2020-2021學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二下學(xué)期期末考試調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一．填空題（共12小題，16每題4分，712每題5分，共54分）1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，以O(shè)x的正半軸為角θ的始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），則cosθ＝．2．如果1﹣2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，其中i是虛數(shù)單位，則pq＝．3．若＝110，則n＝．4．函數(shù)y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是．5．已知地球的半徑為6371千米，上海的位置約為東經(jīng)121°27'，北緯31°8'，臺(tái)北的位置約為東經(jīng)121°27'，北緯25°5'，則兩個(gè)城市之間的距離約為千米．（結(jié)果精確到1千米）6．（1+a）12的二項(xiàng)展開式中的倒數(shù)第5項(xiàng)是．7．用半徑為2米的半圓形鐵片圍成一個(gè)圓錐形的容器，則這個(gè)容器的容積是立方米．8．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是．9．在一次義診送上門大型活動(dòng)中，需要從某醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）和4名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）一共10人中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，要求至少有一名主任醫(yī)師參加，則不同的選派方案共有種．（用數(shù)字作答）10．設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0與雙曲線的漸近線相切，則實(shí)數(shù)b＝．11．二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）圖象上的A、B兩點(diǎn)均在第一象限．設(shè)點(diǎn)F（0，），當(dāng)|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3時(shí)，直線AB的斜率為．12．在《九章算術(shù)》中定義“底面為直角三角形而有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐為鱉臑”．如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，則異面直線AC與BD所成角的大小為．二．選擇題（1316每題5分，共20分）13．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝sin2+icos2（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，1在同一平面”是“m，n，1兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）與普通方程y2＝x表示同一曲線的方程是（）A． B． C． D．16．直線+＝1（ab≠0）與橢圓+＝1相交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P使得△PMN的面積為|ab|，則這樣的點(diǎn)P在橢圓上的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、解答題(14+14+14+16+18）17．設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x，y），已知為實(shí)數(shù)．（1）求Z（x，y）的軌跡方程；（2）求|z﹣1|的取值范圍．18．我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，它的運(yùn)行軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖所示．衛(wèi)星在近地點(diǎn)A與地球表面的距離為439千米，在遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地球表面的距離為2384千米，地球中心與A、B在同一直線上．已知地球的半徑R為6371千米，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求衛(wèi)星軌道的方程．19．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．20．（16分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1，的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)．（1）求直線AA1與平面D1AE所成角的大小；（2）作出過D1，A，E三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面α，并求截面α與側(cè)面ADD1A1所成的銳二面角的大??；（3）點(diǎn)F為CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面正方形ABCD（包括邊界）內(nèi)，若FP∥平面D1AE，求線段C1P長(zhǎng)度的取值范圍．21．（18分）已知橢圓，過動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（m＞0）的直線1交x軸于點(diǎn)N，交橢圓于點(diǎn)A，P（點(diǎn)P在第一象限），且M是線段PN的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交橢圓于點(diǎn)B．點(diǎn)T（，）在橢圓上．（1）求橢圓的焦距；（2）設(shè)直線PM的斜率為k，直線QM的斜率為k′，證明：為定值；（3）求直線AB傾斜角的最小值．參考答案一．填空題（16每題4分，712每題5分，共54分）1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，以O(shè)x的正半軸為角θ的始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），則cosθ＝﹣．解：由題意，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，以O(shè)x的正半軸為角θ的始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），所以x＝﹣3，y＝4，r＝5，cosθ＝＝﹣．故答案為：﹣．2．如果1﹣2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，其中i是虛數(shù)單位，則pq＝﹣10．解：1﹣2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q＝0的一個(gè)根，則1+2i也是方程的根，所以，解得p＝﹣2，q＝5，所以pq＝﹣10．故答案為：﹣10．3．若＝110，則n＝11．解：∵＝n（n﹣1）＝110，則n＝11，故答案為：11．4．函數(shù)y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是π．