集合綜合歸類（解析版）16題型提分練-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單（新高考全國）

專題01集合綜合歸類

更盤點?置擊看考

石錄

題型一：相等集合................................................................................1

題型二：相等集合求參............................................................................3

題型三：集合中的元素............................................................................5

題型四：集合元素個數(shù)求參........................................................................9

題型五：子集與真子集關(guān)系.......................................................................11

題型十：并集運算求參..........................................................................26

題型十一：補集與全集..........................................................................28

題型十二：補集與全集運算求參...................................................................30

題型十三：韋恩圖應(yīng)用..........................................................................32

題型十四：交并補混合型運算.....................................................................34

題型十五：交并補綜合運算求參...................................................................38

題型十六：集合新定義型........................................................................40

更突圍?錯;住握分

題型一：相等集合

指I點I迷I津

集合的相關(guān)概念

(1)集合元素的三個特性：互異、無序、確定性.

(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為e；不屬于，記為任.

(3)集合的四種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖法、符號法.

1.(2023?浙江?三模)設(shè)函數(shù)丁=/(、)的定義域與值域都是R,且單調(diào)遞增，

」；A/(t)\\.fi：i/(/(V))=A；,貝弘)

A..4?8B.AC.A=BD.

【答案】c

【分析】先設(shè)由元素與集合的關(guān)系可得力eB,即A=3,

再設(shè)Meg,同理可得即BgA,即可得A=B.

【詳解】解：設(shè)為wA,則八％)=%，則/(/(%))=/(/)=%,即即A=3,

設(shè)則/(/(/》=玉,，不妨設(shè)/(x0)=f,則/?)=%,

當(dāng)時，因為函數(shù)丁=/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，貝U/(%)>/?),即八飛,與已知矛盾，

當(dāng)天</時，因為函數(shù)》=/(》)為單調(diào)遞增函數(shù)，貝U/(x0)<f(t),口"</，與已知矛盾，

當(dāng)x°=t時，因為函數(shù)］?=/(、1為單調(diào)遞增函數(shù)，貝U/(%)=/⑺，即/=%,與己知相符，

綜上可得/=/,即/5)=尤0,即即3=A,

即A=B,

故選C.

【點睛】本題考查了集合的包含關(guān)系及元素與集合的關(guān)系，屬中檔題.

2.(21-22高三上?浙江金華模擬)已知集合M={sina,cosa,tan。}aefo.^j,N={a,b,c}(a,b,c,則

滿足〃="且，+〃=2。的集合N的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】2sincr=cosa+tana>2cos2=sinc+tana、2tane=sin<z+cosa三種情況，

分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和零點個數(shù)可得答案.

【詳解】因為，+〃=2c,所以以c、b成等差數(shù)列，

因為M=N,所以M中的三個元素成等差數(shù)列，

因為aG^0,^,所以0<sina,cosa<l,tana>0,

當(dāng)2sina=cosa+tana時，

人”、八.cos2x+sinx-sin2xsinx(1-sinx)+1-sin2x.、八1.。、八,日

令/(%)=cosx+tan%—2sinX=---------------------------=-----------』---------，由1—sin%〉0,1—sin2%>。得

cosXcosX

時〃力>0,即2sina=cosa+tanc^a￡(%]上無解，

此時｛sina,cosa,tana｝構(gòu)不成集合N；

當(dāng)2cosa=sina+tana時，令/(x)=sinx+tanx—2cosxA：e^0,^,/'(x)=cosx+l+tan2x+2sinx,

因為xjo,"所以r(x)〉0,〃為在單調(diào)遞增,

□J.7171_兀\6[T3-4A/3

且f-=sin——Ftan----2cos—=—H--------<3—----------<N0,

｛6J666236

[mjusing+tang—2cosm=[+百—1>0,所以/(%)在元￡[。,1)有一個零點,

即2cosa=sina+tana有一個解，此時｛sina,cosa,tana｝構(gòu)成集合N；

當(dāng)2tana=sina+cosa時,/(x)=sinx+cosx-2tanxXG0,—

廣(x)=cos%-sin%-20+tan2x)=(cos%-2)-sin%-2tan2%,

因為xe(0卷),所以尸(x)<0,/(x)在單調(diào)遞減,

.冗1A/32百3-6

sin—+cos----ztan—=—+-------------=--------->0,

6662236

ff^=siny+cosy-2tan^=1<0,所以/(%)在XG]。,1)有一個零點,

即2tana=sina+cosc有一個解，此時｛sina,tana,cosa］構(gòu)成集合N；

綜上，集合N的個數(shù)為2個.故選：C.

