河南省2024屆高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省2024屆高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1，則的模長(zhǎng)是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，又z2所以.故選：A.2.把函數(shù)fx=cos5x的圖象向左平移A.y=cos5x+1C.y=cos5x-1〖答案〗A〖解析〗由題意新函數(shù)〖解析〗式為y=cos故選：A．3.下面四個(gè)數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，即，所以，，故B，C錯(cuò)誤；又，所以.故選：D.4.從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時(shí)，有種；數(shù)字為1，3，5時(shí)，有種；數(shù)字為2，3，4時(shí)，有種；數(shù)字為3，4，5時(shí)，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D.5.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有則的值為（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗依題意，，則，又，則，，等差數(shù)列的公差，因此數(shù)列單調(diào)遞減，，且，即任意正整數(shù)，恒成立，所以對(duì)任意正整數(shù)，都有成立的.故選：C.6.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若面積則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，又由a2+b所以.所以所以，又因?yàn)樵谥校?，所?故選：A.7.橢圓的離心率為e，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）A.必在圓內(nèi) B.必在圓上C.必在圓外 D.與圓的關(guān)系與e有關(guān)〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題目條件有，e=ca由和是方程的兩個(gè)根，故由韋達(dá)定理得，x1x2=-c從而x=a這表明點(diǎn)Px1,x2一定在圓內(nèi)，A8.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知與交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意得，則，.因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕ㄘ?fù)值舍去），所以，故.又，則，因?yàn)椋?，解得，所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.M=B.M=C.M=D.M=〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對(duì)于A，顯然，故A正確；對(duì)于B，M=x∣-1<x<1,N={x∣x>-1}，則M?N，故對(duì)于C，M=x∣x>0,N=y∣y>5，則，故C正確；對(duì)于D，M=x,y∣y=x則，故D正確.故選：ACD.10.如圖1所示，為曲桿道閘車庫(kù)出入口對(duì)出人車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動(dòng)桿與橫桿組成，為橫桿的兩個(gè)端點(diǎn)．在道閘抬起的過(guò)程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動(dòng)桿的長(zhǎng)度為1.6米，橫桿的長(zhǎng)度為2米，繞點(diǎn)在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，與水平方向所成的角（）A.則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為（其中）B.則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為（其中）C.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成角，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為米〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：點(diǎn)P的軌跡顯然是以O(shè)為原點(diǎn)，OP為半徑的圓，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡方程為（其中），故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，因?yàn)镻Q平行于x軸，所以，所以，又因?yàn)樵诩訄A上，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1.6為半徑的圓，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為（其中），故B正確；對(duì)于C：若OP繞點(diǎn)O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成90°角，橫桿PQ達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)橫桿PQ距水平地面的高度為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槔@點(diǎn)O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成90°角，故繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度與點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度一樣為，所以點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度即為圓（其中）的弧長(zhǎng)，等于，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念，在我國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中就對(duì)同余除法有了較深的研究.設(shè)a，b，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若，則B.C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗若，則或，故，故A正確；因?yàn)椋员?除得的余數(shù)為1，56被除得的余數(shù)為2，故B錯(cuò)誤；由得，由得，，被m除得余數(shù)為2，而被m除得的余數(shù)為3，故C錯(cuò)誤；若，則，，，所以，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，則，取切點(diǎn)為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.13.已知，，，，則的值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，，∴，，∴．14.數(shù)學(xué)家高斯在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問(wèn)題時(shí)，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學(xué)?密碼學(xué)以及大數(shù)分解等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對(duì)于正整數(shù)，若存在一個(gè)整數(shù)，使得整除，則稱是的一個(gè)二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.〖答案〗〖解析〗在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對(duì)于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當(dāng)a=1時(shí)，x=11；當(dāng)a=13時(shí)，x=7；當(dāng)a=5，7，11，17，19時(shí)，x不存在；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為海倫公式.其中，.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為“三斜求積”公式.（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式；（2）在中，，，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，即，可得，且，則，所以（2）因?yàn)?，由題意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，面積，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以面積的最大值為.16.已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．（1）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得(負(fù)值舍去)，所以.（2）證明：由第1問(wèn)可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以.17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個(gè)結(jié)論：如果兩個(gè)平面所成二面角為，其中一個(gè)平面內(nèi)的圖形在另一個(gè)平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學(xué)利用甲的這個(gè)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點(diǎn)，使得．請(qǐng)你對(duì)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明．（1）證明：如圖所示的等腰梯形中，過(guò)點(diǎn)，分別作，，垂足為，，則為矩形，，在中，，，所以，則，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，所以，因，，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在線段上存在點(diǎn)，使得.18.為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物，采用某型號(hào)紅外相機(jī)監(jiān)測(cè)器對(duì)指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測(cè)識(shí)別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號(hào)監(jiān)測(cè)器能正確識(shí)別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒(méi)有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測(cè)器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率為0.2.現(xiàn)用2臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)測(cè)器組成監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每臺(tái)監(jiān)測(cè)器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測(cè)識(shí)別，若任意一臺(tái)監(jiān)測(cè)器識(shí)別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng).（1）若.（i）在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒(méi)有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）；（2）若監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在監(jiān)測(cè)識(shí)別中，當(dāng)時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件：①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒(méi)有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒(méi)有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）記事件為“監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，事件為“監(jiān)測(cè)區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，（i）；（ii），則；（2），，由題意可得，即，令，，得，，故，，即，即，則，因?yàn)?，所以，所以，故，即，所以，?19.閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：（1）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；（2）已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點(diǎn)