2024年陜西高考數(shù)學(xué)(理)試題及答案

2024年陜西高考數(shù)學(xué)（理）試題及答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.設(shè)35+i,則i（z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合共輾復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.

【詳解】由z=5+i=N=5—i,z+N=10,則i（2+z）=10i.

故選：A

2.集合A={l,2,3,4,5,9},3=N?eA},則a（Ac5）=（）

A,{1,4,9}B.{3,4,9}C,{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合3的定義求出8,結(jié)合交集與補集運算即可求解.

【詳解】因為A={1,2,3,4,5,9},3=A},所以5={1,4,9,16,25,81},

則45={1,4,9},G（A3）={2,3,5}

故選：D

4x-3y-3>0

3.若實數(shù)%,丁滿足約束條件卜—2y—2V0,則z=_x—5y的最小值為（）

2%+6y-9<0

7

A.5B.—C.—2D.----

22

【答案】D

【解析】

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計算即可得.

4x-3y-3>0

【詳解】實數(shù)乂y滿足x—2y—2W0，作出可行域如圖：

2x+6y-9<0

,4x-3y-3=0

*

lAx-2^-2=0

由z=x-5y可得y=：x_：z,

即z的幾何意義為y=*—±z的截距的-1，

則該直線截距取最大值時，z有最小值，

此時直線y=：龍—過點A,

(a

4x—3y—3=0x=—(3

聯(lián)立c二c八，解得2,即A不

2x+6y-9=0y_](2

37

貝1z.=—5x1=——.

min22

故選：D.

4.等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S”若S5=HO,。5=11則4=()

?-7

A.—2B.一C.1D,2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=S10結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得。8=0,即可計算出公差，即可得%的值.

【詳解】由S]0—S5=。6+%+。8+%+4o=5(“8=。,則。8=。，

則等差數(shù)列｛4｝的公差〃=美巴=—故。iMIxf

故選：B.

5.已知雙曲線的兩個焦點分別為(0,4),(0,-4),點(—6,4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為(

A.4B,3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦點坐標可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計算可得2a,即可得離心率.

【詳解】設(shè)耳(0,-4)、7s(0,4),P(-6,4),

22

貝山耳閶=2c=8,1M=心+(4+4)2=io|P/Z|=^6+(4-4)=6

DeQ

則2。=歸周一歸耳|=10—6=4,則e=\=\=2.

故選：C.

6.設(shè)函數(shù)/（力=互誓土則曲線y=/（x）在（0,1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）

1+X

1112

A.-B.-C.3D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點（0,1）處的切線方程，即可得其與坐標軸交點坐標，即可得其

面積.

(e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx).2x

x

【詳解】f()=2

1+x2

(e。+2cos0)(l+0)-(e。+2sin0)x0

則/'(o)=—=3,

(l+0『

即該切線方程為y—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,則y=L令y=。，則％=-,，

3

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=gxlx-g=；

236

故選：A.

7.函數(shù)"％）=—尤2+3—6—*卜加在區(qū)間［—2.8,2.8］的大致圖像為（）

A.B.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得可排除D.

［詳解］/(-%)=-x2+(e-“一ex卜in(-%)=-x2+(e*-e-x)sinx=/(x),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-1+fe--.7teIII?

又〃1)=_1+sin———11----->-------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

8,已知"=5貝han[c+：]=()

coscr-sintzv4J

A.2>/3+lB.273-1C.D.1-73

【答案】B

【解析】

COCry

【分析】先將-----------弦化切求得tana,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【詳解】因為———=百，

cosa-sma

所以;-------=6，=tana=1-^-，

1-tana3

「…(兀、tana+1r-

所以tana+—=----------=2^/3-14,

I4J1-tana

故選：B.

