第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（習題課對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用）課件高一上學期數(shù)學人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)習題課對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用人教A版

數(shù)學必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一解對數(shù)不等式【例1】

(1)滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為

.規(guī)律方法對數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.(2)形如logax>b的不等式,應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解或利用圖象求解.探究點二與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題【例2】

(1)函數(shù)f(x)=log2(x2-x),x∈[2,5]的值域為(

)A.[1,2+log25] B.[1,2]C.[2,log210] D.[2,1+log25]A解析

令g(x)=x2-x,x∈[2,5],則g(x)在[2,5]上單調(diào)遞增,又g(2)=2,g(5)=20,所以g(x)∈[2,20].又y=log2x在[2,20]上單調(diào)遞增,所以f(x)∈[log22,log220],即f(x)∈[1,2+log25].故選A.(2)[2024安徽合肥高一期中]函數(shù)f(x)=log2x·log2(2x)的最小值為

.

規(guī)律方法與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題的處理方法(1)求解最值問題,一定要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)的最大值、最小值問題,一般要轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題,求二次函數(shù)的最值時常用配方法,配方時注意自變量的取值范圍.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的復合函數(shù)值域的步驟:①分解成兩個函數(shù)y=logau,u=f(x);②求f(x)的定義域;③求u的取值范圍;④利用單調(diào)性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.變式訓練2求下列函數(shù)的值域:(1)y=log2(x2+4);解

y=log2(x2+4)的定義域為R.∵x2+4≥4,∴l(xiāng)og2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域為[2,+∞).探究點三對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性問題解

設(shè)t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x-1)2-4在(3,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,(2)若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.解

由已知函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)t=x2+ax-a-1,其圖象為開口向上的拋物線,故實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).規(guī)律方法對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性的求解方法及注意問題(1)對數(shù)型復合函數(shù)一般可分為兩類:一類是外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一類是內(nèi)層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①對于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論:函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>1時相同,在0<a<1時相反.②研究y=f(logax)型復合函數(shù)的單調(diào)性,一般用換元法,即令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調(diào)性即可.(2)研究對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性,一定要注意先研究函數(shù)的定義域,也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.變式訓練3若函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(t,t+1)上單調(diào),則實數(shù)t的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[2,4] B.(-1,1]∪[2,4)C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[5,+∞)D解析

由題意可得,x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.所以函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(5,+∞).令m(x)=x2-4x-5,則m(x)在(5,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,又函數(shù)y=lg

x在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以要使函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(t,t+1)上單調(diào),則t+1≤-1或t≥5,解得t≤-2或t≥5,則實數(shù)t的取值范圍是(-∞,-2]∪[5,+∞).故選D.探究點四對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】

[人教B版教材習題]已知函數(shù)f(x)=log2(1+x)+log2(1-x).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性;(2)f(x)為偶函數(shù),理由如下:∵f(x)的定義域為(-1,1),關(guān)于原點對稱,且f(-x)=log2(1-x)+log2(1+x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).規(guī)律方法

在研究對數(shù)函數(shù)問題時尤其要注意先求其定義域,?？疾炱媾夹?、單調(diào)性、值域等問題.A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)A學以致用·隨堂檢測促達標12345A.(3,5] B.[-3,5]C.[-5,3) D.[-5,-3]C解析

要使函數(shù)有意義,則3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.12345A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)D解析

令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(2,+∞),123453.若logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,則(

)A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2B解析

由于logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,則a>1.對數(shù)函數(shù)y=logax為增函數(shù),則logab>logaa=1,所以b>a>1.故選B.12345AA.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]123455.已知對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過點(3,1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求實數(shù)x