2025屆高考數(shù)學一輪復習第一部分考點通關練第八章概率與統(tǒng)計考點測試66用樣本估計總體含解析新人教B版

PAGE1-考點測試66用樣本估計總體高考概覽高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題，分值為5分，中、低等難度考綱研讀1．了解分布的意義與作用，能依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點2．理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)的標準差3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的說明4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想5．會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡潔的實際問題一、基礎小題1．某品牌空調在元旦期間實行促銷活動，右面的莖葉圖表示某專賣店記錄的每天銷售量狀況(單位：臺)，則銷售量的中位數(shù)是()A．13 B．14C．15 D．16答案C解析由題意得，中位數(shù)是eq\f(14＋16,2)＝15.選C．2．某學校A，B兩個班的愛好小組在一次對抗賽中的成果如莖葉圖所示，通過莖葉圖比較兩個班愛好小組成果的平均值及標準差．①A班愛好小組的平均成果高于B班愛好小組的平均成果；②B班愛好小組的平均成果高于A班愛好小組的平均成果；③A班愛好小組成果的標準差大于B班愛好小組成果的標準差；④B班愛好小組成果的標準差大于A班愛好小組成果的標準差．其中正確結論的編號為()A．①④ B．②③C．②④ D．①③答案A解析A班愛好小組的平均成果為eq\f(1,15)×(53＋62＋64＋…＋92＋95)＝78，其方差為eq\f(1,15)×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，則其標準差為eq\r(121.6)≈11.03；B班愛好小組的平均成果為eq\f(1,15)×(45＋48＋51＋…＋91)＝66，其方差為eq\f(1,15)×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，則其標準差為eq\r(175.2)≈13.24.故選A．3．某班的全體學生參與英語測試，成果的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是()A．45 B．50C．55 D．60答案B解析依據(jù)頻率分布直方圖的特點可知，低于60分的頻率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以該班的學生人數(shù)是eq\f(15,0.3)＝50.故選B．4．在樣本的頻率分布直方圖中，共有7個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他6個小長方形的面積的和的eq\f(1,4)，且樣本容量為80，則中間一組的頻數(shù)為()A．0.25 B．0.5C．20 D．16答案D解析設中間一組的頻數(shù)為x，依題意有eq\f(x,80)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,80)))，解得x＝16.5．探討人員隨機調查統(tǒng)計了某地1000名“上班族”每天在工作之余運用手機上網(wǎng)的時間，并將其繪制為如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，則可估計該地“上班族”每天在工作之余運用手機上網(wǎng)的平均時間是()A．1.78小時 B．2.24小時C．3.56小時 D．4.32小時答案C解析該地“上班族”每天在工作之余運用手機上網(wǎng)的平均時間是(1×0.12＋3×0.2＋5×0.1＋7×0.08)×2＝3.56(小時)．6．對于一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，n)，假如將它們變更為xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，則下列結論正確的是()A．平均數(shù)與方差均不變B．平均數(shù)變，方差保持不變C．平均數(shù)不變，方差變D．平均數(shù)與方差均發(fā)生變更答案B解析由平均數(shù)的定義，可知每個個體增加C，則平均數(shù)也增加C，方差不變．故選B．7．某工廠對一批新產品的長度(單位：mm)進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產品長度的中位數(shù)為()A．20 B．25C．22.5 D．22.75答案C解析自左至右各小矩形的面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，設中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5.選C．8．甲、乙兩名同學在7次數(shù)學測試中的成果如莖葉圖所示，其中甲同學成果的眾數(shù)是85，乙同學成果的中位數(shù)是83，則成果較穩(wěn)定的是________．答案甲解析依據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的概念易得x＝5，y＝3，故甲同學成果的平均數(shù)為eq\f(1,7)×(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96)＝85，乙同學成果的平均數(shù)為eq\f(1,7)×(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96)＝85，故甲同學成果的方差為eq\f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同學成果的方差為eq\f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq\f(398,7)>40，故成果較穩(wěn)定的是甲．二、高考小題9．(2024·全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A．10．(2024·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學珍寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的狀況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析解法一：設調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C．解法二：用Venn圖表示調查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關系如圖：易知調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C．11．(2024·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變更狀況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是()A．新農村建設后，種植收入削減B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半答案A解析設新農村建設前的收入為M，而新農村建設后的收入為2M，則新農村建設前種植收入為0.6M，而新農村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入為0.04M，新農村建設后其他收入為0.1M12．