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文檔簡介
7.3.1離散型隨機變量的均值
第七章
7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征知識梳理1.離散型隨機變量的均值的概念一般地,若離散型隨機變量X的分布列為知識點一離散型隨機變量的均值Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)=
=
為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn2.離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的
,它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的
.3.離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若Y=aX+b,其中a,b均是常數(shù)(X是隨機變量),則Y也是隨機變量,且有E(aX+b)=
.加權(quán)平均數(shù)平均水平aE(X)+b證明如下:如果Y=aX+b,其中a,b為常數(shù),X是隨機變量,那么Y也是隨機變量.因此P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,3,…,n,所以Y的分布列為Yax1+bax2+b…axi+b…axn+bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b,即E(aX+b)=aE(X)+b.思考離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系如何?答案(1)區(qū)別:隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.(2)聯(lián)系:對于簡單的隨機樣本,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.知識點二兩點分布的均值如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.1.隨機變量X的均值E(X)是個變量,其隨X的變化而變化.(
)2.隨機變量的均值反映了樣本的平均水平.(
)3.若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.(
)4.若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=P(X=1).(
)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×題型探究一、利用定義求離散型隨機變量的均值例1
袋中有4只紅球,3只黑球,現(xiàn)從袋中隨機取出4只球,設(shè)取到一只紅球得2分,取到一只黑球得1分,試求得分X的均值.解取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分,3紅1黑得7分,2紅2黑得6分,1紅3黑得5分,因此,X的可能取值為5,6,7,8,故X的分布列為跟蹤訓(xùn)練1
某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”,規(guī)則如下:在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目,若三道題目中猜對一道題目可得1分,若猜對兩道題目可得3分,要是三道題目完全猜對可得6分,若三道題目全部猜錯,則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為
,且三道題目之間相互獨立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值.解根據(jù)題意,設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”,則X的可能取值為-4,1,3,6.∴X的分布列為二、離散型隨機變量均值的性質(zhì)例2
已知隨機變量X的分布列為
若Y=-2X,則E(Y)=____.解析由隨機變量分布列的性質(zhì),得由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),所以a=15.跟蹤訓(xùn)練2
已知隨機變量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,則m的值為√解析因為η=12ξ+7,則E(η)=12E(ξ)+7,三、均值的實際應(yīng)用例3
隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:萬元)為X.(1)求X的分布列;解X的所有可能取值有6,2,1,-2,故X的分布列為X621-2P0.630.250.10.02解E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(萬元).(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值);(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個等級的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%.若此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少?解設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依題意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多為3%.跟蹤訓(xùn)練3
受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率,解答下列問題:(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛,求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;解設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;解依題意得,X1的分布列為X2的分布列為(3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車,若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車?說明理由.∵E(X1)>E(X2),∴應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車.隨堂練習(xí)1.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的均值E(X)等于12345√123452.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值為A.0 B. C.1 D.-1√123453.設(shè)ξ的分布列為又設(shè)η=2ξ+5,則E(η)等于√123452123455.某人進(jìn)行一項試驗,若試驗成功,則停止試驗,若試驗失敗,再重新試驗一次,若試驗3次均失敗,則放棄試驗.若此人每次試驗成功的概率均為
,則此人試驗次數(shù)ξ的均值是____.12345解析試驗次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3,所以ξ的分布列為對點練習(xí)1.某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位:件),整理得下表:基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516日需求量n1415161820頻率0.10.20.30.20.2試估計該商品日平均需求量為A.16 B.16.2 C.16.6 D.16.8√解析估計該商品日平均需求量為14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8,故選D.2.(多選)已知某一隨機變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則
A.a=7 B.b=0.4C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62X4a9P0.50.1b√√√12345678910111213141516解析由題意和分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得b=0.4,a=7.∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52,故ABC正確.123456789101112131415163.現(xiàn)有一個項目,對該項目每投資10萬元,一年后利潤是1.2萬元,1.18萬元,1.17萬元的概率分別為
,隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤,則X的均值為A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38√12345678910111213141516解析因為X的所有可能取值為1.2,1.18,1.17,所以X的分布列為12345678910111213141516解析由題意,可知X的所有可能取值為0,1,2,3.4.袋中有10個大小相同的小球,其中記為0號的有4個,記為n號的有n個(n=1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取到球的標(biāo)號,則E(X)等于√123456789101112131415165.一個課外興趣小組共有5名成員,其中3名女性成員,2名男性成員,現(xiàn)從中隨機選取2名成員進(jìn)行學(xué)習(xí)匯報,記選出女性成員的人數(shù)為X,則X的均值是√12345678910111213141516解析由題意得,X的所有可能的取值為0,1,2,123456789101112131415166.已知E(Y)=6,Y=4X-2,則E(X)=____.2解析∵Y=4X-2,E(Y)=4E(X)-2,∴4E(X)-2=6,即E(X)=2.123456789101112131415167.離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則a=____,b=___.解析易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,
②0123456789101112131415168.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:
已知E(X)=8.9,則y的值為____.0.4X78910Px0.10.3y123456789101112131415169.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)無放回地每次取一節(jié)電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及均值.12345678910111213141516解X的可能取值為1,2,3,所以抽取次數(shù)X的分布列為1234567891011121314151610.春節(jié)期間,小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩,每位朋友在每一個景點下車的概率均為
,用ξ表示4位朋友在第三個景點下車的人數(shù),求:(1)隨機變量ξ的分布列;12345678910111213141516解ξ的所有可能值為0,1,2,3,4.從而ξ的分布列為12345678910111213141516(2)隨機變量ξ的均值.解由(1)得ξ的均值為12345678910111213141516解析出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).綜合運用11.某船隊若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元.根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是A.2000元
B.2200元
C.2400元
D.2600元√12345678910111213141516解析∵E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)為常數(shù),∴E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0.12.若X是一個隨機變量,則E(X-E(X))的值為A.無法確定
B.0 C.E(X)D.2E(X)√1234567891011121314151613.若p為非負(fù)實數(shù),隨機變量ξ的分布列為
則E(ξ)的最大值為√1234567891011121314151621234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究15.(多選)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是:每位學(xué)生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的均值E(X)>1.75,則p的取值可以為√√12345678910111213141516解析根據(jù)題意,X的所有的可能取值為1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,則E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依題意有E(X)>1.75,則p2-3p+3>1.75,結(jié)合選項可知AB正確.1234567891011121314151616.某牛奶店每天以每盒3元的價格從牛奶廠購進(jìn)若干盒鮮牛奶,然后以每盒5元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的牛奶作為垃圾回收處理.(1)若牛奶店一天購進(jìn)50盒鮮牛奶,求當(dāng)天的利潤x(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:盒,n∈N*)的函數(shù)解析式;解當(dāng)n<50時,y=5n-50×3=5n-150,當(dāng)n≥50時,y=50
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