函數(shù)模型的應用（一）教學設計 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應用（第一課時）一、教學目標能夠認識數(shù)學模型的含義，利用已知的函數(shù)模型解決實際問題；體會求解模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本步驟，能夠正確認識數(shù)學求解的結(jié)論與實際問題結(jié)果的差異；感悟數(shù)學的科學價值、應用價值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模核心素養(yǎng).二、教學重難點重點：利用已知的函數(shù)模型解決實際問題.難點：對于碳14半衰期及衰減率的理解及驗證問題中的數(shù)據(jù)與所提供的數(shù)學模型是否吻合.三、教學過程1.復習引入：我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫．面臨一個實際問題，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？常見函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型（2）二次函數(shù)模型(3)指數(shù)函數(shù)模型(4)對數(shù)函數(shù)模型(5)冪函數(shù)模型(6)分段函數(shù)模型建立函數(shù)模型解決問題的基本過程2.典例解析例3人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)，早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：yy0ert，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.1（1）根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.（2）利用（1）中的模型計算1951～1958年各年末的人口總數(shù).查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的我國在1951～1958年間各年末的實際人口總數(shù)，檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符.（3）以（1）中的模型作預測，大約在什么時候我國人口總數(shù)達到13億?例題講解問題1：用馬爾薩斯人口增長模型y y0ert建立具體人口增長模型，要確定其中的哪些量？【預設答案】人口初始量y0及年平均增長率r．解：（1）設1950年至1959年我國各年人口增長率為r，由67207 55196e9r，由計算工具得我國1950年至1959年期間人口增長率r 0.021876．已知y0 55196，則我國1950年至1959年期間人口增長模型為55196e0.021876,t0,9．【設計意圖】數(shù)學建模是為了解決實際問題，在2021年全國第七次人口普查的背景下借助人口增長這一實例，讓學生感受“數(shù)學建模”是非常具有現(xiàn)實意義的，有科學價值.問題2：所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符？【預設答案】利用我們確定的人口增長模型求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再與國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)相比較，檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符．解：首先我們利用人口增長模型y55196e0.021876,t0,9求得我國1950年至1959年期間各年末人口總數(shù)，再查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的各年末的實際人口總數(shù)列出下表，相比較知所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本相符．年份19511952195319541955195619571958計算所得人5641757665589406024361576629386433065753口總數(shù)／萬人口數(shù)/萬5630057482587966026661456628286456365994【教師活動】我們也可以畫出函數(shù)y55196e0.021876,t0,9的圖象，并根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)2站公布的各年末的實際人口總數(shù)數(shù)據(jù)畫出散點圖，通過函數(shù)圖象觀察所得模型與1950年至1959年期間實際人口數(shù)據(jù)是否吻合．【教師活動】教師通過計算機工具呈現(xiàn)函數(shù)圖象與實際人口數(shù)據(jù)散點圖．【設計意圖】引導學生驗證模型，體會數(shù)學建模的思維過程.問題3：如果利用所得模型y 55196e0.021876,t 0,9計算，那么大約在哪一年我國人口數(shù)達到13億？【預設答案】將y 130000代入y 55196e0.021876,t 0,9，0.021786t即130000e0.021786t55196由計算工具得 t 39.15．那么大約在1950年后的第40年（即1990年）我國人口達到13億．問題4：事實上，我國1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億，對由函數(shù)模型所得結(jié)果與實際狀況不符，你有何看法？【預設答案】因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟發(fā)展水平產(chǎn)生了較大的矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，因此，這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，所以得到的結(jié)果與實際不符的情況．【教師活動】在人口紅利出現(xiàn)拐點，老齡化加速的背景下我國逐步放開了二胎政策，有興趣的同學可以繼續(xù)關(guān)注國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中有關(guān)人口數(shù)據(jù)，探究我國人口變化的規(guī)律．【設計意圖】使學生明確使用已知模型的前提條件，并正確認識數(shù)學求解的結(jié)論與實際問題結(jié)果的差異.例42010年考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？3問題1：我們可以建立怎樣的數(shù)學模型來推斷良渚古城水利系統(tǒng)中水壩的建成年代？學生：可以選擇指數(shù)模型y kax(k R,k 0；a 0,a 1).教師：若設死亡生物體內(nèi)碳14的初始含量為k，年衰減率為p(0p1)，生物死亡的年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，則y與x間有何種對應關(guān)系？學生：y k（1 p）x(k R,k 0；0 p 1,x 0)（教師強調(diào)各變量范圍）【設計意圖】提高學生解決問題的興趣與好奇心.問題2：如果利用這一對應關(guān)系由碳14的殘留量推斷此水壩建成的大概年代，需要確定哪個參數(shù)？【預設答案】需要確定k和p教師：如何求解年衰減率p學生：用半衰期求解，閱讀材料中已知碳14半衰期為5730年，代入函數(shù)關(guān)系式求解.12kk(1p)5730，解得1p573012，即p1573012.解：由已知檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，得55.2%kk（57301x）2x1即55.2%（），解得xlog0.552，257302由計算工具得x4912．因為2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推斷此大壩是公元前2903年建成的．【設計意圖】在探究的基礎上，遵循嚴謹?shù)目茖W原則，鞏固建模的思維過程和求解步驟.3.歸納小結(jié)問題：在本節(jié)課中，我們主要研究了哪些函數(shù)模型？它們可以幫助我們解決怎樣的實際問題？給定函數(shù)模型，如何根據(jù)實際數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)？利用具體的函數(shù)模型分析和解決實際問題時需要注意些什么？【預設答案】本節(jié)課主要學習了馬爾薩斯人口增長模型和碳14年代推測模型，它們分別在人口增長以及考古研究中有重要的應用.當給定函數(shù)模型時，要正確理解所給函數(shù)模型中變4量的實際意義，結(jié)合條件得到方程，并利用信息技術(shù)求出參數(shù)的值.利用具體的函數(shù)模型分析和解決實際問題時，需要注意其適用條件.【教師活動】通過本節(jié)課的學習，我們體會到函數(shù)在描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的作用，在面臨實際問題時應該選擇合適的函數(shù)模型刻畫規(guī)律.4.當堂達標練習1、一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數(shù)模型是()A．分段函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)函數(shù) D．對數(shù)函數(shù)2、若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()A.y0.9576B.y(0.9576)100xC.y(0.9576xD.y10.04241003.大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3100Q成正比,且當Q=900時,v=1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù);(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數(shù)應怎樣變化?