中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：新定義問題

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：新定義問題

知識(shí)梳理

新定義問題是一種新題型，指的是：給出新定義，提出新問題，要求學(xué)生認(rèn)真地閱讀，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，通過實(shí)

驗(yàn)、探究、猜想、分析來解決問題.解決本類型題目的關(guān)鍵是理解定義的內(nèi)涵和外延.常見類型有：

⑴定義一種新數(shù)；

(2)定義一種新運(yùn)算；

(3)定義一種新法則；

(4)定義一種新圖形.

典型例題

例1

一個(gè)自然數(shù)a,若將其數(shù)字重新排列可得到一個(gè)新的自然數(shù)b,如果a恰好是b的3倍，我們稱a是一個(gè)“希望

數(shù)”.

⑴請(qǐng)舉例說明“希望數(shù)”一定存在.

(2)請(qǐng)你證明：如果a,b都是希望數(shù)，則ab一定是729的倍數(shù).

分析(1)根據(jù)希望數(shù)的定義可知,428571=3x142857,故此數(shù)即為希望數(shù)；

⑵由于a,b均為希望數(shù)，所以存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于

P的數(shù)字和，根據(jù)整除的判別法可知a為3的倍數(shù)，p為9的倍數(shù)，再由a,b都是“希望數(shù)何知a,b都是27的倍數(shù),

設(shè)a=27%,b=27電(如,電為正整數(shù))代入ab即可得出答案.

解⑴因?yàn)?28571=3x142857,

所以428571是一個(gè)“希望數(shù)”.

⑵因?yàn)閍為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a

的數(shù)字和等于P的數(shù)字和.

因?yàn)閍=3p和a為3的倍數(shù)，但a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，

所以由整除判別法，知p為3的倍數(shù)，

所以p=3m,(m為正整數(shù))，

所以a=3xp=3x3m=9m,

所以a被9整除.

因?yàn)閍的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，

所以由被9整除的判別法可知p能被9整除，即p=9k(k為整數(shù))，所以p=3a=3x9k=27k

所以a是27的倍數(shù)

所以“希望數(shù)”一定能被27整除

因?yàn)閍,b都是希望數(shù)1

所以a,b都是27的倍數(shù)，即a=27nnb=27n2(ji1,處為正整數(shù)).

所以ab=(27ni)(27n2)

第1頁(yè)共9頁(yè)

=(27X27)(7iixn2)

=729711n2,

所以ab一定是729的倍數(shù)

例2

定義一種新運(yùn)算“*”，其規(guī)則是a*b=早.根據(jù)定義解方程：-1*x=：.

Z4

分析根據(jù)題中的新定義，把要求方程的左邊變形為普通的方程，然后去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，

系數(shù)化為1,即可求出X的值.

解由題意得：普=;,

去分母得：2(-l+x)=x,

去括號(hào)得：-2+2x=x,

移項(xiàng)合并得:x=2.

例3

已知:(m-x>(-x)-(x+m)?(-n)=5x+x2-6對(duì)任意的有理數(shù)x都成立,求m(n-l)+n(m+l)的值.

分析利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則將等式的左邊展開并合并同類項(xiàng)，根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件即可求出m,n的

值，再代入計(jì)算即可求解.

解(m-x)?(-x)-(x+m)?(-n)

=—mx+%2+nx+mn

=(—m+n)x+%?+mnf

因?yàn)?m-x>(-x)-(x+m).(-n)=5x+x2-6對(duì)任意的有理數(shù)x都成立，

所以-m+n=5及mn=-6,

原式二2mli+(-m+n)=-12+5=-7.

例4

b

對(duì)任意四個(gè)有理數(shù)a,b,c,d定義新運(yùn)算：9\=ad-bc.

Icfll

⑴根據(jù)規(guī)則，計(jì)算「3=.；

第2頁(yè)共9頁(yè)

⑵已知|2%二4|=18,則x=.

