2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合之分配問題（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)排列組合專題14分配問題（解析

版）

專題14分配問題

例1.將18個(gè)參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3個(gè)學(xué)校，要求每校至少有一個(gè)名額且各校分配的名

額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.96B.114C.128D.136

例2.北京某大學(xué)為第十八屆四中全會招募了30名志愿者（編號分別是1,2,…，30號），現(xiàn)從中任意

選取6人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個(gè)編號較小的人在一組，三個(gè)編號較大

的在另一組，那么確保6號、15號與24號同時(shí)入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（）

A.25B.32C.60D.100

例3.學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個(gè)班級.要求每

個(gè)班分得的名額不比班級序號少；即二（1）班至少1個(gè)名額，二（2）班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有

（）

A.10種B.6種C.165種D.495種

例4.將甲、乙、丙、丁四位輔導(dǎo)老師分配到4、B、a。四個(gè)班級，每個(gè)班級一位老師，且甲不能分配

到月班，丁不能分配到6班，則共有分配方案的種數(shù)為（）

A.10B.12C.14D.24

例5.3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法

共有（）

A.90種B.180種C.270種D.540種

例6.4名大學(xué)生被分配到3所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，則不同的分配方案有（）

A.12B.24C.36D.72

例7.將5名教師分配到甲、乙、丙三所學(xué)校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它兩所學(xué)校至少分配一

名教師，則不同的分配方案共有幾種（）

A.60B.80C.150D.360

1

例8.2019年10月17日是我國第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有五名

醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院/,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院/或醫(yī)院8,

醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一

名醫(yī)生，則不同的分配方案共有（）

A.18種B.20種C.22種D.24種

例9.把3名新生分到甲、乙、丙、丁四個(gè)班，每個(gè)班至多分配1名且甲班必須分配1名，則不同的分配方

法有（）

A.12種B.15種C.18種D.20種

例10.某公司將5名員工分配至3個(gè)不同的部門，每個(gè)部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須

分配在同一個(gè)部門的不同分配方法數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

例11.將7名應(yīng)屆師范大學(xué)畢業(yè)生分配到3所中學(xué)任教.（最后結(jié)果用數(shù)字表示）

（1）4個(gè)人分到甲學(xué)校，2個(gè)人分到乙學(xué)校，1個(gè)人分到丙學(xué)校，有多少種不同的分配方案？

（2）一所學(xué)校安排4個(gè)人，一所學(xué)校安排2個(gè)人，一所學(xué)校1個(gè)人，有多少種不同的分配方案？

（3）其中有兩所學(xué)校都各安排3個(gè)人，另一所學(xué)校安排1個(gè)人，有多少種不同的分配方案？

例12.按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份,1份1本J份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本，一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

2

例13.有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：

（1）5位同學(xué)站成一排，有多少種不同的方法？

（2）5位同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法？

（3）將5位同學(xué)分配到三個(gè)班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？

例14.從射擊、乒乓球、跳水、田徑四個(gè)大項(xiàng)的雅典奧運(yùn)冠軍中選出6名作“奪冠之路”的勵(lì)志報(bào)告.

（1）若每個(gè)大項(xiàng)中至少選派一人，則名額分配有幾種情況？

（2）若將6名冠軍分配到5個(gè)院校中的4個(gè)院校作報(bào)告，每個(gè)院校至少一名冠軍，則有多少種不同的分配

方法？

例15.將4名大學(xué)生分配到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少分配一名，則大學(xué)生甲分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)

A的概率為（用數(shù)字作答）

例16.安排3名支教老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）

例17.為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會組織了6個(gè)小隊(duì)在校園最具有代表

性的3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行視頻拍攝，若每個(gè)地點(diǎn)至少有1支小隊(duì)拍攝，則不同的分配方法有種（用數(shù)字作

答）

例18.在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動(dòng)中，某醫(yī)院安排甲、乙、丙、丁、戊五名醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安

排一名醫(yī)生，且甲、乙兩名醫(yī)生不安排在同一醫(yī)院工作，丙、丁兩名醫(yī)生也不安排在同一醫(yī)院工作，則不

同的分配方法總數(shù)為.

例19.某學(xué)校要將4名實(shí)習(xí)教師分配到3個(gè)班級，每個(gè)班級至少要分配1名實(shí)習(xí)教師，則不同的分配方案

有種.

例20.將六名教師分配到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它三所學(xué)校至少

分配一名教師，則不同的分配方案共有______________種.（用數(shù)字作答）

3

專題14分配問題

例1.將18個(gè)參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3個(gè)學(xué)校，要求每校至少有一個(gè)名額且各校分配的名

額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為()

A.96B.114C.128D.136

【解析】

不同的名額分配方法為(1,2,15),(1,3,14),(1,8,9)；(2,3,13),(2,4,12),…，(2,7,

9)；…，⑸6,7),共7+5+4+2+1=19種方法，再對應(yīng)分配給學(xué)校有19團(tuán)=114,選B.

