2024年邯鄲市高三三模數(shù)學試卷（含答案詳解）

絕密★啟用前

河北省2024屆高三年級模擬考試

數(shù)學

本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.若復數(shù)z2=3-4i,則|z|=（）

A.5B.2+后C.V7D.45

2v2

2.已知片，得是橢圓。x：=+彳=1（。>6>0）的兩個焦點，M為。的頂點，若的內(nèi)心和重心

ab

重合，則C的離心率為（）

3.若（2—X）3+（2—X）4+（2-X）5=&+4Z|X+的尤2++。4苫4+牝*'，則%+。］+%+。3+。4=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.我國鐵路百年滄桑巨變，從尚無一寸高鐵，到僅用十幾年高鐵建設世界領先，見證了中華民族百年復興

偉業(yè).某家庭兩名大人三個孩子乘坐高鐵出行，預定了一排五個位置的票（過道一邊有三個座位且相鄰，

另一邊兩個座位相鄰）則三個孩子座位正好在過道同一側(cè)的概率為（）

5.已知平面見用和直線如〃，若mua,〃ua,貝U“加〃//〃/?”是“a〃/7”的（）

A.充分而不必要條件B.必耍而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.平行四邊形Z8C。中，AB=2,AD=T,以C為圓心作與直線8。相切的圓，P為圓C上且落在四邊

形力88內(nèi)部任意一點，~AP=AAB+/dAD,若；1+4>1,則角力的范圍為（）

"兀兀

A.B.C.D.

J52

7.已知偶函數(shù)/(x)與其導函數(shù)g(x)定義域均為R.—為奇函數(shù)，若2是/(x)的極值點，則

g(x)=O在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)最少有()個.

A.7B.8C.9D.11

8.已知數(shù)列｛/｝滿足，q=1,〃。用=(2〃+2)4,貝ij----------他---------=()

%+%+。4+…+”100

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知隨機變量則()

3

A.E(X)=1B.E(2X+1)=9C.D(X)=-D.O(2X+1)=1

10.已知方程Jl+cosx+—cosx=五的正根構(gòu)成等差數(shù)列,則％=()

A.2+V2B.V2C.2D.4

11.函數(shù)/(x)=；x4-/y?+cx有三個不同極值點x”X2，X3,且cw[-l,0).則()

A.b>y/2B.x：+x；+x；>3次

C.x；+￡+W的最大值為3D.王》2》3的最大值為1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.拋物線C:必=4x上的動點P到點(3,0)的距離等于它到C的準線距離，則尸到焦點距離為

13.下圖裝滿水的圓臺形容器內(nèi)放進半徑分別為1和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球

與小球、容都壁、水面均相切，此時容器中水的體積為

14.己知點Pe，則點尸到動直線X—v-m=o（meR）的最大距離的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知數(shù)歹K/｝的前〃項和S.=l-2-",且滿足〃,=logq.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式;

（2）數(shù)列，的前〃項和為,比較5?和Tn的大小.

16.（15分）如圖所示，在等腰直角△/8C中，AB=BC,點、E、E分別為的中點，將八4跖

沿M翻折到△。跖位置.

（1）證明：平面8CDJL平面BOE；

（2）若DB=EB,求平面OEF與平面DEC夾角的余弦值.

17.（15分）

2021年教育部印發(fā)的《進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學校要保障學生每天

校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動，一學校某體育項目測試有40%

的人滿分，而該校有20%的學生每天運動時間超過兩個小時，這些人體育項目測試滿分率為50%.

（1）從該校隨機抽取三人，三人中體育項目測試相互獨立，求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望；

（2）現(xiàn)從每天運動時間不超過兩個小時的學生中任意調(diào)查一名學生，求他體育項目測試滿分的概率；

（3）體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個人中的任

何一人，第1次由甲將球傳出，求第〃次傳球后球在乙手中的概率.

18.（17分）函數(shù)/（》）=（必+R）.

（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/（x）=x只有一個解，則當x>0時，求使空立>體一巧（/一1）成立的最大整數(shù)人.

19.(17分)函數(shù)_y=x+1是我們最熟悉的函數(shù)之一，它是奇函數(shù)，且歹軸和直線y=x是它的漸近線，

X

在第一象限和第三象限存在圖象，其圖象實質(zhì)是圓錐曲線中的雙曲線.