IX1I

分析本題需看清這種運(yùn)算的規(guī)則，將題中的式子轉(zhuǎn)化為計(jì)算題和一元一次方程，再通過計(jì)算求得值.

解⑴原式=3xl-2x5=-7;

⑵轉(zhuǎn)化為一元一次方程：2x-(-4)x=18,

可化為:2x+4x=18,6x=18;

即x=3.

例5

(1)證明:若四個(gè)有理數(shù)a,b,c,d滿足陪=-I廁n+^+n+靜勺最大值為2.

abed\a\\b\|c|\d\

(2)符號(hào)"P表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

①f⑴=0,f(2尸l,f(3尸2,f(4尸3,…

circle2f^)^2,鹿)=3,/g)=4,/g)=5,…

利用以上規(guī)律計(jì)算：募)-/(2013)=_.

(3)代數(shù)式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x」的最小值為一.

分析⑴由已知的等式得到abed為負(fù)值，由兩數(shù)相乘積的去符號(hào)法則得到a,b,c,d中有一個(gè)為負(fù)數(shù)或三個(gè)

為負(fù)數(shù)，若四個(gè)字母中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，利用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)、正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身進(jìn)行化簡(jiǎn)，

求出所求式子的值；若有三個(gè)為負(fù)數(shù)，同理化簡(jiǎn)求出所求式子的值，比較即可得到所求式子的最大值；

(2)由已知的兩列等式得到規(guī)律：/(n)=n-l,/g)=上且n為正整數(shù)，取"2008,分別代入相應(yīng)的運(yùn)算中計(jì)

算，即可得到所求式子的值；

(3)分x<-3,-3<x<-2,-2<x<l,l<x<2,x>2五個(gè)范圍進(jìn)行討論，從而判斷絕對(duì)值中代數(shù)式的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)

意義化簡(jiǎn)，并分別求出所求式子的值，比較即可得到所求式子的最小值.

解⑴依題意也魯=-L得到|abcd|=-abcd,

abed

所以abedvO,即a,b,c,d中有一個(gè)為負(fù)或三個(gè)為負(fù).

⑴當(dāng)有一個(gè)為負(fù)，假設(shè)a<0時(shí)，則有|a|二-a,

此時(shí)言+比+三+等=-1+1+1+1=2,

若b<0或c<0或d<0時(shí)，同理得到言+9+3+9=2.

W網(wǎng)\c\\d\

(ii)當(dāng)有三個(gè)為負(fù)時(shí)，假設(shè)a<0,b<0,c<0時(shí),d>0,則有|a|=-a,|b|=-b,|c|二-c,|d|二d,

止匕時(shí)言+卷+=+告=-1-1-1+1=-2,

⑷網(wǎng)?\d\

若b<0,c<0,d<0或a<0,b<0,d<0時(shí)，同理得到言+卷+。+含=-2.

1?1網(wǎng)?\d\

綜上所述，原式的最大值是2.

(2)根據(jù)上述等式得到/(n)=n-l,/Q)=n(n為正整數(shù))，則/(募)—/(2014)=2014-2013=1.

(3)當(dāng)x￡3,原式=-x-2-x+2-x-3-x+l=-4x-2;

最小值=-4x(-3)-2=10;

當(dāng)一3vxg-2,原式=-x-2-x+2+x+3-x+1=-2x+4;

第3頁(yè)共9頁(yè)

最小值=-2x(-2)+4=8;

當(dāng)-2<x<1,原式=x+2-x+2+x+3-x+1=8;

當(dāng)lSx/2,原式=x+2-x+2+x+3+x-l=2x+6;最小值=8;

當(dāng)xN2,原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2,最小值=10.

綜上代數(shù)式x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-l|6的最小值為8.

雙基訓(xùn)練

S1+S2；…+s,

1.記%=的+a?+…+即,令Tn=稱為ai&2，…,a□這歹U數(shù)的“理想數(shù)已知,a2,...,a500的

“理想數(shù)”為2004那么8為4,...,a50。的“理想數(shù)”為____.