3.（23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知集合河=,%卜=加+1?，機￡Z>,A^=1A:X=-|-1,7?GZ

P=jxX=+,則M,N,尸的關(guān)系為（）

A.M=NPB.N=PMC.MNPD.MN=P

【答案】D

【分析】先將集合”,N,P中元素化為統(tǒng)一形式，然后進(jìn)行判斷即可.

■、斗由、.,fI16m+l3-2m+l

【詳解】M=<x\x=m+-=---=——-——,meZ

故選：D.

4.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知M={%|%=3瓶一1,mcZ},N={x[%=3〃+2,〃wZ},

尸={不,=6〃—l,pwZ},則下列結(jié)論正確的是（）

A.M=PNB.PM=NC.MjNPD.NjMP

【答案】B

【分析】將集合特征相關(guān)表達(dá)式變形，可得集合間關(guān)系，即可得答案.

【詳解】=1x|x=3m-l,meZ|,N=?=3〃+2,〃wZ}={%k=3（〃+l）-l,〃￡Z},故M=N；

當(dāng)相=2左+1?￡Z時，M={%卜=6左+2,左EZ},當(dāng)機=2左，左cZ時，M=^x\x=6k-l,k,則尸M.

故選：B.

5.（23-24高三上?貴州遵義?階段練習(xí)）己知aeR,6eR,若集合上，//}={1間-仇。},則產(chǎn)3+產(chǎn)3的

值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

[答案]B

【彳析】利用集合相等，求出b=0,再根據(jù)互異性求出。的取值情況并檢驗即可.

b

【詳解】根據(jù)題意,。力0,故2=。，則b=0,

a

則=由集合的互異性知且awl,

故{（7,0,1}={/,々,0},貝|]°2=1,即。=一1或。=1（舍），

當(dāng)。=Tb=0時，{-1,0,1}={1,-1,0},符合題意，

所以/%產(chǎn)=-1.

故選：B.

題型二：相等集合求參

:指I點I迷I津

1.研究集合問題，要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。

2.研究兩（多個）集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

3.集合相等，是所屬元素相同，與順序無關(guān)（互異性），與形式無關(guān)（數(shù)集中與表示數(shù)的范圍的字母無關(guān)）

1.（22-23高三?江蘇蘇州?階段練習(xí)）設(shè)6、c是兩個兩兩不相等的正整數(shù).若{a+b,b+c,c+a}={rr,

2

（”+1）2,（n+2）}（neN+）,貝U/十〃十°2的最小值是（）

A.1000B.1297C.1849D.2020

【答案】B

【分析】不妨設(shè)心〃>c,則a+b>a+c>b+c,根據(jù)集合相等的定義可得

b+c=n1,a+c=[n+^,a+b={n+if,分析可得（a+））+S+c）+（a+c）=2（a+/+c）為偶數(shù)，從而可得可

得〃為奇數(shù)，再分析計算即可得出答案.

【詳解】W：不妨設(shè)則a+Z2>a+c>Z?+c,

222

因為{〃+0,b+c,c+a]={n,（n+1）,（H+2）}（neN+）,

所以6+c=〃2,q+c=+,a+6=(“+2)2,

因為(。+6)+(/+c)+(。+c)=2(a+)+c)為偶數(shù)，

所以(“+1)2,5+2)2必為兩奇一偶，從而可得〃為奇數(shù),

又因為6+。>2,所以〃為不小于3的奇數(shù)，

若九=3,則{。+6,b+c,c+a}={32,42，52},

故。+6+c=5(3?+4?+5?)=5?,且a+6=52所以c=0,不符合要求,

a+b=l-a=30

解得卜=19,

若〃=5,則{a+6,b+c,c+a]={52,62,72},故<a+c=62

b+c=52c=6

止匕時，a2+b2+c2=302+192+62=1297,

所以/+^+°2的最小值是1297.

故選：B.

【點睛】本題主要考查的時集合相等的定義，解決本題的關(guān)鍵在于先假設(shè)“>》>c,判斷“2,5+1)"(九+2)2

三個數(shù)中奇偶數(shù)的個數(shù)，考查了數(shù)據(jù)分析及邏輯推理能力.

