二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)大題（五大題型）解析版-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

二次看裁蟠倒也鳥哪質(zhì)火疆Cl火盤JP

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一.二次函數(shù)的性廉

二次函數(shù)y=ax2-\-bx+c（a#0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-g，——），對稱軸直線x=--^-，二次函數(shù)y=ax2-\-bx

2a4Q2a

+C（Qw0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y—ax2+bx+C（QWO）的開口向上，時(shí)，g隨i的增大而減?。粁時(shí)，y

2a2a

隨力的增大而增大；力=-擊時(shí)，g取得最小值當(dāng)券,即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).

②當(dāng)aV0時(shí)，拋物線y—ax2+bx+C（QWO）的開口向下，x<—^—時(shí)，g隨力的增大而增大；時(shí)，y

2a2a

隨，的增大而減??；，="時(shí)，y取得最大值4aL,即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

2a4a

③拋物線y=ax2+bx+c（a半0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左平移|個(gè)單位，再向上或

2a

向下平移|4力-七個(gè)單位得到的.

4a

題型二.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)夕=ax~+bx+c（a豐0）

①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，㈤越大開口就越小.

②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對稱軸在g軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即abV0）,對稱軸在y軸右側(cè).（簡稱:左同

右異）

③.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與?/軸交點(diǎn).拋物線與"軸交于（0,c）.

④拋物線與c軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

△="―4ac>0時(shí)，拋物線與￡軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí),拋物線與立軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac<0

時(shí)，拋物線與，軸沒有交點(diǎn).

題型三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

⑴二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）；②頂點(diǎn)式：夕=a（x—h）2+k（a,h,k是常數(shù)，a片。），

其中仇，％）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a（x—（x—X2）（a,b,c是常數(shù)，a#0）；

（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值

求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí),常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物

線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解;當(dāng)已知拋物線與，軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式

為交點(diǎn)式來求解.

題型四.拋物線與多軸的交點(diǎn)?M

2

求二次函數(shù)Vnaa？+bz+c（o,b,c是常數(shù)，aW0）與2軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令沙=0,即ax+bx+c=0,解關(guān)于c的

一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)夕=aar+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a片0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系.

△=b2-4ac決定拋物線與刀軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

△=62-4ac＞0時(shí),拋物線與土軸有2個(gè)交點(diǎn)；

△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與土軸有1個(gè)交點(diǎn)；

△=b2-4acV0時(shí)，拋物線與t軸沒有交點(diǎn).

（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：g=aQ—的）（①一3）（a，b，c是常數(shù)，a20）,可直接得到拋物線與，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

（如o）,（，2,o）.

典型五.二次函數(shù)綜合JS

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào),然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào),

再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng).

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問

題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條

件.

（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題

從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二

次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義.

壓軸題預(yù)測

題型一.二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）

［題目1〕（2024*石景山區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A（xlf協(xié)），B（x2y%）是拋物線g=—/+b力（b

#0）上任意兩點(diǎn),設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=h.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)⑵0）,求八的值；

（2）若對于名尸九一1,力2=2九，都有%＞統(tǒng),求九的取值范圍；

（3）若對于九一九+1,—24電L存在％＜紡，直接寫出九的取值范圍.

【分析】⑴根據(jù)對稱軸力=—J-進(jìn)行計(jì)算，得=無，再把（2,0）代入。=—#0）,即可作答.

2

（2）因?yàn)锳（xi,yj,B（X2,yj是拋物線y=-x-\-bx（b#0）上的點(diǎn)，所以把x}=h—1,x2=2h分別代入，得出

對應(yīng)的勿，紡,再根據(jù)yi＞紡聯(lián)立式子化簡，計(jì)算即可作答；

（3）根據(jù)h—2W6九+1,-2W624-1,存在紗，得出當(dāng)一2＜h—2V—1或者-2V九+1V—1,即可

作答.