2.聞表示自然數(shù)A的約數(shù)的個(gè)數(shù)例如4有1,2,4三個(gè)約數(shù)，可以表示成[[4]=3.計(jì)算：([18]+[22])-[7]=—.

3.規(guī)定新運(yùn)算※:aXb=3a-2b.若xX(4X1)=7,則x=.

4.定義運(yùn)算2”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為aAb.例如:4A6=(4,6)

+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,18A12=.

5.任何一個(gè)正整數(shù)都可以寫成兩個(gè)正整數(shù)相乘的形式，我們把兩個(gè)乘數(shù)的差的絕對(duì)值最小的一種分解(pWq)稱

為正整數(shù)的最佳分解，并定義一個(gè)新運(yùn)算：F(n)=2例如:12=1x12=2x6=3x4,這時(shí)就有F(12)=:.則F(24)=—.

6.“華”“杯”“賽”三個(gè)字的四角號(hào)碼分別是“2440”“4199”和“3088”,將“華杯賽”的編碼取為244041993088,如果這

個(gè)編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9,1變8等，那么“華杯賽”

新的編碼是—.

7.已知:103=14,87=2,|i=1,根據(jù)這幾個(gè)算式找規(guī)律，如果“=1,那么x=__.

448

8.餐廳里有兩種餐桌，方桌可坐4人，圓桌可坐9人，若就餐人數(shù)剛好坐滿若干張方桌和圓桌，餐廳經(jīng)理就稱

此數(shù)為“發(fā)財(cái)數(shù)”，在1~100這100個(gè)數(shù)中，“發(fā)財(cái)數(shù)”有一個(gè).

9.若定義一種新的運(yùn)算為a*b=鼻,計(jì)算[(3*2)]*i

3.—CIDO

10.對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)a和b,規(guī)定新運(yùn)算*:a*b=a(a+l)(a+2)...(a+b-l),其中a,b表示自然數(shù).如果(x*3)*2=3

660,求x的值.

1L若“!”是一種運(yùn)算符號(hào)，并且1!1=1,2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,4!=4x3x2xl=24,…求膽+99.

第4頁(yè)共9頁(yè)

12.“▽”表示一種新運(yùn)算，它表示xPy=2,黑宙.求3V5的值

/xy(x+l)(y+8)

13.x,y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算"口"及"△"如下:xciy=6x+5y,xAy=3xy.求(2口3)44的值.

14.有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“O,使下列算式成立：紅《,沙｝=總求高。韻勺值?

Z365y456742115

15.規(guī)定a十b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+)-l))(a,b均為自然數(shù),b>a).如果x十10=65,那么x的值

是多少？

16對(duì)于數(shù)a,b規(guī)定運(yùn)算，▽”為aVb=(a+l)x(l一b)若等式(aDaN(a+l)=(a+l)V(aVa))成立,求a的值.

17.a表示順時(shí)針轉(zhuǎn)90°,b表示順時(shí)針轉(zhuǎn)180*表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°,d表示不轉(zhuǎn)，定義運(yùn)算“&”表示“接著轉(zhuǎn)”.求a&

b,b&c,c&a.

18.法國(guó)的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國(guó)的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢(shì)了.如圖24-1

(a)(b)所示，是用法國(guó)“小九九”計(jì)算8x9和6x7的兩個(gè)示例.

8x9=?6x7=?

左手A右手

?.?兩手伸出的手指數(shù)的和為7,?.?兩手伸出的手指數(shù)的和為3,

未伸出的手指數(shù)的積為2.未伸出的手指數(shù)的積為12,

.-.8x9=72..*.6x7=42.

、(8X9=10x(3M)+2x1=72),、(6x7=10x(l+2)Mx3=42),

(a)(b)

圖24-1

⑴用法國(guó)“小九九”計(jì)算7x8,左、右手依次伸出手指的個(gè)數(shù)是多少?

⑵設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請(qǐng)你說明用題中給出的規(guī)則計(jì)算axb的正確性?