2.(2022?上海楊浦?預(yù)測)已知函數(shù)/0)=*2*+/+也，記集合4=""(幻=0"€11},集合

B={x""(x)]=O,xeR},若A=B,且都不是空集，則，"+〃的取值范圍是()

A.[0,4)B.[-1,4)C.[-3,5]D.[0,7)

【答案】A

【分析】設(shè)aeA，代入集合B得到m=0,討論”=0和〃片0兩種情況，得到/(x)=V+依=-〃無解，計算

得到答案.

【詳解】A,B都不是空集，設(shè)aeA,貝iJ/(a)=0；aeB,則/(〃a))=〃0)=加=0.

f(x)=x2+nx=0

當(dāng)〃=0時：方程的解為x=0此時A=B={0},滿足；

當(dāng)〃w0時：/(x)=x2+nx=0的解為x=0或％=一〃

B={x\f[f(x)]=0,XGR},貝!J/(%)=爐+nx=?；?(x)=x2+rvc=-n

122

A=Bf貝J/(x)=x+nx=-n無解,A=n-4n<00<n<4

綜上所述：0<n<4,m+nG[0,4)

故選A

【點睛】本題考查了集合的關(guān)系，函數(shù)零點問題，綜合性強，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

3.(2024?云南楚雄?模擬預(yù)測)已知集合A={y|y=24},B={x\x>a],若A=B,貝M的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】求出集合4=上母=2志),利用A=3,求出。的值即可.

【詳解】結(jié)合題意：因為結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:丁=26在[0,+8)單調(diào)遞增，

所以y=2《22°=l，所以A={y|"l},

因為A=B，所以a=L

故選:A.

4.(23-24高三?江蘇常州■模擬)已知函數(shù)/(x)=f-2ax+l(awR),若非空集合

A={x|/(x)<0},B={x|/(/(x))<l},滿足A=B,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-1-V2,-1]B.[-72,-1]C.[1,司D.[1,1+72]

【答案】A----

[分析]不妨設(shè)〃尤)<1的解集為[見川，從而得B={%lm<f(x)<?),進(jìn)而得到”=0且於/⑶皿0W0,又加，

〃(機V”)為方程y(x)=l的兩個根，可得機=2a,由此得到關(guān)于a的不等式組，解之即可得解..

【詳解】因為〃x)=d—2ox+l,

不妨設(shè)<1的解集為[m,川，則由/(/(⑼41得相4〃力4〃，

所以2={x"(〃x))V1}={x[相WV〃},

又4={旬/(同《0},A=B^0,所以〃=0且機”(無濡<0,

因為/(尤)41的解集為[九川，所以九、是/(x)=l,即4-26+1=1的兩個根,

故根+〃=2〃，即機=2〃，

止匕時由mv〃=0,得2〃<0,貝！Ja<0,

因為F(x)=x2-26+1,顯然A=4/+4>0,且f(x)開口向上，對稱軸為x=。，

所以/(為應(yīng)?=/(。)=/-2。2+1=-。2+1,則2aM-/+lV0,

又a<0,解得一及一14a4-1，即ae.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于假設(shè)/(x)<l的解集為[孫江進(jìn)而得至“=0且機V/(x)g<0,從

而得解.

5.(23-24高三?北京?階段練習(xí))己知函數(shù)〃%)=(m+1)2+彳2+2加，集合4=卜|〃尤)=0,尤eR},集合

8={x[/"(x)]=0xeR},若A=3,且都不是空集，則加+〃的取值范圍是()

A.B.[―1,1)

C.[-3,5]D.[0,4)

【答案】B

【分析】因為集合A8都不是空集，設(shè)acA,則〃。)=0,acB,貝|/(/⑷)=八0)=0,即可求出，”的

值，然后對〃分類討論即可求解.

【詳解】因為集合A8都不是空集，設(shè)。eA,則/'(a)=0,

a&B,則/(/(a))=/(0)="?+l=。，

所以“=-1,f^x)-^+2nx,

當(dāng)”=0時，方程的解為x=0,止匕時A=3={0},滿足題意；

當(dāng)〃w0時，方程的角軍為x=0或％=—2n,

B^{x\/"(x)]=(UeR},則/(x)=?；?(x)=-2n,

由A=3,則/(%)=犬+2m=-2〃無解，

貝1]公=4"2一8”<0,解得0<H<2；

綜上0V〃<2,所以m+”e[T,l),

故選:B.