［解答］解:（1）V拋物線的對稱軸為直線/二九，

即b=2h,

/.拋物線g=—x2+2/zrr,

把（2,0）代入g=—力n+2九力,

得0——4+2hx2,

解得h=1;

（2）由（1）知拋物線g=—/+2人力，

4力1，Vi），-B（X2,紡）是拋物線y-—x^-Vlhx上任意兩點(diǎn),

2A=—（h—1）?+2九仇一1）—廿—1,緲=—（2九）?+2拉X2h—0,

??,對于?=r一1,x2=2%，都有y{>y2,

廿一1>0,

解得九>1或九<—1;

（3）VA（xlf%），B（rc2,紡）是拋物線g=—/+2九力上任意兩點(diǎn)，

*/對于九一2W力/i+1,-2<22&-1,存在yi<y?,且

（/z—2,7/i）關(guān)于直線C二九的對稱點(diǎn)為（無+2,%）,仇+1,%）關(guān)于直線力=無的對稱點(diǎn)為仇一1,仍），

:.當(dāng)一2<Ch—2V—1時(shí)，存在y1<爭2,

解得OV/iVl,

當(dāng)一2V九+2V—1時(shí)，存在mV統(tǒng)，

解得一4〈九V—3,

當(dāng)一2〈九十1V—1時(shí)，存在"V紡，

解得一3VhV—2,

當(dāng)一2<1h—1V—1時(shí)，存在yi<紡，

解得一1V/iVO,

綜上，滿足后的取值范圍為一4〈無<1且ZiWO.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、增減性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

題目區(qū)（2024-鹿城區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y=—/+2柢+3.

（1）若它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）,求該函數(shù)的對稱軸.

（2）若0W，W4時(shí)，沙的最小值為1,求出t的值.

（3）如果A（m—2,n）,C（m,n）兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，直線y=2mx+a與該二次函數(shù)交于M

（傷，%）,"（力2，紡）兩點(diǎn)，則力1+62是否為定值？若是，請求出該定值;若不是，請說明理由.

【分析】（1）把（1,3）代入解析式求出t=],再根據(jù)對稱軸公式求出對稱軸：

（2）根據(jù)拋物線開口向下，以及2=0時(shí)9=3,由函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)工=4時(shí)，夕的最小值為1,然后求t即

可；

（3）A（m—2,n）,C（m,n）兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，有對稱軸公式得出m—t=1,再令一步+2旅+

=

3=2mx+a,并轉(zhuǎn)化為一^殳式，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1-\-x2—2.

【解答】解：（1）將（1,3）代入二次函數(shù)y=—x2-\-2tx+3,得3——1+23+3,

解得力=],

/.對稱軸直線為x=---，1=力=、_；

—1X22

（2）當(dāng)力=0時(shí)，g=3,

,拋物線開口向下，對稱軸為直線/=力，

/.當(dāng)力=力時(shí)，g有最大值，

???04/44時(shí)，0的最小值為1,

當(dāng)re=4時(shí)，。=—16+8t+3=1,

解得力=：;

（3）劣1+42是定值，理由：

A（m—2,n）,C（m,n）兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,

772一力=1,

令一力2+2力力+3=2mx+a,

整理得：a:2+2（m—t）x+Q—3=0,

直線y=2mx+a與該二次函數(shù)交于M（xlfyj,N（x2,仍）兩點(diǎn)，

/.x1962是方程力,+2（館一方）力+a-3=0的兩個(gè)根，

力1+/2=_2（.__>=—2（m—t）=-2是定值.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

|題目包（2024-拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=Q/2—（0+2）力+2經(jīng)過點(diǎn)4（-2,^）,

⑴若力=0,

①求此拋物線的對稱軸；

②當(dāng)「V力時(shí)，直接寫出M的取值范圍；

（2）若9V0,點(diǎn)C（n,q）在該拋物線上，m〈口且5恒+5九V—13,請比較p,q的大小，并說明理由.

【分析】（1）①當(dāng)力=0時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一2,0）,將其代入函數(shù)解析式中解得Q=—1,則函數(shù)解析式為拋物

線的解析式為y=—/—a；+2,再根據(jù)求對稱軸的公式/=—/即可求解；

②令g=0,求出拋物線與力軸交于（一2,0）和（1,0）,由題意可得0Vo，則點(diǎn)B在力軸的下方，以此即可解

答；

（2）將點(diǎn)/坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過力V0可得Q的取值范圍，從而可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)

點(diǎn)、B,C到對稱軸的距離大小關(guān)系求解.

【解答】解：（1）①當(dāng)力=0時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一2,0）,

拋物線y—ax2—（a+2）x+2經(jīng)過點(diǎn)4（—2,0）,

4a+2（a+2）+2=0,

a=—1,

拋物線的解析式為g=-/一力+2,

/.拋物線的對稱軸為直線力—...三一-=—《;

2x（-1）2

②令。=0,則一力之一力+2=0,

解得：名尸1,22=—2,

/.拋物線與力軸交于（一2,0）和（1,0）,

丁點(diǎn)4—2,0）,，且pV0,

???點(diǎn)在/軸的下方，

m<—2或？71>1.