(I)函數(shù)丁=X+L的圖象不僅是中心對稱圖形，而忖還是軸對稱圖形，求其對稱軸/的方程：

X

(2)若保持原點不動，長度單位不變，只改變坐標軸的方向的坐標系的變換，叫坐標系的旋轉(zhuǎn)，簡稱轉(zhuǎn)

軸.

(i)請采用適當?shù)淖儞Q方法，求函數(shù)y=x+1變換后所對應的雙曲線標準方程；

X

(ii)已知函數(shù)y=x+2圖象上任一點到平面內(nèi)定點/、8的距離差的絕對值為定值，以線段28為直徑

X

的圓與y=x+1的圖象一個交點為P,求△PZ3的面積.

X

數(shù)學答案與解析

1.D2.C3.A4.A5.B

6.【答案】B

【解析】由萬=4而+〃而，當尸在直線8。上時，2+4=1,當圓。與DB的切點在OB延長線上

時，圓C落在四邊形ZBC。內(nèi)部部分與直線08沒有公共點，此時4+4>1，#Z-DBC>y,

0<Z.C<—,故答案為

7.【答案】D

【解析】/(X)為偶函數(shù)，所以/(X)=/(-x)j'(x)=—r(-x)=g(x)=—g(7),所以g(x)為奇函

數(shù)Act.

g(O)=O.因為為奇函數(shù)，所以/(：_2x]=_/j[+2x],得/｛上鼻-/信+x]

即/(x)關于點(1,())對稱,所以/'[3+x)=

即g(;|+x>g((_x)ng(x)=g[m_x),①

所以g(x)=_g(_x)=g(m_x)=g(x)=_g[x+|^，②

得g(x)=g(x+3),g(x)的周期為3.

故g(x)為周期為3的奇函數(shù).g(0)=g(3)=0.

又2是/(x)的極值，點，得g(2)=0,g(5)=0,g(-2)=0,g⑴=0,g(4)=0.

g(x)=g(x+3),又g(x)為奇函數(shù)，g(x)=-g(-x)=g(x+3),得-g(—x)=g(x+3),

所以g(x)關于點0,0)對稱,故g(/=0,且g(|+3)=g漳)=0,

g[|-x^g(l)=g[|-l]=[l)=OXg(1)=g(13)=g(^=0

由①g(x)=g,+

由②g(x)=_g(x+g=g(l)=-g[l+g)=-g

1357911

故g(x)=0在(0,6)內(nèi)解最少有5,1,*2,：,3,(,4,；,5,7,最少有11個.

乙乙乙乙乙乙

8.【答案】C

【解析】由〃。川=(2〃+2)%，得爭=2產(chǎn)，

所以2=2-^,也=2^?，吐=2^^,…，”=22(〃22/€N*)

a...,n-1n-2a.n-3a,1、7

&=2”TN,得a,="2"T.

a.1

設5=。I+。2+%+―+。100=1.2°+2-21+3?22+4-23+—+100-299①

則2s=1?21+2"+32+4*24+-..+100-21°g

①?得一S=l+2+2?+23+…+299-100?2i°°

1_0100

-5=——-2loo100=-99-2loo-l

1-2

S=99-2IO(,+1

a100100.2"50

出+%+4+…+々0099-210099

9.BD

10.【答案】ACD

【解析】【法,】由J1+COSX+J1-COSX

=%=2+2|sinx|=k=|sinx|="--

由歹,sinr|的圖象可知，—的值為0,1,孝時,

J1+COST+J1-cosx=&的正根構(gòu)成等工數(shù)列,得〃=2,4,2+0,故選ACD.

【法二】y=4\+COSX+V1-COSX吟+嗚

其周期為兀，設xe[0,司

y=J1[cos/+sin])=&的正根構(gòu)成等差數(shù)列，得&=2、a=加時成立，故CD正確;

TT3冗57r7TT

且彳'、=不"=彳'…'值也滿足題意'

.n兀sin+cos=VIsin2cos22sinos

sin—+cos—=￡i^Jrrri

88

=也同聯(lián)同1+日

得左=2+瓶，故A正確.

11.【答案】BCD

【解析】/(x)=%4一涼+cx有三個不同極值點須/2，工3,

則/'(0=*3-2"+。=0有三個不等實根為再"2，芻，則/-2bx=—c定有三個解.