題型三：集合中的元素

;指I點I迷I津

集合中元素個數(shù)判斷：

1.若集合是點集，則多是圖像交點。

2.若集合是數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。

1.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))已知{%}是等差數(shù)列，6“=sin(怎)，存在正整數(shù)千<8),使得

bn+,=bn,〃cN*.若集合S={x|x=6","wN*}中只含有4個元素，貝"的可能取值有()個

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】考慮/W3不符合題意，f=4,6,7,8時，列舉出滿足條件的集合，再考慮t=5時不成立，得到答案.

【詳解】當(dāng)時，2+,=2,根據(jù)周期性知集合最多有3個元素，不符合；

當(dāng)f=4時,bn+4=bn,取“H，此時$=博,：,-咚,』，滿足條件；

2612222

當(dāng)f=5時，bn+5=bn,即sin（%+5d）=sina“，d=*kwZ,在單位圓的五等分點上不可能取到4個不同

的正弦值，故不滿足；

當(dāng)/=6時，bn+6=bn,取4=?"_￡,此時s=7,11,滿足條件；

36122J

當(dāng)/=7時，2+7=2，取4="〃一:此時s=［-sinsin［,sin普］,滿足條件；

/乙IAAAI

..,7c57r1tteI.兀.3兀.兀.3兀|.i..

當(dāng)t/=8時，b,*￡=b“,=~n--,此時S={-sing,-smk，sing,sin-^,胸足條件；

4ooooJ

故選：C

2.（23-24高三?上海嘉定?）已知集合P,。中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合尸，。中的

元素都為正數(shù)；②對于任意a,6cQ（aw6）,都有：?尸；③對于任意a,6eP（a片6）,都有MeQ；則下列

b

說法正確的是（）

A.若尸有2個元素，則。有3個元素

B.若P有2個元素，則PU。有4個元素

C.若P有2個元素，則P。有1個元素

D.存在滿足條件且有3個元素的集合P

【答案】C

【分析】若集合尸中有2個元素，設(shè)「={a,可，根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，可判斷

出選項ABC；假若尸有3個元素，設(shè)「={4力,可，再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到P中還有第四個元素,

推出矛盾，從而可判斷出D選項.

【詳解】若尸有2個元素,^P={a,b}（a>O,b>O,a^b）,則加1,

因為Q至少有2個元素，所以Q中除腦外至少還有一個元素，

Ynb

不妨設(shè)尤EQ，xwab,則兀>0,丁￡尸,一￡尸，

abx

若嘉=?，則無2=（曲且》>0,">0,

所以x=而，與假設(shè)矛盾，所以;■力藝，

abx

xab7Txjab

所以r——=b^—-=b,——=a,

abxabx

當(dāng)二=a,茲=b時，則％=a,次?=1,所以人=工，

abxa

若a=l,貝!Ja=b=l,與A矛盾，所以awl,同理可知bwl,

所以此時尸二{］，,0={1,。},尸UQ=“,1,J,尸I0={〃}；

當(dāng)三=瓦茲=々時，則尤=》,〃人=1,所以〃=1,

abxb

若a=l,貝！Ja=Z?=l,與J人矛盾，所以awl,同理可知bwl,

此時尸=卜］,0={1涉},PUQ=p』,,,PIQ=.

由上可知，當(dāng)P有2個元素，則。有2個元素，PUQ有3個元素，PQ有1個元素，

故A錯誤，B錯誤，C正確；

不妨假設(shè)尸有3個元素，設(shè)「=｛。,6,可，貝1]。也。為互不相等的正數(shù)，

由③可知：ab&Q,ac&Q,bc&Q,

又因為a也c為互不相等的正數(shù)，所以功,農(nóng),A也為互不相等的正數(shù)，

由②可知：”二,2都是集合尸=｛0,瓦c｝的元素，

aabbcc

因為“，"C為互不相等的正數(shù)，所以2,￡小,_|二,2都是不等于1的正數(shù)，所以也

aabbccabacbc

又因為瓦c為互不相等的正數(shù)，所以，

bcaa

考慮到和若2/4,則2;為互不相等的正數(shù)，

abbcacbac

又因為紇色,所以"反，所以￡是與1法:不相等正數(shù)，

acbaabac

因為2:都是集合尸的元素，所以集合尸中至少有4個元素，這與假設(shè)矛盾，

abac

因此考慮2=2的情況，所以〃=兒，同理可得k=或,。2=。6,所以4=分=°3=岫C,

所以。=b=c,這與集合中元素的互異性矛盾，所以尸有3個元素不可能成立，故D錯誤；

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運算后集合中元素個數(shù)的判斷，本題的難點在

于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗元素，從而達(dá)到確定集合中

元素個數(shù)的目的.