（2）pVq,理由如下：

將（一2,力）代入g=ax1—（a+i）x+2得力=4a+2（a+2）+2=6a+6,

,??力V0,

6a+6<0,

dV—1,

???拋物線開口向下，

拋物線對稱軸為直線,=_-（；+2）=工+4，

2aa2

*.*ObV—1,

—<0,

a

"2<a+2<2,

TV且5m+5n<—13,

.m+n?1371

??F-〈一元〈一萬’

.?.點(diǎn)B（m,p）到對稱軸的距離大于點(diǎn)C（n,q）到對稱軸的距離,

--.p<q.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的

關(guān)系.

題型二.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）

題目目（2023?南京）已知二次函數(shù)2/=遍一2岫+3（（1為常數(shù)，&片0）.

（1）若QV0,求證:該函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

（2）若a=—1,求證：當(dāng)—1V/V0時(shí)，g>0.

（3）若該函數(shù)的圖象與N軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（371，0）,（力2,0），且一IV的<力2V4,則a的取值范圍是—a>3

或aV—1—.

【分析】（1）證明匕2一4。。>0即可解決問題.

⑵將a=-l代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可.

（3）對a>0和aVO進(jìn)行分類討論即可.

【解答】證明：（1）因?yàn)椋ㄒ?a）2—4xax3=4Q2—i2a,

又因?yàn)閍VO,

所以4QV0,a—3<0,

2

所以4a—12a=4Q（Q—3）>0,

所以該函數(shù)的圖象與力軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

（2）將a=—1代入函數(shù)解析式得，

y=—/+2力+3=—（力—1）2+4,

所以拋物線的對稱軸為直線力=1,開口向下.

則當(dāng)一1〈力V0時(shí)，

g隨力的增大而增大，

又因?yàn)楫?dāng)力=—1時(shí)，y—0f

所以g>0.

（3）因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線力=1,且過定點(diǎn)（0,3）,

又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與力軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（為，0）,（電，0）,且一1V力%2V4,

所以當(dāng)a>0時(shí)，

CL—2a+3V0,

解得a>3,

故a>3.

當(dāng)aVO時(shí)，

a+2a+3V0,

解得QV—1,

故aV—1.

綜上所述，。>3或。<一1.

故答案為：Q>3或Q<—1.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目支）（2024*南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,%）,（3,偽）在拋物線"=+上.

（1）求拋物線的頂點(diǎn)（館,0）;

（2）若明<仍，求血的取值范圍；

（3）若點(diǎn)（&,y°）在拋物線上,若存在—1VgVO,使納〈沙0〈例成立,求小的取值范圍.

【分析】（1）利用配方法將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可直接得到答案；

2

（2）由y?y2,得到1—2?n+m<9—6m+7n、解不等式即可；

（-^-+1<m（T+l<m

（3）由題意可館知［二或1一小，解不等式組即可.

【解答】解：（1）V拋物線y=x2—2mx+ni—（x—m）2.

：.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）.

故答案為:（m,0）;

⑵,?,點(diǎn)（1,%）,（3,紡）在拋物線y=/—2TTI力+病上，且幼〈紡,

1—2m+m2<9—6m+m2,

m<2;

（3）???點(diǎn)（g,jo）在拋物線上，存在一1VgVO,使依〈,0<統(tǒng)成立，

‘VT〉山或j寸〉小，

解得0<m<-|-.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

［題目回（2024?北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax^+bx+3經(jīng)過點(diǎn)（—2a,3）.

（1）求該拋物線的對稱軸（用含有a的代數(shù)式表示）；

（2）點(diǎn)M（t-2,m）,N（t+2,n）,為該拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)t,使得小>外>“求a的取

值范圍.

【分析】⑴將點(diǎn)（-2a⑶代入拋物線9=切2+也+3中，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式代入數(shù)值，即可得

出答案；

（2）分類討論當(dāng)a>0和a<0,利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)就可以得出a的取值范圍.