(2024·全國卷Ⅰ)為評估一種農作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產量穩(wěn)定程度，應當用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差．故選B．13．(2024·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變更規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．依據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變更比較平穩(wěn)答案A解析對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，視察折線圖的變更趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知明顯正確．故選A．14．(2024·山東高考)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．依據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A．56 B．60C．120 D．140答案D解析由頻率分布直方圖，知這200名學生每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，則這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為200×0.7＝140.故選D．15．(2024·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展快速，技術先進．經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為________．答案0.98解析平均正點率eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為0.98.16．(2024·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故其方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).17．(2024·江蘇高考)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．答案90解析由莖葉圖可知，5位裁判打出的分數(shù)分別為89,89,90,91,91，故平均數(shù)為eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90.三、模擬小題18．(2024·河南省名校聯(lián)考)如圖給出的是某小區(qū)居民一段時間內訪問網(wǎng)站的比例圖，則下列選項中不超過21%的為()A．騰訊與百度的訪問量所占比例之和B．網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例之和C．淘寶與論壇的訪問量所占比例之和D．新浪與小說的訪問量所占比例之和答案B解析由于網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例之和為18%，不超過21%，故選B．19．(2024·濟南模擬)隨著我國經濟實力的不斷提升，居民收入也在不斷增加．某家庭2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍，實現(xiàn)翻番．同時該家庭的消費結構隨之也發(fā)生了變更，現(xiàn)統(tǒng)計了該家庭這兩年不同品類的消費額占全年總收入的比例，得到了如下折線圖：則下列結論中正確的是()A．該家庭2024年食品的消費額是2024年食品的消費額的一半B．該家庭2024年教化醫(yī)療的消費額與2024年教化醫(yī)療的消費額相當C．該家庭2024年休閑旅游的消費額是2024年休閑旅游的消費額的五倍D．該家庭2024年生活用品的消費額是2024年生活用品的消費額的兩倍答案C解析2024年食品消費占0.2,2024年食品消費占0.4，因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍，所以兩年的食品消費額相當，故A錯誤.2024年教化醫(yī)療消費占0.2,2024年教化醫(yī)療消費占0.2，因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年教化醫(yī)療消費額是2024年的兩倍，故B錯誤.2024年休閑旅游消費占0.25,2024年休閑旅游消費占0.1，因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年休閑旅游的消費額是2024年的五倍，故C正確.2024年生活用品消費占0.3,2024年生活用品消費占0.15，因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年生活用品消費額是2024年的四倍，故D錯誤．故選C．20．(2024·日照二模)某調查機構對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結論中不肯定正確的是()注：90后指1990年及以后誕生，80后指1980～1989年之間誕生，80前指1979年及以前誕生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總人數(shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)90后比80后多答案D解析由題圖易知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員90后占56%，A正確；僅90后從事技術崗位的人數(shù)占總人數(shù)比為0.56×0.396＝0.22176超過20%，B正確；90后從事運營崗位的人數(shù)占總人數(shù)比為0.56×0.17＝0.0952>0.03，C正確；90后從事技術崗位的人數(shù)占總人數(shù)比為0.56×0.396＝0.22176<0.41，而題中未給出80后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布狀況，故D不肯定正確．21．(2024·貴陽監(jiān)測)在某中學實行的環(huán)保學問競賽中，將三個年級參賽學生的成果進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、其次、第三、第四、第五小組，已知其次小組的頻數(shù)是40，則成果在80～100分的學生人數(shù)是()A．15 B．18C．20 D．25答案A解析依據(jù)頻率分布直方圖，得其次小組的頻率是0.04×10＝0.4，∵頻數(shù)是40，∴三個年級參賽學生總人數(shù)是eq\f(40,0.4)＝100，又成果在80～100分的頻率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成果在80～100分的學生人數(shù)是100×0.15＝15.故選A．22．(2024·上海市復旦附中模擬)一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清晰，那么8位員工月工資的中位數(shù)不行能是()A．5800 B．6000C．6200 D．6400答案D解析∵一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600，∴當另外兩名員工的工資都不超過5300時，中位數(shù)為eq\f(5300＋5500,2)＝5400；當另外兩名員工的工資都不小于6500時，中位數(shù)為eq\f(6100＋6500,2)＝6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不行能是6400.故選D．23．