第5頁(yè)共9頁(yè)

19.用｛a用示表勺小數(shù)部分,[a]表示不超過a的最大整數(shù)例如:｛0.3｝=0.3,[0.3]=0;｛4.5｝=0.5,[4.5]=4.記f(x)=

需，請(qǐng)計(jì)算｛嗚｝“前｛f(D｝，[f(l)]的值

20.閱讀下列材料，回答問題.

[材料1]乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),即藍(lán)與、:互為倒數(shù)，也就是說，(,a+b=x.則b+a=*

【材料2】乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加,

即(a+b)c=ac+bc.

利用上述材料，巧解下題：(一專)+d一卷+1一1).

能力提升

21.2010減去它的|,再減去剩余數(shù)的J,再減去剩余數(shù)的;，…，依此類推，一直到減去剩余數(shù)的焉,，則最

后剩余的數(shù)是().

11

A.—B.—C.2D.1

20101005

22.在正整數(shù)范圍內(nèi)定義一種“F”運(yùn)算，對(duì)于任意正整數(shù)n,這種運(yùn)算滿足：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),結(jié)果為3n+5;②當(dāng)

n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為匹/2x(其中k是使各為奇數(shù)的正整數(shù))，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，當(dāng)n=26時(shí)，部分運(yùn)算過程如

下：

若n=449,則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是.

23.如有a#b新運(yùn)算,a#b表示a,b中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#

x))=5,則x可以是____(x小于50).

24.若自然數(shù)n使得作豎式加法n+(n+l)+(n+2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“可連數(shù)”，例如32是“可連數(shù)”，因?yàn)?/p>

32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象;23不是“可連數(shù)”，因?yàn)?3+24+25產(chǎn)生了進(jìn)位現(xiàn)象，那么小于200的“可連數(shù)”的個(gè)數(shù)為—

第6頁(yè)共9頁(yè)

25.已知x,y,z.為互不相等的正整數(shù)，目打打｝=1,則x+y+z三.

26.已知正整數(shù)n小于100,且滿足冏+冏+用=%其中X表示不超過x的最大整數(shù)，這樣的正整數(shù)n有一

27.我們規(guī)定：符號(hào)“?！北硎具x擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：503=305=5,符號(hào)“△”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)

的運(yùn)算，例如：5A3=3A5=3,計(jì)算?的結(jié)果是多少?

(。，3匐+(百25)

28.國(guó)際統(tǒng)一書號(hào)ISBN由10個(gè)數(shù)字組成，前面9個(gè)數(shù)字分成3組，分別用來表示區(qū)域、出版社和書名，最后

一個(gè)數(shù)字則作為核檢之用.核檢碼可以根據(jù)前9個(gè)數(shù)字按照一定的順序算得.如:某書的書號(hào)是ISBN7-107-17543-2,它

的核檢碼的計(jì)算順序是：

①7x10+1x9+0x8+7x7+1x6+7x5+5x4+4x3+3x2=207;

②207+11=18........9;

③11-9=2.這里的2就是該書號(hào)的核檢碼.

依照上面的順序,求書號(hào)ISBN7-303-07618-口的核檢碼.

29.現(xiàn)定義一種新運(yùn)算:a&=ab+a-b,如1(88=1x3+1-3=1.

⑴求(2)甑&6).

⑵新定義的運(yùn)算滿足交換律嗎?試舉例說明.

30.小樂發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意有理數(shù)對(duì)(a,b)放入盒中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的有理數(shù)：a3+3a2b+3ab2+

川.例如把(3,-2)放入其中，就會(huì)得到33+3X32X(-2)+3x3x(-2)2+(-2)3=19-18=1.

(1)現(xiàn)將有理數(shù)對(duì)(-2,3)放入盒中得到有理數(shù)m,再將有理數(shù)對(duì)(m,-7)放入盒中后，得到的有理數(shù)是多少？

(2)小樂先放入有理數(shù)對(duì)(2009,—2010),如果再放入有理數(shù)對(duì)(一2010,2009),那么兩次得到的有理數(shù)會(huì)相等嗎?請(qǐng)

你說明理由.