【解答】解⑴拋物線y=a^+bx+3經(jīng)過點(diǎn)（一2a,3）,

把（—2a,3）代入g=a^?-\-bx+3得aX（―2a）2—2ab+3=3,

/.b=2a2,

y=ax2-\-2a2x+3,

拋物線的對稱軸x=—學(xué)^——a,

2a

答:拋物線的對稱軸為：力=—a;

（2）①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口方向向上，對稱軸力=—aV0,在優(yōu)軸的負(fù)半軸上，所以越靠近對稱軸函數(shù)值

越小，

???當(dāng)土VO時(shí),

M(t—2,m),N(t+2,n),P(—t,p)在拋物線上，

t—2V力+2,

此時(shí)0>?71>?1與題干772>口>「相矛盾，故舍去，

???當(dāng)力>0時(shí)，

*.*M(t—2,m),N(t+2,n),P(—t,p)在拋物線上,

t——2V力+2,

.■.此時(shí)m<n與題干m>n>p相矛盾，故舍去；

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口方向向下，對稱軸a?=—a>0,在a?軸的正半軸上，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越

大，

.?.當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)”、N分別在對稱軸同側(cè)時(shí)，

M(t-2,m),N(t+2,n),P(-t,p)在拋物線上，

t—2V力+2,

J：m>n>p,

此時(shí)0V—CL<Ct—2,即2—力VQVO,

：.t>2,

：.當(dāng)1>0時(shí)，點(diǎn)A/、N分別在對稱軸兩側(cè)時(shí)，

M(t—2,m),N(t+2,n),在拋物線上，

t——2<Ct<Ct+2,

p>m>n與題干?71>口>「相矛盾，故舍去，

當(dāng)tVO時(shí)，且點(diǎn)A/、N分別在對稱軸兩側(cè)時(shí)，

M(t—2,m),N(t+2,n),在拋物線上，

t——2<Ct<Ct+2,

:?n>m與題干?7i>7i>p相矛盾，故舍去，

當(dāng)大VO時(shí)，且點(diǎn)M、N分別在對稱軸同側(cè)時(shí)，

M(t—2,m),N(t+2,n),在拋物線上，

t——2V七V力+2,

:?n>m與題干?7i>7i>p相矛盾，故舍去，

答：a的取值范圍為2—tVa<O(t>2).

【點(diǎn)評】本題考查的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的增減性，正確運(yùn)用屬性結(jié)合思想是本題做題的關(guān)鍵.

題目可(2024?張家口一模)某課外小組利用幾何畫板來研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式"=/

+甌+c,通過輸入不同的6,c的值,在幾何畫板的展示區(qū)內(nèi)得到對應(yīng)的圖象.

(1)若輸入6=2,c=—3,得到如圖①所示的圖象,求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線與c軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

(2)己知點(diǎn)P(—1,10),Q(4,0).

①若輸入6,c的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)，求出b,c的值；

②淇淇輸入伍嘉嘉輸入c=—1,若得到二次函數(shù)的圖象與線段PQ有公共點(diǎn)，求淇淇輸入b的取值范圍.

7

【分析】（1）將6=2,c=—3,代入函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可；

（2）①待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

②將c=—1代入解析式，得到拋物線必過點(diǎn)（0,—1）,求出x=—1和2=4的函數(shù)值，根據(jù)拋物線與線段PQ

有公共點(diǎn)，列出不等式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：（l）y=x2+bx+c,

解：當(dāng)b=2,c=—3時(shí)，沙=X2+2X—3=（a;+1）2—4,

頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（一1,一4）;

當(dāng)沙=0時(shí)，X2+2X—3=0,即（￡+3）（2一1）=0,

解得:?=—3,x2=1,

.?.4—3,0）,B（l,0）;

（2）①拋物線恰好經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)，

1—6+c=10

則：

16+4b+c=0'

b=-5

解得:

c=4'

②當(dāng)c——1時(shí)，y=x2+bx—1,

當(dāng)2=0時(shí)，y=_1,

二.拋物線過（0,-1）,

當(dāng)x=-1時(shí)，g=l—b—1——b,

當(dāng)點(diǎn)（一1,-b）在點(diǎn)P上方，或與點(diǎn)P重合時(shí)，拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，

即：-6>10,

解得:bW—10;

當(dāng)c=4時(shí)，沙=16+4b—l=46+15,

當(dāng)點(diǎn)（4,15+4b）在點(diǎn)Q上方，或與點(diǎn)Q重合時(shí)，拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，

即：15+4b》0,b>—寧；

綜上：5&-10或6>—學(xué).

4

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

題目回（2024-浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)y=a^-4,ax+c（a,c均為常數(shù)，a片0）,己知函數(shù)值y和自變量x的

部分對應(yīng)取值如下表所示：

X-1025

ym3Pn

⑴判斷小，外的大小關(guān)系，并說明理由;

（2）若3m—2n=8,求p的值；

（3）若在九，p這三個(gè)數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

（分析】（1）根據(jù)所給函數(shù)解析式，可得出拋物線的對稱軸為直線z=2,據(jù)此可解決問題.

