山東省煙臺(tái)市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-山東省煙臺(tái)市其次中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一?單選題1.下列條件中，能推斷平面與平面平行的是（）A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行 B.與同時(shí)平行于同一條直線C.與同時(shí)垂直于同一條直線 D.與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面【答案】C【解析】【分析】利用空間幾何元素的位置關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷得解.【詳解】A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行,則還可能和相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.與同時(shí)平行于同一條直線，則還可能和相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.與同時(shí)垂直于同一條直線，則和平行，所以該選項(xiàng)正確；D.與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，則還可能和相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.2.某中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，為了解他們身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級(jí)共有女生（）A.630 B.615 C.600 D.570【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣的方法，結(jié)合比例的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，樣本中共有男生42人，則高一年級(jí)的女生人數(shù)約為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知某種產(chǎn)品的合格率是，合格品中的一級(jí)品率是.則這種產(chǎn)品的一級(jí)品率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件概率公式干脆求解即可.【詳解】設(shè)事務(wù)A為合格品，事務(wù)B為一級(jí)品，則所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.4.是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采納世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地月日到日日均值（單位：）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）A.從日到日，日均值漸漸降低B.這天的日均值的中位數(shù)是C.這天中日均值的平均數(shù)是D.從這天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是【答案】B【解析】【分析】由折線圖數(shù)據(jù)可推斷出正確；由數(shù)據(jù)可計(jì)算得到中位數(shù)和平均數(shù)，知錯(cuò)誤，正確；依據(jù)古典概型可計(jì)算得到正確.【詳解】選項(xiàng)：日到日，由折線圖知日均值每日漸漸降低，正確；選項(xiàng)：這天日均值的中位數(shù)為，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：日均值的平均數(shù)為，正確；選項(xiàng)：天中，空氣質(zhì)量為一級(jí)的有天，則隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率為，正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表推斷命題的問(wèn)題，涉及到平均數(shù)、中位數(shù)和古典概型的相關(guān)學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個(gè)芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個(gè)結(jié)論：①；②，（）A.①和②都不成立 B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立 D.①和②都成立【答案】B【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)及勾股定理即可推斷.【詳解】解：∵，CD在平面CDEF內(nèi)，AB不在平面CDEF內(nèi)，

∴平面CDEF，

又EF在平面CDEF內(nèi)，

由AB在平面ABFE內(nèi)，且平面平面，

∴EF，故①對(duì)；

如圖，取CD中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，由AB＝CD＝2EF，易知GF，且DE＝GF，

