AD2+Z)E2,

；.AE="+12=，

:.AN=5A,

2

：.MN+MC的最小值為殳叵，

2

故答案為：殳叵，

2

7.（2023?內江）如圖，矩形A8CZ）中，43=6,4。=4,點E、/分別是AB、0c上的動點,

EF//BC,則AF+CE的最小值是

【分析】延長8C至I]G,使CG=EF,連接FG,則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE

=FG,貝!JAF+CE=AF+PG,可知當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG,

利用勾股定理求出AG的長即可.

【解答】解：延長BC到G,使CG=ER連接FG,

四邊形EFGC是平行四邊形,

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG,

由勾股定理得，AG=JAB?+BG2=個+（4+4）2=I。,

C.AF+CE的最小值為10,

故答案為：10.

8.（2023?賀州）如圖，在矩形中，AB=8,BC=6,E,尸分別是A。，42的中點，

ZADC的平分線交AB于點G,點、P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值

【分析】如圖，在DC上截取使得DT=DE,連接FT,過點T作THLAB于點H.利

用勾股定理求出FT=437,EF=5,證明PE+PF=PF+PT》FT,可得結論.

【解答】解：如圖，在。C上截取。T,使得DT=DE,連接FT,過點T作TT/LAB于點

H.

:四邊形ABC。是矩形，

AZA^ZADT=90°,

VZAHT=9Q°,

四邊形AHTD是矩形，

'：AE=DE=^AD=3.AF=FB=^AB=4,

22

：.AH=DT=3,HF^AF-AH=4-3=1,HT=AD=6,

FT=VFH2+TH2=Vl2+62=，

平分NADC,DE=DT,

:.E、T關于￡>G對稱，

：.PE=PT,

：.PE+PF=PF+PT^FT=V37，

,?"￡F=VAE2+AF2=VS2+42=5'

:AEFP的周長的最小值為5+V37.

故答案為：5+V37.

9.（2023?婁底）菱形ABC。的邊長為2,NABC=45°,點P、Q分別是2C、2D上的動點,

CQ+PQ的最小值為.

【分析】連接A。，作AF/LBC于H，利用SAS證明△AB。也△CBQ,得AQ=C。，當點

A、。、P共線，4。+尸。的最小值為A”的長，再求出A”的長即可.

【解答】解：連接A。，作AH,2c于

：.AB=CB,ZABQ=ZCBQ,

：.AABQ^/\CBQ(SAS),

：.AQ^CQ,

當點A、。、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，

'：AB=2,ZABC=45°,

：.AH=yf2>

：.CQ+PQ的最小值為加，

故答案為：V2.

10.（2023?眉山）如圖，點尸為矩形A8CZ）的對角線AC上一動點，點E為BC的中點，連

接PE,PB,若A8=4,BC=4A/3,則PE+P8的最小值為.

【分析】作點B關于AC的對稱點B',交AC于點F,連接B'E交AC于點P,則PE+PB

的最小值為夕E的長度；然后求出B'8和BE的長度，再利用勾股定理

即可求出答案.

【解答】解：如圖，作點2關于AC的對稱點9，交AC于點「連接2,E交AC于點

P,則PE+PB的最小值為8'E的長度，

?.?四邊形ABCD為矩形，

：.AB=CD=4,ZABC=90°,

在RtzXABC中，AB=4,BC=4百，

；.tan/ACB=^=近，

BC3

AZACB=30°,

由對稱的性質可知，B'B=2BF,B'B±AC,

：.BF=^BC=243,NCBF=6。。,

：.B'B=2BF=4如,

,:BE=BF,ZCBF^6Q°,

.?.△BE尸是等邊三角形，

；.BE=BF=B'F,

...△BE8是直角三角形，

22=22=6;

.?㈤￡=VB/B-BEV(4V3)-(2V3)

J.PE+PB的最小值為6,

故答案為：6.

11.(2023?濱州)如圖，在矩形ABC。中，AB=5,40=10.若點E是邊A。上的一個動點，

過點E作EFLAC且分別交對角線AC、直線BC于點。、F,則在點E移動的過程中，

AF+FE+EC的最4、值為.