(2024·成都市高三其次次診斷性檢測)為比較甲、乙兩名籃球運動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場競賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有以下結論：①甲最近五場競賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場競賽得分的中位數(shù)；②甲最近五場競賽得分平均數(shù)低于乙最近五場競賽得分的平均數(shù)；③從最近五場競賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；④從最近五場競賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定．其中全部正確結論的編號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案C解析甲的中位數(shù)為29，乙的中位數(shù)為30，故①不正確；甲的平均數(shù)為29，乙的平均數(shù)為30，故②正確；從比分來看，乙的得分集中度比甲的得分集中度高，故③正確，④不正確．故選C．24．(2024·新疆高三一模)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務期間，我國有關機構規(guī)定：“該事務在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標記為連續(xù)10天，每天新增加疑似病例不超過7人”．依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標記的是()A．甲地總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地總體均值為2，總體方差大于0C．丙地中位數(shù)為3，眾數(shù)為3D．丁地總體均值為2，總體方差為3答案D解析由于平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例超過7人，A不正確；當總體方差大于0，不知道總體方差的詳細數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動大小，B不正確；中位數(shù)和眾數(shù)也不能限制某一天的病例超過7人，C不正確；當總體平均數(shù)是2，若有一個數(shù)據(jù)超過7，則方差就超過3，D正確．故選D．一、高考大題1．(2024·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.2．(2024·全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0．1)[0.1，0．2)[0.2，0．3)[0.3，0．4)[0.4，0．5)[0.5，0．6)[0.6，0．7]頻數(shù)13249265運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0．1)[0.1，0．2)[0.2，0．3)[0.3，0．4)[0.4，0．5)[0.5，0．6]頻數(shù)151310165(1)作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3(3)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)解(1)(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭運用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此該家庭運用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m(3)該家庭未運用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.該家庭運用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．3．(2024·北京高考)某高校藝術專業(yè)400名學生參與某次測評，依據(jù)男女學生人數(shù)比例，運用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如右頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．解(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4，所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計值為0.4.(2)依據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，樣本中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5，所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2，所以依據(jù)分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2.4．(2024·四川高考)我國是世界上嚴峻缺水的國家，某市政府為了激勵居民節(jié)約用水，安排調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水狀況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由．解(1)由頻率分布直方圖，知月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5a＋0.20＋0.26＋0.5解得a＝0.30.(2)由(1)，知100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準．二、模擬大題5．(2024·安徽淮北模擬)如圖為2025屆淮北師范高校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成果(百分制)分布直方圖，已知80～90分數(shù)段的學員數(shù)為21人．(1)求該專業(yè)畢業(yè)總人數(shù)N和90～95分數(shù)段內的人數(shù)n；(2)現(xiàn)欲將90～95分數(shù)段內的n名畢業(yè)生隨機地安排往A，B，C三所學校，每所學校至少安排兩名畢業(yè)生．①若這n名畢業(yè)生中甲、乙兩人必需進同一所學校，共有多少種不同的安排方法？②若這n名畢業(yè)生中恰有兩名女生，設隨機變量ξ表示n名畢業(yè)生中安排往B學校的兩名畢業(yè)生中女生的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．解(1)80～90分數(shù)段的頻率p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，此分數(shù)段的學員總數(shù)為21人，所以畢業(yè)生的總人數(shù)N＝eq\f(21,0.35)＝60，90～95分數(shù)段的頻率p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，所以90～95分數(shù)段內的人數(shù)n＝60×0.1＝6.(2)①將90～95分數(shù)段內的6名畢業(yè)生隨機地安排往A，B，C三所學校，每所學校至少安排兩名畢業(yè)生，且甲、乙兩人必需進同一所學校，則共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝18種不同的安排方法．②ξ的全部可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).6．(2024·武漢一模)十九