設g(x)=》3-2bx=g'(x)=3x2-26,

當640,g'(x)=3x2+2b>0,得g(x)單調(diào)遞增,

x3-2bx=-c不會有三個解,所以O,g'(x)=3x2-26=0nx土

-00,|單調(diào)遞增，在

得g(x)在單調(diào)遞減，在+8單調(diào)遞增.

7

d-2bx=-c定有三個解=g>-c恒成立,

因為一ce(0,1],所以g>1恒成立.

即g>1,W6>—,故A錯誤;

4

3

■Sx-2Z>x+c=(x—X])(x-x2)(x-x3)

32

=X-(X|+x24-X3)X+(X|X2+XjX3+x2x3)x-xIx2x3,

XXXX

故再+工2+工3=°，再42+\3+23=-2/),X1X2X3=-C,故芭/與￡(0,1]，故D正確;

2

又(X1+x2+x3)=x；+x：+x；+2x(x2+2^X3+2X2X3=0

x：+x；+xf=~(2XJX2+2xtx3+2X2X3)=4b>3次，故B正確;

又x：+2bxi+c=0,x；+2bx2+c=0,x；+2bx3+c=0,

則x：+x]+x：=-2Z?X|c—2bx1—c—2bX3—c=—3c>

Xce[-l,O),故—3ce(O,3],

xj5+￡+x；的最大值為3,故C正確.

392兀

12.3

~9~

【解析】由<|lnx|,得0<1,

7

書411nxi，

當y20時，y<-xlnx,

當_y<0時，y>xlnx,

由函數(shù)y=xlnx與y=—xlnx圖象可知點P位于圖中陰影部分區(qū)域，

則點P到直線x-y-加=0（mwR）最大距離的最小值為函數(shù)y=-xlnx上切線斜率為1的點到直線

x—y—l=0的距離的一半.

y=-xlnx=>/=-Inx-1,

設一1'0-1=1,得豌)="2,

2222

k-2e--l|e-+]V2(e+1)

點("2,2"2)到x—y-1=0的距離為

O="7F-2?-

V2(e2+1)

故答案為

-4^

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.解：(1)因為5“=1一2一"

當〃22時，a“=S“-S,i=l-2-(1-2”=襄

又因為〃=1時，卬=岳=1-2一|=」也滿足上式

2

所以當〃GN*時，a“=V

2

a=iogM,=iogi/=〃

2萬2

(2)山bn=n,得一--=—-=-------

他+1〃(〃+1)nn+\

1111111,1

"b}b2b2b3b3b44T1223nn+ln+l

s-TM+1)

""IT)In+1)n+\2"(〃+l)2"

當〃=1時，2"=〃+1

當〃N2時，2"=C；+C：+C；+???+C；=1+〃+戲+…+C；>〃+1,S”>7；.

綜上所述：當〃=1時，S?=Tn,當〃22時，Sn>Tn.

16.解：(1)等腰直角△Z3C中，AB=BC,得N/8C=90°

點E、產(chǎn)分別為48,4C的中點，EF//BC,

所以即JLZ8.

將△沿EF翻折到/XDEF位置后，EF±ED,EFLEB,

EDu面BDE,EBu面BDE,DECEB=E,

所以EF工BDE.

又EF〃BC、得BC上面BDE,又3Cu面3cO,所以平面3cDJL平面BOE

（2）【法一】由（1）知8C_L面8DE,所以面力3。，面8?！?

又因為DB=EB,所以ABDE為等邊三角形,

設的中點為O,則。。上面ZBC,過。作。交ZC于M.以O為坐標原點，0MQBQD

所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨設/8=8C=4,

得Q（0,0,6）,E（0,-l,0）,F（2,-l,0）,C（4,l,0）

所以麗=（0,1,0）,麗=（2,0,0）,反=（4,2,0）

設平面DEF的一個法向量為陽=（再,必,4），

時?訪=0」必+島=0

'|京?昉=0扃=0

可取決=（0,3,—6），

設平面DEC的一個法向量為石=（芻,Z2）,

則產(chǎn)殮=0』%+岳2=。

|[n-￡C=0|14吃+2%=0

可取7=（-g,3,-豆）

m-n_124屈

則COS〈加,〃〉=

I耐行19

平面DEF與平面DEC夾角的余弦值為勺叵.