3.(2022?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)y=〃x)滿足對VxeR都有/(x)+〃2r)=2,且y=/("-1為R上的

x

奇函數(shù)，當(dāng)時，/(x)=2-^?+sin^x^+l,則集合A=H〃x)=k>g3x｝中的元素個數(shù)為()

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【分析】根據(jù)已知可推出函數(shù)/(x)周期性，單調(diào)性以及函數(shù)值情況，由此可作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化

為函數(shù)圖象的交點問題解決.

【詳解】由y=/")-i為R上的奇函數(shù)，

n〃x)T=-"(-x)T]=-/(-x)+ln/(x)+/(-x)=2①，

X/(x)+/(2-x)=2^/(-x)+/(2+x)=2②，

由②一①n/(2+x)—〃司=0=/"+2)=/(口=>="乃為周期為2的周期函數(shù),

而又/(x)+〃2-x)=2n〃l)+/(l)=2=〃l)=l,

當(dāng)時/(同=2*-*5由]3]+1=〃0)=1=>當(dāng)％"時,〃%)=1.

又當(dāng)xe(-M)時，/(x)=2'-，+sin]'d+l單調(diào)遞增，且一l<"x)<3.

故可作出函數(shù)〉=/0),〉=1。83元的大致圖象如圖：

而集合A中的元素個數(shù)為函數(shù)y=〃x)與y=1叫x圖象交點的個數(shù)，

由以上分析結(jié)合函數(shù)y=log,無性質(zhì)可知，3為集合A中的一個元素，

且y=/(x)與y=log3X在(1,3),(3,5),(23,25)中各有一個交點，

團(tuán)集合A={x『(x)=log3q中的元素個數(shù)為13.

故選：C.

4.(22-23高三?北京?模擬)對于集合/={電=/-反尤",”2},給出如下三個結(jié)論：①如果

P=[b\b=2n+\,n&7^,那么P^M'②如果c=4"+2,〃eZ，那么ciV；③如果4eM,a2eM,那么0102cM.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】①根據(jù)2"+1=(“+1)2-“2,得出2〃+leM,即尸="；

②根據(jù)c=4〃+2,證明4〃+2?M,即CE"；

③根據(jù)qeM,02cM,證明0102VM.

【詳解】解：集合xeZ,yeZ},

對于①，b=2n+\,〃eZ，

則恒有2〃+l=("+l)2-〃2,

.-.277+leM,即尸={“。=2〃+1,neZ},則「口”，①正確；

對于②，c=4〃+2,〃eZ，

若4"+2?M,則存在x,yeZ使得尤2-/=4/t+2,

「.4〃+2=(%+,

又x+y和x—y同奇或同偶，

若x+y和x-y都是奇數(shù)，則(x+y)(x-y)為奇數(shù)，而4〃+2是偶數(shù)；

若x+y和x—y都是偶數(shù)，貝|(x+y)(x-y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除，

:.4n+2iM,即②正確；

對于③，qeM,a2eM,

可設(shè)q=%;—y；，。2=君—K，%、%右z；

則01a2=3-才)(月-式)

22

=(x,x2)+(九丫2。-(再%y-(x2y,)

22M

=(x,x2+yty2)-(為力+三%)?

那么01a2eAf,倉)正確.

綜上，正確的命題是①②③.

故選O.

【點睛】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷、以及運算求解能力和化歸思想，是難題.

5.(22-23高三?山東青島?階段練習(xí))對于正實數(shù)a,記此為滿足下述條件的函數(shù)/⑺構(gòu)成的集合：\/占,％eR

且工2，有-。(馬-為"/每戶門占人夕心-工人下列結(jié)論中正確的是

A.若/。)€〃卬，8。)€〃%，則/(x)+g(x)w/+%

B.若/。)€/，8。)€外且%>%,貝l]/(x)-g(x)eMaL%

C.若/(尤)(尤)eM%,則/(x)送(尤)eM%%

D.若/。)€加小，8。)€加田且8(勸#0,則用eM%

一g(龍)石

【答案】A

../(%2)—/(%)f(x2)-/(X,)

【詳解】試題分析:對于-。(%2-%)<于⑺―/&)<1(%-%)即有一。<2［八"<a,令匕2［八”,

■^2X?JCy

有-a<k<a,不妨設(shè)/(尤)eM%,g(x)eM%,即有-ai<kf<ai,-a2Vkg<a2,因此有-ai-a2<kf+kg<ai+a2,因

此有/W+g(x)eMg.故選A.