（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可求出山的值,據(jù)此即可解決問題.

（3）根據(jù)小和ri相等，所以三個(gè)數(shù)中的負(fù)數(shù)只能為p,據(jù)此可解決問題.

【解答】解：（l）?7l=7Z.

因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式為y=ax2—4ax+c,

所以拋物線的對稱軸為直線①=—二區(qū)=2,

2a

又因?yàn)椤?:5=2,

所以點(diǎn)（一1,m）與（5,n）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

故m=n.

（2）因?yàn)?？n=,3m—2x1—8,

所以nz=8.

將（0,3）和（一1,8）代入函數(shù)解析式得，

Jc=3

ta+4a+c=8J

解得｛:二；

所以二次函數(shù)的解析式為g=46+3.

將力=2代入函數(shù)解析式得，

p=22-4x2+3=-l.

（3）由⑴知，m=71,

所以m,n,p中只能p為負(fù)數(shù).

將（0,3）代入函數(shù)解析式得，

c=3,

所以二次函數(shù)解析式為y=ax2—4：ax+3.

將力=—1代入函數(shù)解析式得，

m=5a+3.

將n=2代入函數(shù)解析式得，p=—4a+3.

則J-4a+3Vo

[5a+3>0'

解得a>+，

所以a的取值范圍是a>3.

4

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的圖象和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目可（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線g="+（2m—6）力+1經(jīng)過點(diǎn)（一小,幼），（口,紡

）,（m+2,7/3）-

（1）若％=7/3，求拋物線的對稱軸；

（2）若g2Vg3V%,求nz的取值范圍.

【分析】⑴利用對稱軸意義即可求解；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于TH的不等式組，解不等式組即可.

【解答】解：⑴:拋物線g=/+（2m—6）x+1經(jīng)過點(diǎn)（一山,％）,（m,統(tǒng)）,（m+2,T/3），Vi—紡,

4rH

該拋物線的對稱軸為：直線，=f2+2，即直線劣=1；

⑵當(dāng)？72>0時(shí)，可知點(diǎn)（—772,?/1）,（m,y2）,（館+2,7/3）從左至右分布,

:V2<y^<yi,

解得1V?nV2;

當(dāng)？nV0時(shí)，

m<—m<—m+3,

*'?例>Vi,不合題意,

綜上，m,的取值范圍是1VmV2.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

［題目（2024*浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-\-bx+C（Q,b,c為常數(shù)，且Q#0）經(jīng)過

4—2,—4）和B（3,l）兩點(diǎn).

（1）求b和。的值（用含Q的代數(shù)式表示）;

出若該拋物線開口向下，且經(jīng)過。（2小一3,八），。（7—2恒,打）兩點(diǎn)，當(dāng)心一3〈力〈上+3時(shí)，"隨力的增大

而減小,求k的取值范圍；

⑶已知點(diǎn)州（一6,5）,N（2,5）,若該拋物線與線段7W恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象，求Q的取值范圍.

【分析】（1）把4（—2,—4）和B⑶1）代入g=a力之+匕力+。，即可求解；

（2）先求出對稱軸為：直線/=2,結(jié)合開口方向和增減性列出不等式即可求解；

（3）分a>0時(shí)，aVO時(shí)，結(jié)合圖象即可求解.

【解答】解:⑴把4（-2,-4）和8（3,1）代入g=ax'+bx+c,

4a—2b+c=—4

得:

9Q+3b+c=1

b=l-a

解得:

c=—6a—2

（2）V拋物線經(jīng)過。（2m—3,n）,￡）（7—2m,n）兩點(diǎn)，

拋物線的對稱軸為：直線c=223了―2m=2,

,?,拋物線開口向下，

當(dāng)fc—3<rc<fc+3時(shí)，g隨力的增大而減小，

?,.k—3）2,即心5;

（3）①當(dāng)a>0時(shí)，力=-6,。>5,即0義（一6）2+（1-a）x（-6）-6a-2>5,

解得:■，拋物線不經(jīng)過點(diǎn)N,

36

如圖①,拋物線與線段MN只、有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：a>裝；

36

10

M

圖①

②當(dāng)aV0時(shí)，若拋物線的頂點(diǎn)在線段MN上時(shí)，則4加「b?=4a(―6a-?—(1-a)-=g,

4Q4a

解得：5=-1,a，2~—,

此時(shí)，定點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足一6W—《W2,符合題意：

當(dāng)Q1=-l時(shí),如圖②，拋物線與線段1W只有一個(gè)交點(diǎn),

圖③

此時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不滿足—64J—AW2,不符合題意，舍去;