19

【法二】點E、尸分別為48,ZC的中點，EF〃BC,BC上面DEB,所以M_L面。砧，

面。EbJL面。EB,且面OE/R面。EB=OE,

不妨設AB=BC=4,則點3到面DEF的距離為6,

故點C到面DEF的距離為V3.

設E3的中點為。，則。。J.面4BC,

NOBC=9G,BD=4,0B=1=0C=后,BE=2=EC=2亞

△DOC中Z.DOC=90。,。。=屈,OD=百=。。=20

所以△DEC為等腰三角形，DC=EC=2y[^DE=2,得點C到。E的距離為炳,

又C到面。瓦'的距離為百,

所以平面DEF與平面DEC夾角的正弦值為

而

4M

得平面DEF與平面DEC夾角的余弦值為、一.

19

17.解：(1)該校隨機抽取三人，每個人滿分的概率為40%.

設抽取的三人中滿分人數(shù)為X,則X=0,1,2,3.

(TV

則尸(X=0)=

3_36

尸(X=2)=C；E

/5-125

P?=3)=C；S=展

則X的分布列為

X0123

2754368

p

125125125125

...一6),

數(shù)學期望E（X）=3x|=1.

（2）【法一】設該?？?cè)藬?shù)為N人，則體育項目測試滿分的有Nx40%=0.4N人，每天運動時間超過兩

個小時的人數(shù)有Nx20%=0.2N人，

超過兩個小時的人體育項目測試滿分率約為50%,則其中測試滿分的有個0.2Nx50%=0.1N個人，

因此每天運動時間不超過兩個小時的學生有Nx（l-20%）=0.8N個人中，測試滿分的有

0.4N—0.1N=0.3N個人，任取1名學生，他體育測試滿分的概率為尸=一型=2.

0.8N8

【法二】用4表示事件“抽到每天運動時間超過兩個小時的學生”，則P（Z）=20%,

叩）=1-20%=80%.

用B表示事件“抽到體育項目測試滿分的學生”，

則尸（8）=40%,且尸（8㈤=50%.

又尸（工8）=尸（4）尸（同4）=20%―50%=10%

尸⑶=尸（幺8）+尸7=10%+尸（初）=40%

故P（M）=30%.

（|一\P（AB\30%3

P6㈤=-^="=±.9分

V1>「（可80%8

（3）【法一】記4表示事件“經(jīng)過〃次傳球后，球在乙的手中”，

設”次傳球后球在乙手中的概率為p?,n=1,2,3,…,〃,

1—

則有Pi=］，4+1=4.4+1+4,-4向，

所以P〃+I=尸（4.4川+4.4+J

=P（4/4+J+P（4J4+J

=P(Z)P(4+M)+P(4)P(4+M)

=(1-P"＞；+P"，O

=：(i-P").

即P.+i=一；P"+；，〃=l，2,3,…，

11(

所以P”+i

所以數(shù)列(p表示以』為首項，-，為公比的等比數(shù)列,

[3J62

所以「,十3卜3’，

所以P"=》H)44HJi

即”次傳球后球在乙手中的概率是,

3HI!

【法二】記4表示事件“經(jīng)過〃次傳球后，球在甲的手中”,

設〃次傳球后球在甲手中的概率為P“,〃=1,2,3,…,〃,

所以%=?(不和+4.4向)

=p(Z4j+P(44i)

=尸(4).尸(4T同+尸(4).尸(4/4)

=(i_p,)；+p/O

=；。-p"),

即P〃+i=—；P"+g，"=l，2,3」一，

所以P"+「:=一3|?"—且p「;=一

所以數(shù)列］p“-表示以-;為首項，-;為公比的等比數(shù)列,

1

1-

3

即〃次傳球后球在甲手中的概率是！1-

,因為由甲先傳球，則”次傳球后球在乙和丙手中的概

3

18.解：+國產(chǎn)=/，(x)=[12+(4+2)++4]/

因為俄>0,設g(x)=x?+(Q+2)x+a,A=(Q+2)2-4a=a2+4>0,

-(a+2)±Ji?+4

則g(x)=J+(a+2)X+Q=0=>xl2

2

-(4+2)一

當—00,------------,g(x)>O=/(x)>OJ(x)單調(diào)遞增.