考點：本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷

點評：本題的難點進(jìn)行簡單的合情推理，在能力上主要考查對新信息的理解力及解決問題的能力

題型四：集合元素個數(shù)求參

指I點I迷I津

集合元素個數(shù)求參，多涉及到數(shù)列，三角、解析幾何與函數(shù)等知識交匯處出題，難度較大，注意相關(guān)

基礎(chǔ)知識的積累和應(yīng)用。

1.(23-24高三上?上海?模擬)設(shè)aeR且awO,〃為正整數(shù)，集合S=>代(頌x)=：卜有以下兩個命題:

2

①對任意a,存在“使得集合S中至少有2個元素；②若存在兩個“使得S中只有1個元素，則時<,,

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

【答案】A

【分析】

對于①命題，令函數(shù)"x)=cos(aG)-二分a>0和。<0兩種情況，利用零點存在定理得即可判斷；對于

n

②命題，通過舉例說明.

【詳解】對于①命題，設(shè)a>0,令函數(shù)/Cx)=cos(aG)-二,

n

因為/(0)=1>0,f(2ri)=COS(2Q〃》)-2<0,

所以存在玉e(0,2〃)有〃%)=0,

當(dāng)〃，時，/(--)=cos(-^-)+—=--1<0,

aaanan

所以存在與e(-L,O)有/(尤o)=。，

a

對于avO,因為y=cos(a〃i)是偶函數(shù)，

所以a<0和a>0情況一樣，故①是真命題；

對于②命題，通過①得出一下結(jié)論：〃越小，集合S元素數(shù)量越少，同理得出如果集合S只能有一個元素，

只能是尤>0的區(qū)間存在一個零點，

2x2x

因此先討論g(x)=COS(-7TX)--,h(x)=cos(-/x)-§的零點情況(如果”=2只有一個零點,〃=1也只有一

個零點)，'

其圖象如下圖：

2

即a=y時，也滿足

故②是假命題.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于零點存在定理的應(yīng)用以及由①得出的結(jié)論.

2.（22-23高三?北京?階段練習(xí)）設(shè)集合A的最大元素為最小元素為機，記A的特征值為X4=M-加,

若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知A,4，…，'是集合N*的元素個數(shù)均不相同的非空

真子集，且XA+X4+XAJ…+X-=60,貝的最大值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)描述只需保證各集合中乂4=加-m（〃eN*）盡量小，結(jié)合已知及集合的性質(zhì)有〃最大

時Xa+X&+X4+…+X4,進(jìn)而分析"的取值.

【詳解】由題設(shè)A，A,4,4中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，

要使“最大，則各集合中乂4=加-根（〃eN*）盡量小，

所以集合4，4，A，4的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，

所以，不妨設(shè)叫=。%=1'「2,..上=1,有X&+X「XJ...+X/F，

當(dāng)〃=n時，x4+Xa+XA+…+X4=55<60,

當(dāng)〃=12時，X%+X4+Xa+…+X%=66〉60,

只需在〃=11時，在上述特征值取最小情況下，使其中一個集合的特征值增加5即可，故〃的最大值為11.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：注意〃最大則各集合中X4二"-機（〃EN*）盡量小，并求出該情況下特征值之和

關(guān)于“的公式，再分析其最大取值.

3.（22-23高三江西南昌?階段練習(xí)）各項互不相等的有限正項數(shù)列｛%｝,集合4=｛%仁…，/｝，集合

8=｛（卬嗎）|4.eA,%eAq—%€4,1?。/?〃｝,則集合3中的元素至多有個（）.

n（n-1）.-（〃+2）（〃-1）

A.'2'B.2"T-1C.------Q——-D.n-1

【答案】A

【分析】根據(jù)各項互不相等的有限正項數(shù)列｛q｝,不妨假設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的，進(jìn)而分類討論，利用數(shù)列

的求和公式可求得答案

【詳解】因為各項不相等的有限正項數(shù)列｛q｝,

所以不妨假設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的，

因為集合4=｛。1，%,，集合2=｛（《,%）l4eA,%eA,&-%eA,1yV”｝,

所以」=1時，i最多可取2,3,

）=2時，i最多可取3,

）="-1時，i最多可取〃,

所以集合B中的元素至多有1+2+...+("-1)=七上，

故選：A.

