北京市石景山區(qū)2023-2024學年高二下學期期末數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市石景山區(qū)2023-2024學年高二下學期期末數(shù)學試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，故選：D.2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得：，.故選：B.4.已知事件A，B相互獨立，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為事件A，B相互獨立，所以，所以，故選：B.5.在數(shù)列中，，（），則的值為（

）A.-2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)列中，由，，得，同理可得，，...，所以，則.故選：D.6.函數(shù)在點處的切線與直線垂直，則（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知，故.由于的斜率為，故在點處的切線斜率為.所以，故，得.故選：A.7.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，當時，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以.故選：D.8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，而，所以，充分性成立；反過來若，若，則一定有，所以，，故，必要性成立；也就是說，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.9.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，則函數(shù)有且僅有兩個零點等價于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個交點.又，則當時，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.又時，，據(jù)此可得大致圖象如下：則.故選：C10.數(shù)列的通項公式為（），前n項和為，給出下列三個結(jié)論：①存在正整數(shù)，使得；②存正整數(shù)，使得；③記，則數(shù)列有最大項和最小項.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，數(shù)列的通項公式為，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；由，存在正整數(shù)，使得，所以②正確；由數(shù)列的通項公式為，可得，且當時，，所以，所以當時，數(shù)列有最小項，當時，數(shù)列有最大項，所以③正確.故選：A.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域為_____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，則，解得，故〖答案〗為：.12.已知函數(shù)定義域為，為其導函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為________．〖答案〗〖解析〗由導函數(shù)圖象可知當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，當時，，即不等式的解集為；故〖答案〗：13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.〖答案〗〖解析〗由是等比數(shù)列，知.所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的導函數(shù)為，則__________，過點且與曲線相切的直線方程為_______________.〖答案〗①4②〖解析〗的導數(shù)為，，解得，故，即；設(shè)過點且與曲線相切，切點為，且，故切線斜率為，即切線方程為，切線方程過點，代入方程可得，解得或，當時，直線方程為；當時，直線方程為.故〖答案〗為：4，.15.已知，函數(shù)有兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：①可能是負數(shù)；②；③為定值；④若存在，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號是___________．〖答案〗②③④〖解析〗對于①，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個相異實根，這意味著，否則時，，即單調(diào)遞增，這與已知矛盾，若，則當時，，當時，，當時，，即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個極值點，故①錯誤；對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，若存在，使，即關(guān)于的不等式有解，而沒有最大值，故原命題等價于關(guān)于的不等式有解，令,而函數(shù)的最小值為1，所以當且僅當，即滿足題意，即若存在，使得，則，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題共5小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，所以.得或.當變化時，在各區(qū)間上的正負，以及的單調(diào)性如下表所示.＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當時取極大值；當時取極小值.（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值.對都有恒成立，所以.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明數(shù)列的前n項和．條件①，條件②，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當選①②時：，解得，所以的通項公式，．選①③時，解得，所以的通項公式，．選②③時，解得，所以的通項公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，因為，所以.18.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（1）求的值；（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；（3）以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的概率.解：（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；（3）從所有花卉中隨機抽取3株，記至少有2株高度在為事件，則.19.已知函數(shù).（1）求證：當時，；（2）當時，若曲線在曲線的上方，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）令，.由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當時，，即；（2）當時，由（1）知，滿足題意.令，則.當時，若，，則在上是減函數(shù).所以時，，不合題意.當時，，則在上是減函數(shù)，所以，不合題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍.20.若數(shù)列對任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是首項為1公比