若拋物線與線段AW有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn)N時(shí)，把N⑵5)代入夕=ax2+(1-a)z-6a-

2,得:

5=a義2?+(1—a)X2—6a—2,

解得:a=—|-,

當(dāng)a=一年時(shí)，如圖④,拋物線和線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn)N,

y

M

p\、力

A]\

圖④

結(jié)合圖象可知：QV—1?時(shí),拋物線與線段MN有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述：a的取值范圍為：或a=-1或a<―

364

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，根據(jù)題意畫出圖象，分類討論是解題的關(guān)鍵.

題目11]（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,3）,（6,%）在拋物線沙=。

0）上.

（1）當(dāng)%=3時(shí),求拋物線的對稱軸；

（2）若拋物線y=ax2-\-bx+c（aW0）經(jīng)過點(diǎn)（一1,一1）,當(dāng)自變量x的值滿足一1《力42時(shí)，沙隨力的增大而

增大，求Q的取值范圍；

（3）當(dāng)Q>0時(shí)，點(diǎn)（館―4,紡），（館,例）在拋物線"=。/+法+C上.若紡VmVc,請直接寫出m的取值范

圍.

【分析】（1）當(dāng)仇=3時(shí)，（0,3）,（6,3）為拋物線上的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性求出對稱軸；

（2）把（0,3）,（—1,一1）代入拋物線解析式得出Q,b的關(guān)系，然后求出對稱軸，再分a>0和aV0,由函數(shù)的

增減性求出Q的取值范圍；

（3）先畫出函數(shù)圖象,再根據(jù)y2<確定rrz的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)陰=3時(shí)，（0,3）,（6,3）為拋物線上的對稱點(diǎn),

?0+6&

??力=---=3,

???拋物線的對稱軸為直線N=3;

⑵丁y—a^+bx+c（aW0）過（0,3）,（―1,—1）,

.\c=3,a—b+3=—1,

b=a+4,

/.對稱軸為直線力-二—4,

2a2a

①當(dāng)Q>0時(shí)，

:一14力42時(shí)，g隨力的增大而增大，

解得a44,

六0Va44;

②當(dāng)aVO時(shí)，

???-14力&2時(shí)，g隨力的增大而增大，

解得a)--g,

5

4

——&aV0,

5

綜上：a的取值范圍是一名WaVO或0VaW4;

5

⑶?點(diǎn)(0,3)在拋物線y=ax2+bx+c上，

I.c=3,

2

，?點(diǎn)(m—4,例),(m,7/2)在拋物線y=ax+bx+c上,

對稱軸為直線力=7n+7n—m—2,

①如圖所示：

???g2Vyi<c,

.??7nV6且？n—2>。,6—3,

/.5<m<6;

丁沙2VVi<c9

m—4>6,

:.m>10,

綜上所述，m,的取值范圍為5V771V6或m>10.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合和

分類討論的思想進(jìn)行解答.

題型三.特定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(共3小題)

題目電(2024-保山一模)如圖,拋物線y=ax2+bx+c過>1(-2,0),B(3,0),(7(0,6)三點(diǎn)；點(diǎn)P是第一象限

內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m■，且5VnzV3.

(1)試求拋物線的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P作PN，土軸并交BC于點(diǎn)N,作，y軸并交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,若PM=j-PN,求m

【分析】(1)將A,B,。三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可解決問題.???

(2)用nz表示出和PN,建立關(guān)于館的方程即可解決問題.

【解答】解：⑴由題知，

(4。一2b+c=0

將A,B,。三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，(9Q+3b+c=0,

[c=6

(a=-l

解得(b=1,

[c=6

所以拋物線的表達(dá)式為y=—+6.

(2)將力=小代入拋物線得表達(dá)式得，

y=—rr^-\-m+6,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,—m2+m+6).

令直線BC的函數(shù)解析錄為y=px~\~q,

則產(chǎn)廳=。，

解得卜

lq=6

所以直線8。的函數(shù)解析式為夕=-2n：+6.

因?yàn)閂V3,且拋物線的對稱軸為直線c=q,

1

所以PM—m——.

又因?yàn)辄c(diǎn)N坐標(biāo)為(m,—2m+6),

所以PN=—rr^+m+6—(—2m+6)=—m2+3m.