4.(22-23高三?上海楊浦?階段練習(xí))己知集合$={1,2,3,4,5,6,7,8},對于它的任一非空子集A,可以將A中

的每一個元素k都乘以(-1)*再求和，例如A={2,3,8},則可求得和為(_1)2.2+(-1)3.3+(-1)8.8=7,對S的

所有非空子集，這些和的總和為

A.508B.512C.1020D.1024

【答案】B

【分析】由集合的子集個數(shù)的運算及簡單的合情推理可得；這些總和是2?(-1+2-3+4-5+6-7+8)=512.

【詳解】因為元素L2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中分別出現(xiàn)27次，則對S的所有非空子集中元素

人執(zhí)行乘以(-1「再求和操作，則這些和的總和是

27[(-1)]xl+(-l)2x2+(-l)3x3+(-l)4x4+(-1)5x5+(-1)6x6+(-l)7x7+(-l)8x8]

=27(-1+2-3+4-5+6-7+8)=512.

故選B

【點睛】本題主要考查了集合的子集及子集個數(shù)，簡單的合情推理，屬于中檔題.

5.(2023高三?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=x3-3x+l,xeR,A=[x\t<x<t+}\,B={x||/(^)|>11,

集合AcB只含有一個元素，則實數(shù)f的取值范圍是().

A.{。,由-1}B.[O,V3-1]C.(0,73-1]D.(0,指-1)

【答案】D

【分析】解出不等式|/(刈31后，結(jié)合集合交集的定義計算即可得.

【詳解】|/(x)|>l?p-3x+l|>l,即/一3%+121或一一3犬+1m-1,

對V-Bx+lNl,BPX3-3X=.X(X+^(.X-A/3)>0,

解得xe[-出,。]。[君,+°0],

對d—3x+l<—1,即無3—3x+2=(x+2)(x—I)?40,解得xe[—oo,—2]口{1},

即2=[-oo,-2]u[-瘋0卜{1}口蘆，+。]，

由AcB只含有一個元素，_1.A={%|z<%<z+l},

故有即法僅,有-1).

r+l<V3、'

故選：D.

題型五：子集與真子集關(guān)系

指I點I迷I津

元素與集合以及集合與集合子集關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的

思想進(jìn)行列舉

公式法求有限集合的子集個數(shù)

(1)含n個元素的集合有2n個子集.

(2)含n個元素的集合有(2n—1)個真子集.

(3)含n個元素的集合有(2n—l)個非空子集.

(4)含n個元素的集合有(2n-2)個非空真子集.

1.(20-21高三?江蘇揚州?階段練習(xí))已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,B是P的兩個非空子集，則所有滿足A

中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(48)的個數(shù)為()

A.49B.48C.47D.46

[答案]A

析】利用分類計數(shù)法，當(dāng)A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時確定A的集合數(shù)量，并得到對應(yīng)8的集合

個數(shù)，它們在各情況下個數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.

【詳解】集合尸={123,4,5}知：

1、若A中的最大數(shù)為1時，B中只要不含1即可：A的集合為{1},

而8有24-1=15種集合，集合對(A,B)的個數(shù)為15；

2、若A中的最大數(shù)為2時，B中只要不含1、2即可：

A的集合為{2}，{1，2},而B有r-1=7種，

集合對(A,B)的個數(shù)為2x7=14；

3、若A中的最大數(shù)為3時，B中只要不含1、2、3即可：

A的集合為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3),而B有2~—1=3種，

集合對(A,B)的個數(shù)為4x3=12；

4、若A中的最大數(shù)為4時，B中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合為UMI，4}，⑵4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而B有＞-1=1種，集合對(A,B)的個數(shù)為8x1=8；

團(tuán)一共有15+14+12+8=49個，

故選：A

【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理，按集合最大數(shù)分類求出各類下集合對的數(shù)量，應(yīng)用加法原理加總，屬

于難題.

2.(22-23高三?湖北武漢?強基)設(shè)A是集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的

整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為()

A.32B.56C.72D.84

【答案】B

【分析】分類列舉出每一種可能性即可得到答案.

【詳解】若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個元素為5,6,7,8,9,10中的一個；

若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個元素為6,7,8,9,10中的一個；

若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；

共有6+5+4+3+2+1=21個.

若2,4在集合4內(nèi)，則還有一個元素為6,7,8,9,10中的一個；

若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個元素為7,8,9,10中的一個；

[2,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；

共有5+4+3+2+1=15個.