解：∵y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴．∴故答案為：π．5．已知地球的半徑為6371千米，上海的位置約為東經(jīng)121°27'，北緯31°8'，臺(tái)北的位置約為東經(jīng)121°27'，北緯25°5'，則兩個(gè)城市之間的距離約為672千米．（結(jié)果精確到1千米）解：因?yàn)樯虾：团_(tái)北在同一經(jīng)線上，所以它們?cè)诘厍虻耐粋€(gè)大圓上，則這個(gè)大圓上，設(shè)地球的球心為O，上海、臺(tái)北分別為點(diǎn)A，B，由上海、臺(tái)北的經(jīng)緯度可知，∠AOB＝6°3'，地球的半徑為r＝6371，故AB的弧長(zhǎng)為672千米，所以上海和臺(tái)北兩個(gè)城市之間的距離約為672千米．故答案為：672．6．（1+a）12的二項(xiàng)展開式中的倒數(shù)第5項(xiàng)是495a8．【分析】由題意可得，本題即求展開式的第9項(xiàng)，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，得出結(jié)論．解：（1+a）12的二項(xiàng)展開式中的倒數(shù)第5項(xiàng)，即展開式的第9項(xiàng)，為T9＝?a8＝495a8，故答案為：495a8．7．用半徑為2米的半圓形鐵片圍成一個(gè)圓錐形的容器，則這個(gè)容器的容積是立方米．【分析】由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為l＝2，由圓錐的底面周長(zhǎng)等于半圓弧長(zhǎng)列式求圓錐底面半徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算圓錐的高，代入體積公式計(jì)算．解：由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為l＝2，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π，即r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝，∴圓錐的體積V＝?πr2?h＝?π?＝．故答案為：．8．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是．【分析】首先用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個(gè)人排列找出分子，再全部排列找到分母，再利用古典概型求概率．解：用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個(gè)人排列，有＝12種排法，再所有的4個(gè)人全排列有＝24種排法，利用古典概型求概率p＝＝，故答案為：．9．在一次義診送上門大型活動(dòng)中，需要從某醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）和4名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）一共10人中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，要求至少有一名主任醫(yī)師參加，則不同的選派方案共有90種．（用數(shù)字作答）【分析】根據(jù)題意，按照男女主任醫(yī)師是否被選中分3種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，分3種情況討論：①只有男主任醫(yī)師被選出，有C52C32＝30種選法；②只有女主任醫(yī)師被選出，有C53C31＝30種選法；③男女主任醫(yī)師都被選出，有C51C31＝30種選法；則有30+30+30＝90種選派方法；故答案為：90．10．設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0與雙曲線的漸近線相切，則實(shí)數(shù)b＝．【分析】先由圓的方程得圓心，半徑，由雙曲線的方程，得漸近線的方程，則圓心（1，2）到漸近線y＝﹣bx的距離d＝＝r＝1，記得b，即可得出答案．解：圓x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圓心為（1，2），半徑r＝1，雙曲線x2﹣＝1的漸近線為y＝±bx，所以圓心（1，2）到漸近線y＝﹣bx的距離d＝＝r＝1，解得b＝±，故答案為：±．11．二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）圖象上的A、B兩點(diǎn)均在第一象限．設(shè)點(diǎn)F（0，），當(dāng)|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3時(shí)，直線AB的斜率為．【分析】將二次函數(shù)y＝ax2轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，結(jié)合拋物線的定義，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．解：∵二次函數(shù)為y＝ax2，∴，即該方程可看作，焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，即焦點(diǎn)F（0，），設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），∵|AF|＝4，|BF|＝2，∴由拋物線的定義，可得，，兩式相減，可得yA﹣yB＝2，∵|AB|＝3，∴，又∵A、B兩點(diǎn)均在第一象限，且，yA＞yB，∴xA﹣xB＞0，∴，∴直線AB的斜率為．故答案為：．12．在《九章算術(shù)》中定義“底面為直角三角形而有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐為鱉臑”．如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，則異面直線AC與BD所成角的大小為arccos或arccos．【分析】分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，由EF//BD，EG//AC，可得∠FEC為異面直線AC與BD所成的角，由已知中的定義，分∠BCD＝90°和∠BDC＝90°兩種情況討論，利用余弦定理求解即可．解：如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF//BD，EG//AC，所以∠FEC為異面直線AC與BD所成的角，易知FO//AB，且AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AB⊥BC，所以AC＝，所以EG＝AC＝，當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，所以EF＝BD＝．又因?yàn)镺F＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即異面直線AC與BD所成的角為arccos；當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，EF＝BD＝．因?yàn)镺F＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即異面直線AC與BD所成的角為arccos．綜上可得，異面直線AC與BD所成的角為arccos或arccos．故答案為：arccos或arccos．二．選擇題（1316每題5分，共20分）13．