【分析】如圖，過點E作于點利用相似三角形的性質求出EH,EF,設

=x,則D￡=10-尤-9=至-無，因為研'是定值，所以AF+CE的值最小時，AF+EF+CE

22

的值最小，SAF+CE=y]s2+x2-X)2+52＞可知欲求AF+CE的最小值相當于

在x軸上找一點P(x,0),使得尸到A(0,5),8(」立，5)的距離和最小，如圖1中，

2

作點A關于x軸的對稱點A',連接54'交x軸于點尸，連接AP,此時朋+P8的值最

小，最小值為線段A'8的長，由此即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點E作于點

:四邊形ABC。是矩形，

AZB=ZBAD=ZBHE=90°,

四邊形A8HE是矩形，

：.EH=AB=5,

VBC=AD=10,

\AC=ylA』2+BC2=452+102=5疾,

'：EF±AC,

：.ZCOF^90°,

AZEFH+ZACB=90°,

'：ZBAC+ZACB^9Q0,

：.ZEFH=ZBAC,

:.△EHFsbCBA,

?EH=FH=EF

"CBABAC，

-5_FH_EF

"1055A/5(

:.FH=>,

22

1S.BF=x,貝ijOE=10-x-$=K-JC,

22

是定值，

：.AF+CE的值最小時，AF+EF+CE的值最小，

VAF+CE=752+X2+^(^,X)2+52)

欲求AF+CE的最小值相當于在x軸上找一點尸(x,0),使得P到4(0,5),8(生,

2

5)的距離和最小，如圖1中，

作點A關于x軸的對稱點,連接BA'交尤z軸于點P,連接AP,此時B4+PB的值最

小，最小值為線段A'2的長，

VA,(0,-5),B(45),

2

?1?A，B=J1O2+吟)2=學

C.AF+CE的最小值為空，

2

：.AF+EF+CE的最〃、值為空+_^_.

22

解法二：過點C作CC'//EF,使得CC'=EF,連接C'F.

C

'：EF=CC',EF//CC',

...四邊形KBC'C是平行四邊形,

：.EC=FC',

"：EF.LAC,

：.AC±CC',

AZACC=90°,

=岳232=J(5遙產+鳥藥喑

：.AF+EC=AF+FC'》AC'=—,

2

：.AF+EF+CE的最小值為空+包區(qū).

22

故答案為：空+且巨

22

12.（2023?自貢）如圖，矩形A8CD中，AB=4,BC=2,G是A。的中點，線段EF在邊

A8上左右滑動，若EF=1,貝UGE+CF的最小值為.

【分析】解法一：利用已知可以得出GC,EF長度不變，求出GE+C尸最小時即可得出

四邊形CGE尸周長的最小值，利用軸對稱得出E,尸位置，即可求出.

2222

解法二：設AE=x,則BF=3-x,根據(jù)勾股定理可得:EG+CF=y]x+l+A/（3-X）+2，

由勾股定理構建另一矩形EFGH,根據(jù)線段的性質：兩點之間線段最短可得結論.

【解答】解：解法一：如圖，作G關于的對稱點G,在CD上截取CW=1,然后連

接8G交A3于E,在E2上截取所=1,此時GE+C廠的值最小，

"：CH=EF=\,CH//EF,

...四邊形EFCH是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

'：AB=4,BC=AD=2,G為邊AO的中點，

...￡>G'=A￡)+AG'=2+1=3,￡)8=4-1=3,

22=3>

由勾股定理得：HG'=^3+3V2

即GE+CF的最小值為3祀.

解法二：?.?AG=』AD=I,

2

設AE^x,則BF=AB-EF-AE=4-x-1=3-尤，

22

由勾股定理得：EG+CF^^/x2+12(3-X)+2;

如圖，矩形EFG”中，EH=3,GH=2,GQ=1,

22+22

：.EP+PQ=y]（3-X）+27X+1'

當E,P,。三點共線時，EP+PQ最小，最小值是3&,

即EG+CF的最小值是372-

故答案為：3M.