因?yàn)镻M==PN,

所以?n—=-^-(―m2+3m),

解得m=1玄逐,

又因?yàn)?lt;m<3,

所以m,

【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目13](2024*東營區(qū)校級(jí)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=—2x+8與拋物線y=-x2-\-bx

+c交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)石在力軸上，點(diǎn)4在g軸上.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。是直線AB上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C分別作力軸，g軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)、D,E.當(dāng)DE

=春4石時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

O

14

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),再將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可解決問

題.

（2）根據(jù)A4OB?△ECD得到CD與OB的關(guān)系，建立方程即可解決問題.

【解答】解：（1）令①=0得，y=8,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）;

令沙=0得，2=4,

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）;

將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得，卜：8,

[—16+4b+c=0

解得fU，

I。=8

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為沙=一/+26+8.

（2）因?yàn)镃D〃力軸，CE〃g軸，

所以AAOB~AECD,

則包=理

OBAB,

因?yàn)?OB=4,

o

所以CD='.

令點(diǎn)C坐標(biāo)為（m,—m2+2m+8）,

則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1^一小，—m2+2m+8）

所以CD—m—（方――nz）=一■^-m2+2m,

貝1--1-?722+2m=,

解得?n=1或3.

當(dāng)？n=1時(shí)，一771?+2館+8=9;

當(dāng)m=3時(shí)，-+8=5;

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,9）或（3,5）.

【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知待定系數(shù)法及二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目亙（2024?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)"="+勵(lì)+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（O,_3）,B⑶0）.點(diǎn)P在拋

15

物線y—x^+bx+c上，其橫坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)一2<2<3時(shí)，求"的取值范圍；

(3)當(dāng)拋物線g=小五+c上P、A兩點(diǎn)之間部分的最大值與最小值的差為，時(shí)，求小的值；

(4)點(diǎn)M■在拋物線y=x2+bx+c上，其橫坐標(biāo)為1—m.過點(diǎn)P作PQ，夕軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)M■作AWLc

軸于點(diǎn)N,分別連結(jié)PM,PN,QM,當(dāng)APQM與APMW的面積相等時(shí)，直接寫出小的值.

【分析】(1)依據(jù)題意，將A、B兩點(diǎn)代入解析式求出6,c即可得解；

(2)依據(jù)題意，結(jié)合(1)所求解析式，再配方可得拋物線的最值，進(jìn)而由-2</<3可以判斷得解；

(3)依據(jù)題意，分類討論計(jì)算可以得解；

(4)分別寫出P、Q、M、N的坐標(biāo)，AFQW■與APNM的面積相等，所以Q到尸W的距離等于N到PW的距

離，可得"I的值.

【解答】解:(1)由題意，將A(0,-3),B(3,0)代入解析式y(tǒng)=x2+bx+c得，

c=-3,9+3b+c=0,

b=-2,c=-3,

.??拋物線的解析式為y=x2—2x—3;

(2)由題意，拋物線y—x^—2x—3=(T—l)2—4,

拋物線g=2力一3開口向上，當(dāng)力=1時(shí)，g有最小值為一4,

當(dāng)x=-2時(shí)，g=5;當(dāng)力=3時(shí)，g=0,

當(dāng)一2VcV3時(shí)，一4&gV5;