⑶在⑵中.你還能放入有理數(shù)對(duì)(-2009,—),(—,2009)使得得到的有理數(shù)也和得到的有理數(shù)相等.

⑷小樂先放入有理數(shù)對(duì)(m,n),請(qǐng)你放入有理數(shù)對(duì)(),讓得到的有理數(shù)與小樂得到的有理數(shù)相等.

拓展資源

31.已知(2%+I)5=ax5+bx4+ex3+dx2+ex+f,則a―b+c-d+e-f的值為().

A.-1B.lC.243D.-243

+1—4-[W])(取整符號(hào)團(tuán)表示不超

32.在一列數(shù)xx,x2,x3，…中，已知Xi=1且當(dāng)k>2時(shí),.x0=x0-i

過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，例如[[2,6]=2,[0.2]=0),則x2014等于().

第7頁(yè)共9頁(yè)

A.lB.2C.3D.4

33.趙巖、徐婷婷、韓磊不但是同班同學(xué),而且是非常要好的朋友,三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲,且在整個(gè)年

級(jí)中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿地考入自己心儀已久的大學(xué).后來三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次

報(bào)告.報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的a,b,c,...,z26個(gè)字母(不論大小寫)依

X

2

次用1,2,3,...,26這26個(gè)自然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式y(tǒng)=L+1中x為不超過26的正奇數(shù))(其中x

匕-]+13

為不超過26的正偶數(shù)),已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,記號(hào)岡表示不超過x的最大整數(shù)；將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如8T

[等]+13=17,即h變成q,再如11->[y]+1=6,即k變成f.他們給出下列一組密碼：etwcvcjwejncjwwcabqc

匕把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈(zèng)言.現(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來，并簡(jiǎn)單地寫出翻譯過程.

34.閱讀下列材料：

一般地,n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即aa.；a記作a”如2x2x2=23=8,此時(shí)，3叫作1個(gè)以2為底8的對(duì)數(shù)，記

4

為log28(即log28=3).一般地，若a〃=b(a)O且a#l,b>0),則n叫作以a為底b的對(duì)數(shù)，記為log。b(即log.b=n).如:3

=81,,則4叫作以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381(即log381=4).

⑴計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：

log2^=,2og216=log264=

(2)觀察(1)中三個(gè)數(shù)4,16,64之間滿足怎樣的關(guān)系式,log24,log216,log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式？

(3)由⑵的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？

logoM+log4N=(a>0Ha#l,M>0,N>0);

(4)根據(jù)幕的運(yùn)算法則an-am=廢+m以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論.

35.數(shù)學(xué)上，為了簡(jiǎn)便，把1到n的連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的乘積記作：n!,即n!=lx2x3x...x(n-l)xn,,將上述n個(gè)

自然數(shù)的和記作￡之》，即￡屋Lk=l+2+3+-+n則|^+￡言容—￡如汴=.

第8頁(yè)共9頁(yè)

211

1.20082.53.94.425.-6.2549489039817.-8.889.—10.3

一386

11.^—12.—013.32414.—15.2

9801003835

16.017.a&b=c,b&c=a,c&a=d.

18.(1)按照?qǐng)D中示例可知：要計(jì)算7x8,左手應(yīng)伸出7-5=2個(gè)手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個(gè)手指；

(2)按照?qǐng)D中示例可知:要計(jì)算axb.左手應(yīng)伸出(a-5)個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-(a-5)=10-a;右手應(yīng)伸出(b-5)個(gè)手

指，未伸出的手指數(shù)為5-(b-5)=10-b,故兩手伸出的手指數(shù)的和為(a-5)+(b-5)=a+b-10,

未伸出的手指數(shù)的積為(10-a)x(l0-b)=100-10a-10b+axb,

根據(jù)題中的規(guī)則,axb的結(jié)果為10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb),

而10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb)=10a+