例2.北京某大學(xué)為第十八屆四中全會招募了30名志愿者(編號分別是1,2,???,30號)，現(xiàn)從中任意

選取6人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個(gè)編號較小的人在一組，三個(gè)編號較大

的在另一組，那么確保6號、15號與24號同時(shí)入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是()

A.25B.32C.60D.100

【解析】

6號、15號與24號放在一組，則其余三個(gè)編號要么都比6小，要么都比24大，比6小時(shí)，有以=10種

選法，都比24大時(shí)，有=20種選法，合計(jì)30種選法，6號、15號與24在選廳時(shí)有兩種選法，所以

選取的種數(shù)共有(10+20)x2=60種，故正確選項(xiàng)為C.

例3.學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天航空博物館的名額給二(1)、二(2)、二(3)、二(4)四個(gè)班級.要求每

個(gè)班分得的名額不比班級序號少；即二(1)班至少1個(gè)名額，二(2)班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有

()

A.10種B.6種C.165種D.495種

【解析】

根據(jù)題意，先在編號為2、3、4的3個(gè)班級中分別分配1、2、3個(gè)名額，編號為1的班級里不分配；再將

剩下的6個(gè)名額分配4個(gè)班級里，每個(gè)班級里至少一個(gè)，

分析可得，共。5?=10種放法，即可得符合題目要求的放法共10種，

故答案為A

例4.將甲、乙、丙、丁四位輔導(dǎo)老師分配到/、B、C、。四個(gè)班級，每個(gè)班級一位老師，且甲不能分配到

/班，丁不能分配到5班，則共有分配方案的種數(shù)為()

A.10B.12C.14D.24

1

【解析】

將分配方案分為甲分配到B班和甲不分配到B班兩種情況:

①甲分配到8班：有川=6種分配方案；

②甲不分配到B班：有444=8種分配方案；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：共有6+8=14種分配方案.

故選：C.

例5.3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法

共有（）

A.90種B.180種C.270種D.540種

【解析】

<6<4<2

分兩個(gè)步驟：先分配醫(yī)生有H=6種方法，再分配護(hù)士有=90,由分步計(jì)數(shù)原理可得:

4z；=6x90=540,

4

應(yīng)選答案：D.

例6.4名大學(xué)生被分配到3所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，則不同的分配方案有（）

A.12B.24C.36D.72

【解析】

C2cl

將4人分為2人、1人、1人的三組，共有：U^=6種分法，

將三組安排到3所學(xué)校共有4=6種分法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的分配方案有6x6=36種.

故選：C.

例7.將5名教師分配到甲、乙、丙三所學(xué)校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它兩所學(xué)校至少分配一

名教師，則不同的分配方案共有幾種（）

A.60B.80C.150D.360

【解析】

分成甲校分配3名教師和2名教師兩種情況：

2

甲校分配3名教師時(shí)，共有：C；C；=20種分配方案

甲校分配2名教師時(shí)，共有：種分配方案

，不同的分配方案共有：20+60=80種

本題正確選項(xiàng)：B

例8.2019年10月17日是我國第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有

五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院/或醫(yī)院2，

醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一

名醫(yī)生，則不同的分配方案共有（）

A.18種B.20種C.22種D.24種

【解析】

根據(jù)醫(yī)院/的情況分兩類：

第一類：若醫(yī)院/只分配1人，則乙必在醫(yī)院￡當(dāng)醫(yī)院2只有1人，則共有《用種不同

分配方案，當(dāng)醫(yī)院8有2人，則共有C；封種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院/只分配1人時(shí)，

共有《用+=10種不同分配方案；

第二類：若醫(yī)院/分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院/時(shí)，共有4種不同分配方案，當(dāng)乙不在/醫(yī)院，

在3醫(yī)院時(shí)，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院/分配2人時(shí)，

共有/；+=10種不同分配方案；

共有20種不同分配方案.

故選：B

例9.把3名新生分到甲、乙、丙、丁四個(gè)班，每個(gè)班至多分配1名且甲班必須分配1名，則不同的分配方

法有（）

A.12種B.15種C.18種D.20種

【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、由于每個(gè)班至多分配1名且甲班必須分配1名，先在3名新生中任選一人，安排到甲班，

有C；=3種情況，

3

②、在剩下的3個(gè)班級中任選2個(gè)，安排剩下的2名新生，有團(tuán)=6種情況，

則有3x6=18種不同的分配方法；

本題選擇C選項(xiàng).