9.已知向量a=(x+l,%),b=(x,2),貝lj()

A."I=—3”是“。，匕”的必要條件B."x=—3”是“allb”的必要條件

C."x=0"是的充分條件D."x=—l+6”是7/"”的充分條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當a匕時，則。。=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得了=0或—3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當％=0時，?=(1,0),/?=(0,2),故。包=0，

所以。，匕，即充分性成立，故C正確；

對B,當a//b時，則2(x+l)=_?,解得x=l土百，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當工=-1+百時，不滿足2(x+l)=f,所以。//0不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

10.設(shè)a、尸是兩個平面，相、”是兩條直線，且a.下列四個命題：

①若7"〃/，則〃//a或"http://，②若加_1_〃，則〃_La,"_L〃

③若〃//a,且“//，，則④若“與a和所成的角相等，則相

其中所有真命題的編號是()

A.①3)B.②④C.(1X2X3)D.①

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對①，當〃ua,因為加〃〃，mu0、則“//，，

當〃u，，因為加〃〃，mua,則“//a,

當“既不在a也不在廠內(nèi)，因為根〃〃，mua,mu。、則〃//a且“//，，故①正確；

對②，若加上〃，則〃與名尸不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線n分別作兩平面與a,。分別相交于直線s和直線t,

因為〃//。，過直線〃的平面與平面a的交線為直線則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知〃//s,

同理可得〃/",則s〃r,因為平面A，/u平面尸，貝Us//平面廠，

因為SU平面a,aB=m,貝又因為〃//s,則加〃“，故③正確；

對④，若〃”與a和尸所成的角相等，如果〃///"http://，，則“〃“，故④錯誤；

綜上只有(313)正確，

故選：A.

1L在ABC中內(nèi)角A,5c所對邊分別為a,dc,若8=巴，b2=-ac,則sinA+sinC=()

34

A.-B.0C,且D.B

222

【答案】C

【解析】

i13

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—,再利用余弦定理有/+°2=一砒，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入計算即可.

jrQ41

【詳解】因為3=—,/=—ac,則由正弦定理得sinAsinC=—sin?8=—.

3493

a

由余弦定理可得力2=/+。2_ac=_ac

4

]31313

即:/+才=一。。，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C二一sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因為AC為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0,則sinA+sinC=1.

故選：c.

12.已知。是。的等差中項，直線以+勿+c=0與圓必+產(chǎn)+分一廠。交于A,3兩點，貝小川|的最小

值為()

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因為“,仇c成等差數(shù)列，所以2/J=a+c,c=2b—a,代入直線方程狽+勿+。=0得

x=l

ax+by+2b-a—Q,即a(x—1)+Z?(y+2)=0,令＜

y=-2

故直線恒過(1,—2),設(shè)P。,—2),圓化為標準方程得：+(y+2『=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當尸時，最小，

|PC|=l,|AC|=|r|=75,此時\AB\=2\AP\=2^AC2-PC2==4.

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1g+x］的展開式中，各項系數(shù)的最大值是

【答案】5

【解析】

「r+1

Jo

【分析】先設(shè)展開式中第r+1項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有進而求出廠即

可求解.

【詳解】由題展開式通項公式為T=C[]gj10-r

r+loZ,OWrWlO且rwZ,

、29

r—

42933

,即一<r<一,又廠wZ,故尸=8,

―3344

r<—

4

所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為=5.

故答案為：5.

14,已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為弓和馬，母線長分別為2（馬和3（弓-4），則兩個圓臺

的體積之比含=.

【答案】逅

4

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可

得解

【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為俏3=J[2（4-4）丁一（）一4）2=百（弓-4），

屹=/3（「4）]2_億一4）2=2?彳一弓），

所以地=2+岳+7^）膈=維=G）=旦

工,.+5+質(zhì)母一?一2?。?弓）一丁

故答案為：回

4

115

15.已知a>1,-,則"

log8alog,,4

【答案】64

【解析】

【分析】將logsa,log。4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log?a來表示即可求解.

1131,5

【詳解】由題■;------------7=-----------log?=--,整理得(zlog,a)-51og,a-6=0,

2v7

log8alogfl4log2a22

=>log2a=-1或log2a=6,又a>l,

所以log2O=6=log226,故a=26=64

故答案為：64.

16,有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記機

為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，〃為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則機與“差的絕對值不超過g的

概率是.

7

【答案】百

【解析】

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為凡6,第三個球的號碼為c,則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.

【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A，=120種，

設(shè)前兩個球的號碼為第三個球的號碼為c,則a+；+c—wg,

故|2c-(a+小3,故-3V2c-(a+b)<3,

故a+〃—3W2cWa+6+3,

若c=L則a+)V5,則(a,。)為：(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,則lWa+》W7,則(a,A)為：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當c=3,^\3<a+b<9,則(。力)為:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當c=4,貝U5Wa+〃Wll,同理有16種，

當c=5,則7Wa+/?W13,同理有10種，

當c=6,則9Wa+〃W15,同理有2種，

共冽與〃的差的絕對值不超過;時不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,

故所求概率為羔=1.