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝sin2+icos2（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由2在第二象限可解決此題．解：∵2在第二象限，∴sin2＞0，cos2＜0，∴復(fù)數(shù)z＝sin2+icos2（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．14．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，1在同一平面”是“m，n，1兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)空間直線和平面的位置關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：①若m，n，l在同一平面內(nèi)，則m，n，l可能平行，可能相交，即m，n，l兩兩相交不一定正確，即充分性不成立，②若m，n，l兩兩相交，且不過同一點(diǎn)，則m，n，l一定在同一平面內(nèi)，即必要性成立，∴m，n，l在同一平面內(nèi)是m，n，l兩兩相交的必要不充分條件，故選：B．15．下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）與普通方程y2＝x表示同一曲線的方程是（）A． B． C． D．【分析】由代入法、正弦函數(shù)的值域和三角函數(shù)的二倍角公式，將參數(shù)方程化為普通方程，可得結(jié)論．解：對(duì)于A，由，可得y＝x2；由，可得y2＝x（0≤x≤1）；由，可得y2＝|x|；由，可得x＝＝tan2t＝y(tǒng)2，即y2＝x．故選：D．16．直線+＝1（ab≠0）與橢圓+＝1相交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P使得△PMN的面積為|ab|，則這樣的點(diǎn)P在橢圓上的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），θ∈[0，2π），結(jié)合題意可得，方程有幾個(gè)解就有幾個(gè)P點(diǎn)．解：因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，2π），不妨設(shè)M（a，0），N（0，b），因?yàn)椤鱌MN的面積為，，設(shè)P點(diǎn)到直線MN的距離為h，則直線，所以②，①②聯(lián)立得，即，或，又即，或，數(shù)形結(jié)合可知θ共有3個(gè)解，所以P點(diǎn)共有3個(gè)．故選：C．三、解答題(14+14+14+16+18）17．設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x，y），已知為實(shí)數(shù)．（1）求Z（x，y）的軌跡方程；（2）求|z﹣1|的取值范圍．【分析】（1）由z＝x+yi，根據(jù)為實(shí)數(shù)得到關(guān)于x，y的方程，即可得到Z（x，y）的軌跡方程；（2）求出|z﹣1|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可．解：（1）因?yàn)閦＝x+yi（x，y∈R），復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x，y），所以＝因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以xy﹣（x+2）（y﹣1）＝0，所以Z（x，y）的軌跡方程為x﹣2y+2＝0，點(diǎn)（0，1）除外．（2）|z﹣1|＝＝，所以|z﹣1|的取值范圍為．18．我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，它的運(yùn)行軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖所示．衛(wèi)星在近地點(diǎn)A與地球表面的距離為439千米，在遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地球表面的距離為2384千米，地球中心與A、B在同一直線上．已知地球的半徑R為6371千米，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求衛(wèi)星軌道的方程．【分析】以衛(wèi)星軌道的中心為原點(diǎn)O，線段AB所在直線為x軸方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為+＝1，F(xiàn)2（c，0），則a﹣c＝AF2，a+c＝BF2，解得a，c，b，即可得出答案．解：以衛(wèi)星軌道的中心為原點(diǎn)O，線段AB所在直線為x軸，方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為+＝1，F(xiàn)2（c，0），設(shè)A′，B′是直線AB與地球表面的兩個(gè)交點(diǎn)，則a﹣c＝AF2＝AA′+R＝6371+439＝6810，a+c＝BF2＝AB′+R＝6371+2384＝8755，a＝7782.5，cb＝＝7721.5，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1，即+＝1．19．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的關(guān)系式求出A的值，進(jìn)一步利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出周長(zhǎng)的范圍．解：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象，函數(shù)的周期T＝，故ω＝2．由于點(diǎn)（）滿足函數(shù)的圖象，所以Asin（φ）＝0，由于0＜φ＜，所以φ＝．由于點(diǎn)（0，1）在函數(shù)的圖象上，所以A＝2．故函數(shù)f（x）＝2sin（2x+）．（2）由于f（）＝2sin（A+）＝2，所以A＝．由正弦定理：，整理得b＝，同理c＝＝，由于，所以，由于，所以，所以．所以：l△ABC∈（4，6]．20．（16分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1，的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)．（1）求直線AA1與平面D1AE所成角的大?。唬?）作出過D1，A，E三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面α，并求截面α與側(cè)面ADD1A1所成的銳二面角的大??；（3）點(diǎn)F為CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面正方形ABCD（包括邊界）內(nèi)，若FP∥平面D1AE，求線段C1P長(zhǎng)度的取值范圍．【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面D1AE的法向量，由線面角的向量計(jì)算公式求解，結(jié)合反三角函數(shù)即可得到答案；（2）利用（1）中的結(jié)論，再取側(cè)面ADD1A1的法向量，然后由二面角的向量計(jì)算公式求解，結(jié)合反三角函數(shù)即可得到答案；（3）設(shè)P（x，y，0），利用，得到x和y的關(guān)系，然后由，求出x的范圍，利用距離公式表示出C1P，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D1（2，0，2），E（0，2，1），A1（0，0，2），所以，設(shè)平面D1AE的法向量為，則，即，令y＝1，則