2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2.1排列-6.2.2排列數(shù)【課件】

6.2排列與組合6.2.1排列

6.2.2排列數(shù)第六章計(jì)數(shù)原理1|排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式?1.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照①

一定的順序

排成一列,叫做

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的②

個(gè)數(shù)

,叫做從n個(gè)

不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號③

表示.3.排列數(shù)公式:

=④

n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

(m,n∈N*,m≤n).第六章計(jì)數(shù)原理2|全排列、階乘的概念及相關(guān)結(jié)論1.把n個(gè)不同的元素⑤

全部取出

的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列,記作

⑥

.2.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用⑦

n!

表示.3.階乘的相關(guān)結(jié)論(1)規(guī)定:0!=⑧

1

.(2)

=⑨

n!

(n∈N*).(3)排列數(shù)公式的另一種形式:

=⑩

(m,n∈N*,m≤n).第六章計(jì)數(shù)原理3|處理排列問題的常用方法對于排列問題,從解題途徑上看有直接法和間接法.從解題策略上看,有元素分析法和位置分析法.從解題技巧上看,有捆綁法和插空法.第六章計(jì)數(shù)原理1.若組成兩個(gè)排列的元素相同,則這兩個(gè)排列是相同的.

(

?)組成兩個(gè)排列的元素的排列順序不相同時(shí),這兩個(gè)排列是不相同的.2.a,b,c與b,a,c是同一個(gè)排列.

(

?)3.排列數(shù)公式

=

中m≠n.

(

?

)4.4×5×6×…×(n-1)×n=

,其中n∈N*,n≥4.

(√)5.5個(gè)人站成一排,其中甲、乙兩人不相鄰的排法可列式為

-

.

(√)利用插空法可列式為

;利用間接法可列式為

-

.判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.第六章計(jì)數(shù)原理1|排列數(shù)及其運(yùn)算

1.“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念.排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m

(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列”,這不是一個(gè)數(shù);排列數(shù)是指“從n個(gè)不

同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,這是一個(gè)數(shù).2.規(guī)定:0!=1,不按階乘的含義作解釋.在排列數(shù)公式

=n(n-1)…(n-m+1)中,n,m要滿足的條件是n,m∈N*,m≤n.3.排列數(shù)的性質(zhì):

=n

=m

+

.第六章計(jì)數(shù)原理

解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟:第六章計(jì)數(shù)原理(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55);(2)計(jì)算

;(3)化簡求值:①1!+2×2!+3×3!+…+n×n!(n∈N*);②

+

+

+…+

(n≥2且n∈N*);(4)解不等式:

>6

.第六章計(jì)數(shù)原理解析

(1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的數(shù)為69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15個(gè)正整

數(shù),∴(55-n)(56-n)…(69-n)=

.(2)

=

=

=3.(3)①原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.②∵

=

-

,∴

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.第六章計(jì)數(shù)原理(4)易知

∴2<x≤9,x∈N*.原不等式可化為

>

,其中2<x≤9,x∈N*,化簡得(11-x)(10-x)>6,即x2-21x+104>0,∴(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.∵2<x≤9,x∈N*,∴2<x<8,x∈N*.故x=3,4,5,6,7,∴原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.方法總結(jié)

(1)排列數(shù)公式的乘積的形式適用于求值和當(dāng)m較小時(shí)的含排列數(shù)的方

程和不等式問題.(2)排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等

問題,具體應(yīng)用時(shí)注意提取公因式,可以簡化計(jì)算.第六章計(jì)數(shù)原理2|有限制條件的排隊(duì)問題

“在”與“不在”的問題解決“在”與“不在”的問題,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法.

若以位置為主,則需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置,若有兩個(gè)及以上的約

束條件,則在考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其他條件;若以元素為主,則需先滿足

特殊元素的要求,再處理其他的元素.當(dāng)直接求解困難時(shí),可考慮用間接法求解,即先

不考慮限制條件,計(jì)算出排列總數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù).第六章計(jì)數(shù)原理

“相鄰”與“不相鄰”問題1.“捆綁法”解決相鄰問題解決相鄰問題一般用“捆綁法”.將n個(gè)不同的元素排成一列,其中k(k≤n)個(gè)元素排

在相鄰的位置上,求不同排法的種數(shù)的方法如下:(1)先將這k個(gè)元素“捆綁”在一

起,看成一個(gè)整體;(2)把這個(gè)整體當(dāng)成一個(gè)元素與其他元素一起排列,有

種排法;(3)“松綁”,即將“捆綁”在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列,其排列方法有

種;(4)由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的排法有

種.第六章計(jì)數(shù)原理2.“插空法”解決不相鄰問題解決不相鄰問題通常用“插空法”.將n個(gè)不同的元素排成一列,其中k

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),k≤

;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),k≤

個(gè)元素互不相鄰,求不同排法的種數(shù)的方法如下:(1)將沒有不相鄰要求的(n-k)個(gè)元素排成一排,其排列方法有

種;(2)將要求兩兩不相鄰的k個(gè)元素插入(n-k+1)個(gè)空隙中,相當(dāng)于從(n-k+1)個(gè)空隙中選出k個(gè)分別分配

給兩兩不相鄰的k個(gè)元素,其排列方法有

種;(3)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的排法有

種.