不妨設(shè)EF＝1，則，

假設(shè)BF⊥ED，則，即，即FG＝1，但FG長(zhǎng)度不定，故假設(shè)不肯定成立，即②不肯定成立.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定及性質(zhì)，考查垂直關(guān)系的判定，考查邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.6.拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分別計(jì)算出事務(wù)A和事務(wù)B發(fā)生的概率，又通過(guò)列舉可得事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，進(jìn)而得出事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率即為事務(wù)A和事務(wù)B的概率之和．【詳解】事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5偶數(shù)點(diǎn)有2和4，不小于5的點(diǎn)數(shù)有5和6，所以事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，以及互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用，屬于中檔題．7.現(xiàn)對(duì)有如下觀測(cè)數(shù)據(jù)345671615131417記本次測(cè)試中，兩組數(shù)據(jù)的平均成果分別為，兩班學(xué)生成果的方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】，，，，故，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與方差，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的隨意一點(diǎn)，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列推斷中不正確的是（）﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定，可推斷ABC選項(xiàng)，由面面垂直的判定可推斷D.【詳解】對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質(zhì)可知，且，則平面PAC.所以A正確；對(duì)于B，由A可知，由題意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對(duì)于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面平面PBC.所以D正確；綜上可知，C為錯(cuò)誤選項(xiàng).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)及判定，面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.二?多選題9.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事務(wù)是（）A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的定義逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，B正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不行能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不行能同時(shí)發(fā)生，D不正確.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事務(wù)，解題關(guān)鍵是要理解互斥事務(wù)的定義，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的理解和駕馭，屬于基礎(chǔ)題.10.某特長(zhǎng)班有男生和女生各10人，統(tǒng)計(jì)他們的身高，其數(shù)據(jù)（單位：cm）如下面的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.女生身高的極差為12 B.男生身高的均值較大C.女生身高的中位數(shù)為165 D.男生身高的方差較小【答案】AB【解析】【分析】從莖葉圖上計(jì)算極差，中位數(shù)，而均值和方差可通過(guò)莖葉圖估計(jì)即可（當(dāng)做也可計(jì)算實(shí)際值）．【詳解】女生的極差是173-161=12，A正確；由莖葉圖數(shù)據(jù)，女生數(shù)據(jù)偏小，男生平均值大于女生值，B正確；女生身中學(xué)位數(shù)是166，C錯(cuò)誤；女生數(shù)據(jù)較集中，男生數(shù)據(jù)分散，應(yīng)當(dāng)是男生方差大，女生方差小，D錯(cuò)．（也可實(shí)際計(jì)算均值和方差比較）．故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實(shí)力．駕馭樣本數(shù)據(jù)特征如極差、方差、均值、中位數(shù)是解題基礎(chǔ)．11.下面四個(gè)正方體圖形中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)每個(gè)圖形進(jìn)行分析，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理對(duì)A推斷．由線面平行判定定理對(duì)D推斷，由線面相交的定義對(duì)B，C推斷．【詳解】（下面說(shuō)明只寫主要條件，其他略）A如圖連接，可得，從而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，B．如圖連接交于點(diǎn)，連接，易知在底面正方形中不是中點(diǎn)（事實(shí)上是四等分點(diǎn)中靠近的一個(gè)），而是中點(diǎn)，因此與不平行，在平面內(nèi)，與必相交，此交點(diǎn)也是直線與平面的公共點(diǎn)，直線與平面相交而不平行，C.如圖，連接，正方體中有，因此在平面內(nèi)，直線與平面相交而不平行，D.如圖，連接，可得，，即，直線與平面平行，故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，駕馭證明線面平行的方法是解題基礎(chǔ)．12.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在棱上存在點(diǎn)M，使平面B.異面直線與所成的角為90°C.二面角的大小為45°D.平面【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理一一驗(yàn)證可得.【詳解】解：如圖，對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故正確.對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故正確.對(duì)于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故正確.對(duì)于，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定及異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.三?填空題13.已知三個(gè)事務(wù)A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.【答案】0.9【解析】【分析】先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】故答案為0.9【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事務(wù)的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.14.正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值為_(kāi)___．【答案】【解析】試題分析：連接,則為與平面所成角，在中，考點(diǎn)：本小題主要考查直線與平面所成角的求法，考查學(xué)生的空間想象實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力.點(diǎn)評(píng)：求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：（1）找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；（2）計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.15.某校為了普及“一帶一路”學(xué)問(wèn)，實(shí)行了一次學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，滿分10分，有10名同學(xué)代表班級(jí)參與競(jìng)賽，已知學(xué)生得分均為整數(shù)，競(jìng)賽結(jié)束后統(tǒng)計(jì)這10名同學(xué)得分狀況如折線圖所示，則這10名同學(xué)成果的極差為_(kāi)_____________，80%分位數(shù)是______________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用極差和百分位數(shù)的概念求解.【詳解】由題意知：數(shù)據(jù)3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的極差是；所以數(shù)據(jù)3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位數(shù)是.故答案為：7，8.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查極差和百分位數(shù)的概念，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.在四棱錐中，底面四邊形為矩形，平面，，分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若，，，則____________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，可證平面，從而可得平面，即可得，進(jìn)而可證平面，可得，在直角中，利用等面積法即可求出的長(zhǎng).【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，所以平面，所以平面，又平面，所?又，，平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以,在直角中，，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，等面積法，屬于中檔題.四?解答題17.為了了解某校初三年級(jí)500名學(xué)生的體質(zhì)狀況，隨機(jī)抽查了10名學(xué)生，測(cè)試1min仰臥起坐的成果(次數(shù))，測(cè)試成果如下：30354233343634372940（1）這10名學(xué)生的平均成果是多少？標(biāo)準(zhǔn)差s是多少？（2）次數(shù)位于與之間有多少名同學(xué)？所占的百分比是多少？(參考數(shù)據(jù)：3.82≈14.6)【答案】（1）平均成果：，標(biāo)準(zhǔn)差：；（2）次數(shù)位于與之間的有6位同學(xué)，.【解析】【分析】（1）依據(jù)平均數(shù)公式以及標(biāo)準(zhǔn)差公式分別求解即可；（2）先求，，再確定位于與之間學(xué)生人數(shù)，最終求百分比.【詳解】（1）10名學(xué)生的平均成果為：.方差：，即標(biāo)準(zhǔn)差.（2），，所以次數(shù)位于與之間的有6位同學(xué)，所占的百分比是.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、百分比，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.18.某校響應(yīng)教化部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成果，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).已知這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計(jì)抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)；(中位數(shù)保留兩位小數(shù))（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.【答案】（1），，中位數(shù)：；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的面積和為1、這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人列式求解a，b的值，再依據(jù)中位數(shù)左右兩邊的面積均為計(jì)算即可.（2）在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，再利用枚舉法求解即可.【詳解】（1）依題意，，解得，，中位數(shù).（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)”為事務(wù)A由題意知，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，從這6名同學(xué)中抽取2人全部可能出現(xiàn)的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，共15種，抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的結(jié)果有：，，，，，，，共8種，所以，抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖求參數(shù)與中位數(shù)的方法、枚舉法解決古典概型的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.19.國(guó)家射擊隊(duì)的某隊(duì)員射擊一次，命中7~10環(huán)的概率如表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次求:（1）射中9環(huán)或10環(huán)的概率；（2）至少命中8環(huán)的概率；（3）命中不足8環(huán)的概率．【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.【解析】分析：（1）依據(jù)互斥事務(wù)概率加法得結(jié)果，（2）依據(jù)互斥事務(wù)概率加法得結(jié)果，（3）依據(jù)對(duì)立事務(wù)概率關(guān)系求結(jié)果.詳解：記事務(wù)“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak（k∈N，k≤10），則事務(wù)Ak彼此互斥．（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事務(wù)A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事務(wù)A發(fā)生，由互斥事務(wù)的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事務(wù)為B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事務(wù)B發(fā)生.由互斥事務(wù)概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78（3）由于事務(wù)“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事務(wù)B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”對(duì)立事務(wù)：即表示事務(wù)“射擊一次，命中不足8環(huán)”，依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22點(diǎn)睛：互斥事務(wù)概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式:若A,B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).20.如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，，且，，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，且，求多面體的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)割補(bǔ)法，由計(jì)算出多面體的體積.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，，所以，，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以，故，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于，所以多面體的體積為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查錐體體積的求法，考查空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.21.將一顆骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，事務(wù)A：“兩數(shù)之和為8”，事務(wù)B：“兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事務(wù)C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”．（I）寫出該試驗(yàn)的基本領(lǐng)件，并求事務(wù)A發(fā)生的概率；（II）求事務(wù)B發(fā)生的概率；（III）事務(wù)A與事務(wù)C至少有一個(gè)發(fā)生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列舉法列舉出全部的基本領(lǐng)件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得