例10.某公司將5名員工分配至3個(gè)不同的部門，每個(gè)部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須

分配在同一個(gè)部門的不同分配方法數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

【解析】解：如果5人分成1,1,3三組,則分配方法有：廢嗎題種，

如果5人分成1,2,2三組，則分配方法有：最《黑種，

由加法原理可得：不同分配方法數(shù)為C利必1+最或“=36種.

本題選擇C選項(xiàng).

例11.將7名應(yīng)屆師范大學(xué)畢業(yè)生分配到3所中學(xué)任教.（最后結(jié)果用數(shù)字表示）

（1）4個(gè)人分到甲學(xué)校，2個(gè)人分到乙學(xué)校，1個(gè)人分到丙學(xué)校，有多少種不同的分配方案？

（2）一所學(xué)校安排4個(gè)人，一所學(xué)校安排2個(gè)人,一所學(xué)校1個(gè)人，有多少種不同的分配方案？

（3）其中有兩所學(xué)校都各安排3個(gè)人，另一所學(xué)校安排1個(gè)人，有多少種不同的分配方案？

【解析】

（1）C:CjC；=105（種）

（2）C;C；.C：?團(tuán)=630（種）

「30301

（3）4=420（種）

例12.按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?

（1）分成三份，1份1本,1份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【解析】

4

（1）無序不均勻分組問題.先選1本有C\種選法;再從余下的5本中選2本有C；種選法;最后余下的3本全選

有Cl種選法.故共有=60（種）選法.

（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人，在1題的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有

633㈤3=360.

（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是種選法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為

Z,8,C,。,E,凡若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EE,記該種分法為（AB,CD,EF），則

C：C：C；種分法中還有（AB,EF,CD\{CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）,（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）,

共有Z；種情況，而這4種情況僅是AB,CD,EF的順序不同，因此只能作為一種分法,故分配方式有

=15.

「2「2「2

(4)有序均勻分組問題.在3題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人,共有分配方式-4=90(種)?

(5)無序部分均勻分組問題.共有=15（種）分法.

「40101

(6)有序部分均勻分組問題.在5題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人,共有分配方式-4=90(種)?

（7）直接分配問題.甲選1本有C*種選法，乙從余下5本中選1本有C；種選法，余下4本留給丙有C：種選法,

共有C；UC：=30（種）選法.

例13.有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：

（1）5位同學(xué)站成一排，有多少種不同的方法？

（2）5位同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法?

（3）將5位同學(xué)分配到三個(gè)班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？

【解析】

（1）幺；=120.

（2）5位同學(xué)站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰

故有石44=24-

5

（3）人數(shù)分配方式有①3+1+1有CM=60種方法

②2+2+1有=90種方法

所以，所有方法總數(shù)為60+90=150種方法

例14.從射擊、乒乓球、跳水、田徑四個(gè)大項(xiàng)的雅典奧運(yùn)冠軍中選出6名作“奪冠之路”的勵(lì)志報(bào)告.

（1）若每個(gè)大項(xiàng)中至少選派一人，則名額分配有幾種情況？

（2）若將6名冠軍分配到5個(gè)院校中的4個(gè)院校作報(bào)告，每個(gè)院校至少一名冠軍，則有多少種不同的分配

方法？

【解析】

（1）6個(gè)名額沒有差異，所以選擇隔板法，（2）首先先從5個(gè)院校選擇4個(gè)院校，然后將6名冠軍分組，

3111,或是2211,兩種情況，最后再分配乘以

試題解析：（1）名額分配只與人數(shù)有關(guān)，,與不同的人無關(guān).

所以選擇隔板法，Cl=106分

（2）從5個(gè)院校中選4個(gè)，再從6個(gè)冠軍中，先組合，再進(jìn)行排列，有廢+y?4：=7800種分

配方法.12分

例15.將4名大學(xué)生分配到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少分配一名，則大學(xué)生甲分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)

A的概率為（用數(shù)字作答）

【解析】

將4名大學(xué)生分配到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少分配一名的事件個(gè)數(shù)為=36,每個(gè)

鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少分配一名，大學(xué)生甲分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)A的個(gè)數(shù)是=6,所以概率是尸=色=!

366

例16.安排3名支教老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有種用數(shù)字作答）

【解析】210

例17.為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會組織了6個(gè)小隊(duì)在校園最具有代表

性的3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行視頻拍攝，若每個(gè)地點(diǎn)至少有1支小隊(duì)拍攝，則不同的分配方法有種（用數(shù)字作答）

【解析】

（1）若按照1