第六章計(jì)數(shù)原理

“定序”問題在排列問題中,某些元素在題意中已排定了順序,對這些元素進(jìn)行排列時(shí),不再考慮其順序.在具體的計(jì)算過程中,可采用“除階乘法”解決,即n個(gè)元素的全排列中有m

(m≤n)個(gè)元素的順序固定,則滿足題意的排法有

種.第六章計(jì)數(shù)原理

7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男學(xué)生4人,女學(xué)生2人.分別求滿足下

列情況的不同站法的種數(shù).(1)老師甲必須站在中間或兩端;(2)2名女學(xué)生必須相鄰而站;(3)4名男學(xué)生互不相鄰;(4)若4名男學(xué)生身高都不等,按從高到低的順序站.第六章計(jì)數(shù)原理解析

(1)先考慮甲有

種站法,再考慮其余6人全排列,故不同站法的種數(shù)為

=2160.(2)2名女學(xué)生相鄰而站有

種站法,視為一個(gè)整體并與其余5人全排列,有

種排法,所以不同站法的種數(shù)為

=1440.(3)先站老師和女學(xué)生,有

種站法,再在老師和女學(xué)生站位的空(含兩端)中插入男學(xué)生,每空一人,則插入方法有

種,所以不同站法的種數(shù)為

=144.(4)在7人全排列的所有站法中,4名男學(xué)生不考慮身高順序的站法有

種,而從高到低順序站有從左到右和從右到左2種,所以不同站法的種數(shù)為2×

=420.第六章計(jì)數(shù)原理

元宵節(jié)燈展后,如圖懸掛的6盞不同的花燈需要取下,每次取1盞,共有

種不

同取法.(用數(shù)字作答)第六章計(jì)數(shù)原理思路點(diǎn)撥將問題轉(zhuǎn)化為六個(gè)元素進(jìn)行排列,而每一串的2盞花燈都有順序,自下而上,所以是

排列中的“定序”問題.解析

先將6盞花燈全排列共有

種排法,因?yàn)槿』魰r(shí)每次只能取1盞,且每串花燈必須先取下面的花燈,即每串2盞花燈取下的順序確定,所以取下6盞不同的花燈,

每次取1盞,共有

=

=90種不同取法.答案

90第六章計(jì)數(shù)原理3|與數(shù)字有關(guān)的排列問題

數(shù)字排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問題,有限制條件的排列問題的限制

條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置不排某些元素,解決該類排

列問題的主要方法是按照“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置,

若一個(gè)位置安排的元素影響到另一個(gè)位置的元素個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)分類討論.含有數(shù)字“0”的排列問題中,有些隱含了數(shù)字“0”不能在首位的條件,應(yīng)將其視

為有限制條件的元素優(yōu)先進(jìn)行排列.若在一個(gè)題目中,除了數(shù)字“0”以外還有其他

受限制的數(shù)字,則應(yīng)考慮受限制的數(shù)字對位置的選擇會不會影響數(shù)字“0”對位置

的選擇,若有影響,則應(yīng)分類討論.第六章計(jì)數(shù)原理

從分別印有數(shù)字0,3,5,7,9的5張卡片中,任意抽出3張組成三位數(shù).(1)求可以組成多少個(gè)大于500的三位數(shù);(2)求可以組成多少個(gè)是5的倍數(shù)的三位數(shù);(3)若印有9的卡片,既可以當(dāng)9用,也可以當(dāng)6用,求可以組成多少個(gè)三位數(shù).思路點(diǎn)撥(1)從首位大于或等于5進(jìn)行分析.(2)從個(gè)位為0或5入手.(3)對特殊卡片9分被抽取和

未被抽取兩種情況進(jìn)行分析,當(dāng)被抽取時(shí)又可以作為數(shù)字6用.解析

(1)百位可以從5,7,9三張卡片中任取一張,十位和個(gè)位則可從剩下的卡片中

任取,所以可以組成大于500的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

=3×4×3=36.(2)分兩種情況:若個(gè)位為0,則十位和百位可從3,5,7,9中任取,有

=12個(gè);若個(gè)位為5,則百位只能從3,7,9中任取一張,十位再從剩下的3張卡片中任取一張,所以有

=9個(gè).第六章計(jì)數(shù)原理所以可以組成12+9=21個(gè)是5的倍數(shù)的三位數(shù).(3)分三種情況:若卡片9沒有被抽取,則這樣的三位數(shù)有

=18個(gè);若卡片9被抽取,且0未被抽取,則這樣的三位數(shù)有3

×2=36個(gè);若卡片9被抽取,且0被抽取,則這樣的三位數(shù)有2×3×2

=24個(gè).所以這樣的三位數(shù)共有18+36+24=78個(gè).第六章計(jì)數(shù)原理

用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè):(1)無重復(fù)數(shù)字且個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)?(2)無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)?(3)無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)?若這些六位數(shù)按從小到大的順序排成一列,則240135是該

列數(shù)的第幾項(xiàng)?解析

(1)解法一:間接法.0在十萬位的六位數(shù)或5在個(gè)位的六位數(shù)都有

個(gè),0在十萬位且5在個(gè)位的六位數(shù)有

個(gè).故符合題意的六位數(shù)共有

-2

+

=504個(gè).第六章計(jì)數(shù)原理解法二:直接法.十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上數(shù)字為0與不為0而有所不同,因此需分兩類:第一類:當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí),符合題意的六位數(shù)有

個(gè);第二類:當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為0時(shí),符合題意的六位數(shù)有

個(gè).故符合題意的六位數(shù)共有

+

=504個(gè).(2)符合題意的四位數(shù)可分為三類:第一類:形如2□□□,3□