12015

7

故答案為：—

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個考

題考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進

行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異？

(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率0=0.5,設(shè)方為升級改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級品率,如果

p>p+1.65.P(1~P),則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為

Vn

生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？(Ji而312.247)

n(ad-bc)2

(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

【答案】(1)答案見詳解

(2)答案見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算尺2,并與臨界值對比分析；

(2)用頻率估計概率可得萬=0.64,根據(jù)題意計算°+1,65)與匕結(jié)合題意分析判斷

Vn

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

可得q=150(26x30—24x70)2=75=46875,

50x100x96x5416

因為3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的

優(yōu)級品率存在差異.

【小問2詳解】

96

由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為——=0.64,

150

用頻率估計概率可得p=0.64,

又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率。=0.5,

05Q

貝1J/?+1=0.5+1.65J-^"-5?0.5+1.65x0-5?0.568.

\nV15012.247

可知7〉/+1.65.'?！?，

Vn

所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.

18.記Sn為數(shù)歹U｛。“｝的前幾項和,且4s.=3?！?4.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)bn=(―1嚴nan,求數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn.

【答案】(1)%=4?(-3產(chǎn)

(2)，=(2〃—1)3+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛q,｝的通項公式.

(2)利用錯位相減法可求7；.

【小問1詳解】

當鞏時,解得％

=14sl=4q=3al+4,=4.

a

當〃22時，4S“_i=34T+4,所以45.一4Sa_i=4an=3an-34T即?="M-i

而q=4w0,故4W0,故反=一3,

an-\

二數(shù)列｛4｝是以4為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

所以%,=4?(—3廣)

【小問2詳解】

bn=(―I)”—.“.4?(―3)"i=4”?3”T,

12n-1

所以/+bn=4-3°+8-3+12-3++4n-3

故37；=4-31+8?32+12了++4以3"

所以_2]=4+4-31+4-32++4?3~1—4〃-3”

*M3(1—3"i)仇3"=4+2.3.(3"T_l)_4”.3"

1-3

=(2-4〃)3-2,

.?Z=(2〃—1>3"+L

19.如圖，在以4B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ZI6C。與四邊形4?爐均為等腰梯形,

BC!!AD,EF!/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=5,FB=26，M為AD的中點.

(1)證明：8河//平面。?！?；

(2)求二面角歹—9—石的正弦值.

【答案】(1)證明見詳解；

(2)

13

【解析】

【分析】(1)結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證店〃，!)，進而得證；

(2)作BOLAD交AD于。，連接小，易證05,尸三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公

式即可求解.

【小問1詳解】

因為BC//AD,防=2,AD=4,M為AD的中點，所以BC//MD,BC=MD,

四邊形3CDM平行四邊形，所以5M7/CD,又因為平面CDE,

CDu平面CDE,所以〃平面CDE；

【小問2詳解】

如圖所示，作50，40交4。于。，連接O尸，

因為四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

結(jié)合(1)BCD暇為平行四邊形，可得H0=CD=2,又AM=2,

所以ABM為等邊三角形，。為40中點，所以03=也，

又因為四邊形ADE尸為等腰梯形，M為AO中點，即以EF=MD,EF”MD,

四邊形瓦加。為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,

所以為等腰三角形，A5AJ與△AR0底邊上中點。重合，OF±AM,OF=^AF2-AO2=3,

因為OB?+OF?=BF2,所以O(shè)B^OF,所以O(shè)B,OD,OF互相垂直，

以。8方向為x軸，0D方向為了軸，。尸方向為z軸，建立。一孫z空間直角坐標系，

"（0,0,3）,B（73,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（-73,1,0）,BF=（-73,0,3）,

BE=^-y/3,2,3）,設(shè)平面的法向量為機=（%，X，2]）,

平面的法向量為〃=（%2,%，Z2），

m?BM=0f—TSx,+y=0「

則，即L,令％=6得％=3,4=1,即m=（百,3,1）,

m?BF-0[一43再+3Z]=0

TI,BM-0—yj3x?+y?—0

則4即』令無=A/3,得%=3,z2=—1,

[n.BE=0,l氐2+2為+3Z2=0'2

即萬=（/點3,-l\）,cos%”帆m-同n一二1二1二。同..473

1Q,貝IIsmm,n=----,

1313

故二面角尸—創(chuàng)/—石的正弦值為迪.

