2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形綜合測(cè)試課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE8單元綜合測(cè)試二(其次章)時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，則角A等于(D)A．150° B．90°C．60° D．30°解析：由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\r(2))＝eq\f(1,2).∵a<b，∴A為銳角．∴A＝30°.2．在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，則a等于(A)A．5 B．4C．3 D．10解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52＋(5eq\r(3))2－2×5×5eq\r(3)×cos30°＝25，故a＝5.3．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,3，a，則a的取值范圍是(B)A．(8,10) B．(2eq\r(2)，eq\r(10))C．(2eq\r(2)，10) D．(eq\r(10)，8)解析：依題意，三角形為銳角三角形，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋32－a2>0，,12＋a2－32>0，))解得2eq\r(2)<a<eq\r(10)，故選B.4．在△ABC中，分別依據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是(D)A．a(chǎn)＝7，b＝14，A＝30° B．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°C．a(chǎn)＝6，b＝9，A＝45° D．a(chǎn)＝30，b＝40，A＝30°解析：在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝eq\f(9\r(2),2)>a＝6，故△ABC無(wú)解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b，故△ABC有兩解．綜上可知，選D.5．三角形兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，則三角形的面積是(B)A．12 B．6C．24 D．4解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根為－eq\f(3,5)或2.∴兩邊夾角的余弦值為－eq\f(3,5)，則正弦值為eq\f(4,5).故三角形的面積為eq\f(1,2)×5×3×eq\f(4,5)＝6.6．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形態(tài)肯定是(C)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形解析：由2cosBsinA＝sinC得eq\f(a2＋c2－b2,ac)×a＝c，∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．7．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16eq\r(2)，則三角形的面積為(C)A．2eq\r(2) B．8eq\r(2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：因?yàn)閑q\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝8，所以sinC＝eq\f(c,8)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,16)＝eq\f(16\r(2),16)＝eq\r(2).8．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為(B)A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析：由余弦定理，得cosA＝eq\f(9＋16－13,2×3×4)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC邊上的高＝AB·sinA＝eq\f(3\r(3),2).9．在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則△ABC的面積為(D)A．2eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(3)或4eq\r(3) D.eq\r(3)或2eq\r(3)解析：如圖，因?yàn)锳D＝AB·sinB＝eq\r(3)<2，所以BD＝AB·cosB＝3，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝1，C′D＝eq\r(AC′2－AD2)＝1.所以BC＝3－1＝2，BC′＝3＋1＝4，故△ABC有兩解，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\r(3)或S△ABC′＝eq\f(1,2)BC′·AD＝2eq\r(3).10．某小區(qū)的綠化地有一個(gè)三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別用A，B，C表示，其對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)意(2b－c)cosA－acosC＝0，則在A處望B，C所成的角的大小為(B)A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)解析：在△ABC中，(2b－c)cosA－acosC＝0，結(jié)合正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，即2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即2sinBcosA－sinB＝0.又因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,3)，即在A處望B，C所成的角的大小為eq\f(π,3).第Ⅱ卷(非選擇題，共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線(xiàn)上)11．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝40eq\r(10).解析：由tanB＝1，tanC＝2，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(2\r(5),5)，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝40eq\r(10).12．已知a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，則a的值為eq\r(3).解析：eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝bsin60°，∴b＝1，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝eq\r(3).13．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若eq\r(3)bcosA－ccosA＝acosC，則sinA＝eq\f(\r(6),3).解析：由正弦定理可得eq\r(3)cosAsinB－sinCcosA＝sinAcosC，化簡(jiǎn)得eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)，即cosA＝eq\f(\r(3),3)，∴sinA＝eq\f(\r(6),3).14．在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則eq\f(AC,cosA)的值等于2，AC的取值范圍為(eq\r(2)，eq\r(3))．解析：設(shè)A＝θ?B＝2θ.由正弦定理得eq\f(AC,sin2θ)＝eq\f(BC,sinθ)，所以eq\f(AC,2cosθ)＝1?eq\f(AC,cosθ)＝2.由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，故30°<θ<45°?eq\f(\r(2),2)<cosθ<eq\f(\r(3),2)，所以AC＝2cosθ∈(eq\r(2)，eq\r(3))．15．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝150m.解析：依據(jù)題圖知，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，滿(mǎn)分75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16．(本小題滿(mǎn)分12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)．解：(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又因?yàn)镃∈(0°，180°)，所以C＝120°.(2)因?yàn)閍，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))所以AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，所以AB＝eq\r(10).17．(本小題滿(mǎn)分12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理得sinB＝eq\r(3)cosB，即tanB＝eq\r(3)，因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).18．(本小題滿(mǎn)分12分)△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,6)，(1＋eq\r(3))c＝2b.(1)求C；(2)若eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝1＋eq\r(3)，求a，b，c.解：(1)由(1＋eq\r(3))c＝2b，得eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(sinB,sinC).則有eq\f(sin(π－\f(π,6)－C),sinC)＝eq\f(sin\f(5π,6)cosC－cos\f(5π,6)sinC,sinC)＝eq\f(1,2)cotC＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2).得cotC＝1，即C＝eq\f(π,4).(2)由eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝1＋eq\r(3)，推出abcosC＝1＋eq\r(3)，而C＝eq\f(π,4)，即得eq\f(\r(2),2)ab＝1＋eq\r(3)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)ab＝1＋\r(3)，,(1＋\r(3))c＝2b，,\f(a,sinA)＝\f(c,sinC).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1＋\r(3)，,c＝2.))19．(本小題滿(mǎn)分12分)已知△ABC中，A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c，sinB及△ABC的面積．解：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f((b＋c)2－2bc－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).將a＝7，b＋c＝8代入得bc＝15，又b＋c＝8.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,c＝3.))當(dāng)b＝3，c＝5時(shí)，由正弦定理得eq\f(3,sinB)＝eq\f(7,sin120°)，∴sinB＝eq\f(3\r(3),14).S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).當(dāng)b＝5，c＝3時(shí)，同理可得sinB＝eq\f(5\r(3),14)，S△ABC＝eq\f(15\r(3),4).20．(本小題滿(mǎn)分13分)在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．解：(1)由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(2π,3).(2)∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△ABC的周長(zhǎng)L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3).∵0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)≤2＋eq\r(3)，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(2eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．21．(本小題滿(mǎn)分14分)如圖所示，直線(xiàn)a是海面上一條南北方向的海防警戒線(xiàn)，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)