若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個元素為7,8,9,10中的一個；

若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個元素為8,9,10中的一個；

[3,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；

共有4+3+2+1=10個.

若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個元素為8,9,10中的一個；

若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個元素為9,10中的一個；

若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；

共有3+2+1=6個.

若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個元素為9,10中的一個；

若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；

共有2+1=3個.

若6,8,10在集合A內(nèi)，只有1個.

總共有21+15+10+6+3+1=56個

故選：B.

3.(22-23高三?湖南常德?階段練習(xí))設(shè)集合￡={1,2,3,…㈤(〃eN*),對月的任意非空子集A,定義M(A)為

集合A中的最大元素，當(dāng)A取遍匕的所有非空子集時，對應(yīng)的M(A)的和為S,,則S“-l=

A.(7?-1),2"B.(n—1),2"+1C.2〃+lD.2n

【答案】A

【分析】由題意，匕的任意非空子集A共有2"-1個，在所有非空子集中每個元素出現(xiàn)2向次，可知含有n

的子集有2"i個，不含n含n-1有2"一2個，不含含"-2的有個以此類推有2"—個子集不含

n,n-l,n-2,...k-l,而含有k.利用錯位相減法求出其和.

【詳解】由題意，匕的任意非空子集A共有2"-1個，在所有非空子集中每個元素出現(xiàn)/t次，可知含有n

的子集有2NT個，不含n含n-l有個，不含"，〃-1,含力-2的有2-個以此類推有個子集不含

n,n-l,n-2,..kl,而含有k,因為M(A)為集合A中的最大元素

所以s“=2ix"+2'-2x(〃-1)+…+212+1,錯位相減可得s“=(〃-?2”+1,所以S“-1=(〃-1).2”,故選

A.

【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂并弄通題意，找出規(guī)律是關(guān)鍵，然后結(jié)合數(shù)列求和，采用錯位相減法

即可求出.

4.(21-22高三?福建福州?)給定全集U,非空集合A,8滿足B三U,且集合A中的最大元素

小于集合3中的最小元素，則稱(A,為為U的一個有序子集對，若C=[357911；,則U的有序子集

對的個數(shù)為

A.48B.49C.50D.51

【答案】B

【詳解】A={3}時，B的個數(shù)是C：+C：+C：+C：=15,

A={5}時，3的個數(shù)是C；+C；+C；=7,

A={7}時，B的個數(shù)是C；+C；=3,

A={9}時，3的個數(shù)是1

4={3,5}時，3的個數(shù)是C；+C；+C；=7,,

A={3,7}時,8的個數(shù)是C；+C；=3

A={3,9}時，8的個數(shù)是1,

A={5,7}時，B的個數(shù)是C；+C；=3

A={5,9}時，B的個數(shù)是1

A={7,9}時，3的個數(shù)是1

A={3,5,7}時,3的個數(shù)是C；+C；=3

A={3,5,9}時，3的個數(shù)是1、

A={3,7,9}時，B的個數(shù)是1

4={5,7,9}時，8的個數(shù)是1

A={3,5,7,9}時，B的個數(shù)是1

:.U的有序子集對的個數(shù)為49個，

5.(2022高三上?河北衡水?專題練習(xí))對于任意兩個正整數(shù)加，"，定義某種運算法則如下：當(dāng)私〃都

是正奇數(shù)時，加Xn=m+n；當(dāng)機，”不全為正奇數(shù)時，加派〃=機”，則在此定義下，集合M={?6)l。

※萬=16,aeN*,6eN*}的真子集的個數(shù)是()

A.27-1B.2"-1C.213-1D.214-1

【答案】C

【詳解】由題意，當(dāng)m，n都是正奇數(shù)時，m^.n-m+n；當(dāng)?shù)摹ú蝗珵檎鏀?shù)時，rri^n-mn；

若a,b都是正奇數(shù)，則由后6=16,可得a+6=16,此時符合條件的數(shù)對為(1,15),(3,13)，…(15,1)

滿足條件的共8個；

若a,b不全為正奇數(shù)時，ni^n=mi,由?！?=16,可得ab=16,則符合條件的數(shù)對分別為

(1,16),(2,8),(44),(8,2),(16,1)共5個；

故集合M={(a,b)|。※匕=16,aeN*,beN*}中的元素個數(shù)是13,

所以集合/={(。，b)|?^6=16,aeN*,6eN*}的真子集的個數(shù)是"—1.

故選C.

【點睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的思想

進(jìn)行列舉，