13.（2023?泰州）如圖，正方形ABC。的邊長為2,E為與點。不重合的動點，以DE為一

邊作正方形。EFG.設?！?力，點尸、G與點C的距離分別為心、曲，則力+必+力的最

小值為（）

A.72B.2C.242D.4

【分析】連接AE,那么，AE=CG,所以這三個1的和就是AE+EF+FC,所以大于等于

AC,故當AEFC四點共線有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接AE,

?.?四邊形。EFG是正方形，

NE￡）G=90°,EF=DE=DG,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD^CD,ZADC^90°,

ZADE=ZCDG,

：.AADE^/\CDG（SAS）,

：.AE=CG,

I.di+d2+d3=E尸+C/+AE,

...點A,E,F,C在同一條線上時，EF+CF+AE</h,即力+“2+為最小，

連接AC,

:.di+d2+d3最小值為AC,

在RtZXABC中，AC=?AB=2近,

.,.力+必+43最小=AC=2*\/5，

故選：C.

14.（2023?安徽）己知點0是邊長為6的等邊△ABC的中心，點尸在△48C外，AABC,

△B4B,APBC,△PCA的面積分別記為So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,則線段0P

長的最小值是（）

76773

22

【分析】如圖，不妨假設點P在的左側，證明△外2的面積是定值，過點尸作A8的

平行線PM,連接CO延長CO交AB于點R,交PM于點T.因為△抬8的面積是定值，

推出點尸的運動軌跡是直線求出0T的值，可得結論.

【解答】解：如圖，不妨假設點尸在的左側，M,

fA

SAPAB+S/\ABC=SAPBC+SAMC,/

Sl+So=S2+S3,

*/SI+S2+S3=2SO,

Si+5i+So=2,

Si=—So,

2

???△ABC是等邊三角形，邊長為6,

.?.So=返X62=9我,

=973

過點P作AB的平行線PM,連接CO延長CO交48于點R,交于點T.

..?△以8的面積是定值，

點P的運動軌跡是直線PM,

:。是△A3C的中心，

ACTLAB,CTLPM,

：.LAB.RT=^^,CR=3我，O7?=Vs，

22

2

OT=OR+TR=^^~,

2

?：OP、OT,

OP的最小值為顯巨，

當點P在②區(qū)域時，同法可得OP的最小值為工返,

2

如圖，當點P在①③⑤區(qū)域時，0P的最小值為顯巨，當點P在②④⑥區(qū)域時，最小值

為苧

.?.-5--M--一---電---

22

考點二：利用確定圓心的位置求最短路徑

知識回顧

3.解題思路：

通過確定圓心的位置，利用定點到圓心的距離加或減半徑解題。

4.確定圓心的方法：

方法①：到定點的距離等于定長確定圓心。通常存在線段旋轉。

方法②：直徑所對的圓周角等于90。。找90°的角所對直線的中點。通常出現(xiàn)兩

個角相等。

微專題

k___________________/

15.（2023?泰安）如圖，四邊形A8C。為矩形，AB=3,8c=4,點P是線段8C上一動點,

點M為線段A尸上一點，ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

512f—3rrr

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【分析】如圖，取AQ的中點。，連接08,OM.證明/AAW=90°,推出OM=』AQ

2

=2,點M的運動軌跡是以。為圓心，2為半徑的。。.利用勾股定理求出。8,可得結

論.

【解答】解：如圖，取的中點。，連接。2,OM.

???四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD^90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^9Q°,

??ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM^9G°,

AZAMD=90°,

：A0=0r)=2,

：.OM=^AD=2,

2

.?.點M的運動軌跡是以。為圓心，2為半徑的O。.

■：°B=VAB2+AO2=VS2+22=(^13，

C.BM^OB-OM=y[}2-2,

的最小值為-2.

故選：D.

16.(2023?黃石)如圖，等邊AABC中，AB=10,點E為高A。上的一動點，以BE為邊作

等邊ABEF,連接。RCF,則NBCE=,F2+陽的最小值為.

【分析】首先證明△BAE也△■BCP(SAS),推出/氏4石=/2。尸=30°,作點。關于CP

的對稱點G,連接CG,DG,BG,BG交CF于點、F',連接。戶，此時3戶+