13

2A

FE

22

20.設(shè)橢圓C：工+二=1（。〉6〉0）的右焦點為F,點在C上，且Wx軸.

ab

（1）求C的方程；

（2）過點P（4,0）的直線與。交于A3兩點，N為線段EP的中點，直線交直線破于點。，證明：

軸.

22

【答案】⑴—+^=1

43

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)/（G。），根據(jù)知的坐標及上加上為軸可求基本量，故可求橢圓方程.

⑵設(shè)A3:y=k（x—4）,A（&%）,5（%,%），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用43的坐標表示力-%，

結(jié)合韋達定理化簡前者可得X-%=0,故可證AQLy軸.

【小問1詳解】

設(shè)網(wǎng)GO）,由題設(shè)有C=I且故土二=2,故°=2,故b=6

a2a2

22

故橢圓方程為土+乙=1.

43

【小問2詳解】

直線AB的斜率必定存在，設(shè)AB：y=左。一4）,4（不弘），B（x2,y2）,

2

X—32左2%+64左2—12=0,

故△=1024/-4(3+4左2)(64/-12)>0,故—<k<一,

22

力32k264左2一12

XX.1+X2,=------------7,X|1X,=---------Z—

3+4左2-3+4左2

3

本入/5,L-tAtBNy=—~|x—-3%

而N15,OJ,故直線x—2，故％=上三

2%2—5

~5

所以Y一夕花養(yǎng)='^

左(再4)x(2%2—5)+3上(％2—4)

2%—5

64人之一1232k*2

2XX2x2-5X+8

_kI2-5(Xt+x2)+8_3+4^3+4^

2%2—52x2—5

128左2—24—16012+24+32W

=k----------3+4R----------=0

2%2—5

故％=坨，即AQ，y軸.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為(七,%),(%2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程，注意A的判斷；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為為+々、占%2(或%+%、%為)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

21.已知函數(shù)/'(x)=(l-ar)ln(l+x)-x.

(1)當a=-2時,求/⑺的極值;

(2)當xNO時，/(力20恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)極小值0,無極大值.

(2)a<--

2

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就！、--<?<0,a20分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

小問1詳解】

當a=-2時，/(%)=(1+2x)ln(l+%)-x,

1+2r1

故r(x)=21n(l+x)+------l=21n(l+x)------+1,

1+x1+x

因為y=21n(l+x),y=—1一+1在(一1,+8)上為增函數(shù)，

故/'(x)在(—1,+8)上為增函數(shù)，而尸(0)=0,

故當一1<%<0時,/f(x)<0,當x>0時，f\x)>0,

故/(x)在尤=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

【小問2詳解】

a+\\x

/"(x)=-aln(l+x)+-——-1=-aln(l+x)------,x>0,

1+x1+x

a+l)x

設(shè)s(x)=-aln(l+x)------,x>0,

1+x

-Qa+1)〃(％+1)+Q+1ax+2a+\

則s'(x)

x+l(l+x)20+X)2(1+X)2

當■時，s'(x)〉0,故s(x)在(0,+oo)上增函數(shù),

故s(x)>s(O)=O,即/，(X)>0,

所以/(九)在［0,+。)上為增函數(shù)，故/(x"/(O)=O.

當一g<a<0時，當0<小<—2"+1時,s'(x)<0,

上為減函數(shù)，故在(0,-加里

故s(x)在上s(x)<s(O),

ka

即在(o,—加上!

上/'(X)<0即/(x)為減函數(shù),

Va

故在(0,-2

±/(x)</(0)=0,不合題意，舍

ka

當a?0,此時s'(%)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+“)上/(x)</(o)=o恒成立，不合題意，舍；

綜上，CI?—.

2

【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)

數(shù)進一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.

(-)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、

錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，為軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐

標方程為0=0cos6+l.

(1)寫出。的直角坐標方程