2

""^2]時，g(x)<0=>r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

當NW

/

/-(4+2)++4、

當xw2，+0°時，g(x)>0=>r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

\7

綜上所述：/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-00,(a+2；"(a+2)\Ja三,+oo,單調(diào)遞減區(qū)

門*)-(a+2)—+4一(〃+2)+Ja2+4

(2)若，(x)=x即(乂+◎)/=x只有一個解,

因為x=0使方程成立，所以只有0是/(x)=x的解.

x=0時，(x+a)er=1無非零解.

設〃(、)=(、+白)優(yōu)一1,則”(x)=(x+Q+1)e。

當xv一L”(x)v0,〃(x)單調(diào)遞減,

當x>-Q->0,〃(x)單調(diào)遞增,

所以〃(x)最小值為力(一”-1)=一一1<0,

當1->一8時，—1,當時，，f+oo,故〃(X)=(X+G)C*-1定有零點，又因為

(x+a)e*=1無非零解，有零點應還是0.

所以〃(0)=(0+=0na=l,則/(x)=(x2+x)ex,

"：)>(丘-d)(ev-1)得，+x>(丘一，)(/一1卜>0,/>1,：+；>Z-x得A<-：+；+x

設尸(切=字;+工

e—1

令G(x)=e*-x-2得G(x)=ex-1

因為x>0=e、>1=>G'(x)>O,G(x)=靖一x—2在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

又G6=e—3<0,G(2)=e?—4>0,

xx

e°(e0-xn-2]

所以(1,2)使得G(%)=0=*=x0+2,且尸'(x0)=」------0.

(g)-

y|1

xe(O,xo)=>F(x)<O,F(x)=—~；■+：<：單調(diào)遞減，

e—1

x+1

XG(x0,+oo)=>F(x)>O,F(x)=--+x單調(diào)遞增，

e—1

所以尸(x)最小值/(Xo)=?M+Xo

且e"=x0+2,得/(%)=9+/=%+1

%+1

X+I

又因為X()G(l,2)=>x0+le(2,3),所以左<—1——+x^>k<x0+l,

e'—1

故整數(shù)上的最大值為2.

19.解：（1）函數(shù)y=x+4的圖象是圓錐曲線中的雙曲線，且y軸和直線y=x是它的漸近線可知，對稱

X

3兀77r

軸為直線y=tan——x和y=tan—x.

88

TT7T

,得tai?上+2tan--1=0

88

50，兀K，3式7171

解得tan—=A/2—1,----1—=一

8882

所以tan%tan—=1tan—=5/2+1,

888

tan—=tan］兀一乙］=-tan^=1-0,

8I8J8

所以對稱軸/的方程為y=(JI+1卜和y=(1-后卜.

(2)(i)【法一】在轉(zhuǎn)軸下，設坐標軸的旋轉(zhuǎn)角為&，平面上任一點尸在舊坐標系xQy與新坐標系x'。/

內(nèi)的坐標分別為(x,y)與(V,力，作PM_LOr,PNJ_Ox'再設APOx'=6,貝。

x'=ON=\OP\cos0,y'^NP=\OP\sin0,

x=OM=|(9P|cos((z+^)=|OP|(cosacos8-sinasing)

=x'cosa-/sina,

y=MP=|O尸卜in(a+。)=|OP|(sinacos^+cosasin。)=fsina+y'cosa

3兀1

由（1）可知將坐標軸逆時針旋轉(zhuǎn)一，函數(shù)y=x+—將變?yōu)殡p曲線標準方程，由公式可得

8x

,3兀,.3兀,1,41+11

x=xCos------ysin—x=x―7,-y-1....-=x=—/,/-(V2+i)y

,88。4+2逐'44+20”+20L

,.3兀,3無,五+1,11

j=xsin—+ycos—=>y=x-7_+y口==7+1)x'+y'

［88<4+2>/2V4+2V244+2

1x~V。

代入y=x~i—整理得—T=----------T=----=1.

x2<2+22V2-2

37-1,?3兀

8jsin—1

將84I

代入歹二x十一,

37-1,3兀x

8ycos—

2

8,3兀,.3兀1

=xcos------ysm-+---------5------------z—

八——8)8

3兀3兀3兀,3兀、

/sin—+/cos--xcos-+ysin—Ixcos--/sin-1

8888)Jl88J

sin紅-cos任+y(cos型+sin四口x,cosX-y,sin型