⑶由題意得，F(xiàn)(m,m2—2m—3),A(0,—3),

①當(dāng)/nV0時(shí)，P、A兩點(diǎn)之間部分的最大值為館2_2館一3,最小值為一3,

TH?-2?TI-3_(_3)—~~,

解得:m=l—,

②當(dāng)04小<2時(shí)，P、4兩點(diǎn)之間部分的最大值為一3,最小值為m2—2m,一3或一4,

顯然最小值是一4時(shí)不合題意，

:.最小值為m2—2m—3,

-3--2?TZ-3)=,

解得:rrz=-或?71=/,

力=~|~時(shí)，_?、人兩點(diǎn)之間部分的最小值為一4,故舍去，

③當(dāng)2Vnz時(shí)，P、4兩點(diǎn)之間部分的最大值為/一2M一3,最小值為一4,

rn—2m—3—(—4)=,

解得:m=1+,

1+V2,故舍去，

綜上，滿足題意得小的值為：1—亨或

(4)由題意得，M(1—m,m2—4),7V(1—m,0),Q(0,m2—2m—3),

設(shè)1JPM=kc+b,代入P、M兩點(diǎn)、,

(mk+b=m2—2m—3

t(l—m)k+b=m2—4，

解得：k=—1,b—rn?—m—3,

VPM~~X+nz2—m—3,

???^PQM與^PNM的面積相等，

Q到y(tǒng)pM~~x+—3的距離與N到y(tǒng)pM=—岔+Tn2—m—3的距離相等，

Q至IypM=~^+m2—m—3的距離=-一［6,

7n

N至IVPM—~^+rn^—m-3的距離=-一事聲,

|—m\=|—m2+4|,

當(dāng)m<—2時(shí),—m=m2—4,解得:m=—1,

當(dāng)一2&Tn<0時(shí)，—m=4—rri,解得：m=――《五，

當(dāng)0V?n&2時(shí)，m=4—m2,解得：m——1，

當(dāng)2Vm時(shí)，m=m2—4,解得：m=［十^^，

綜上，滿足題意得恒的值為：1±嚴(yán)或—l3E-

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)，關(guān)鍵是注意分類討論.

題型四.拋物線與公軸的交點(diǎn)（共14小題）

:題目區(qū)（2024-秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)g=mx2-（m-2）力-2（m為常數(shù)）.

（1）求證:不論M為何值，該函數(shù)的圖象與力軸總有公共點(diǎn).

（2）不論m為何值,該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是—（U0）（久-2）

（3）在一2<力42的范圍中，g的最大值是2,直接寫出小的值.

【分析】（1）分兩種情況討論,利用判別式證明即可；

（2）當(dāng)力=1時(shí)，g=0,當(dāng)力=0時(shí)，。=-2,即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶利用拋物線過兩個(gè)定點(diǎn)，得到函數(shù)g隨力增大而增大，代入解析式求出小值即可.

【解答】解：（1）①當(dāng)？71=0時(shí)，函數(shù)解析式為y=2x—2,此一次函數(shù)與N軸有交點(diǎn)；

②當(dāng)m#0時(shí)，函數(shù)解析式為y=mx2—（m—2）/一2,令g=0,則有mx2—（m—2）x—2=0,

△=（m—2）2—4mX（—2）=m2—4m+4+8m=m2+4m+4=（m+2）?>0.

不論771為何值，該函數(shù)的圖象與二軸總有公共點(diǎn).

⑵y=mx2—（m—2）x—2=mx2—mx+2a?—2=m（x2—x）+2/一2,

當(dāng)力=1時(shí)，"=0,

當(dāng)/=0時(shí)，y=-2f

：.不論力為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是（l,0）.（0,-2）

故答案為：（1,0）,（0,—2）,

（3）若?n=0,函數(shù)g=一2,g隨力增大而增大，當(dāng)力=2時(shí)，g=2,與題干條件符；

當(dāng)？nW0時(shí)，函數(shù)g=m/—2）力一2是二次函數(shù)，

①當(dāng)山>0時(shí)，拋物線過（1,0）,（0,—2）兩點(diǎn)，當(dāng)一2《力42的范圍中時(shí)，g隨力的增大而增大,

當(dāng)力=2時(shí)，g=2,

即2=4m—2（m—2）—2,解得m=0（舍去）.

②當(dāng)nzVO時(shí)，拋物線過（1,0）,（0,—2）兩點(diǎn)，其增減性依舊是。隨力的增大而增大和①相同.

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【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

題目J6］（2024-柳州模拂如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x^+bx+c的圖象與立軸交于4B兩

點(diǎn)，5點(diǎn)的坐標(biāo)為⑶0）,與?/軸交于點(diǎn)C（0,-3）,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

尸

（2）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)S6ABl與加解析求解即可.

0=9+3b+c

【解答】解：⑴將_8（3,0）,。（0,—3）代入g=/2+b/+c得

c=-3

解得［一,

［c=—3

二次函數(shù)的解析式為：9=/一2/一3；

（2）將。=X2—2X—3配方得頂點(diǎn)式g=（劣—1）2—4,

???頂點(diǎn)。（1,一4）,

在g=X2-2X—3中，當(dāng)g=x2—2x—3=0時(shí)，

解得x=-1或/=3,

***4—1,。），

???AB=4,

.q―_歷"_4X4一a

??QAABZJ-2-2?0?

【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與力軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法

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求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

題目17］（2024*安陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-\-bx+c與拋物線y=--+力—

1的形狀相同，且與力軸交于點(diǎn)（-1,0）和（4,0）.直線g=fcr+2分別與力軸、g軸交于點(diǎn)4B,交拋物線y

=ax\bx+c于點(diǎn)C,。（點(diǎn)。在點(diǎn)D的左側(cè)）.