山東省高考考向核心卷數(shù)學(xué)試題

2023屆高考數(shù)學(xué)考向核心卷新高考一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將集合、化簡(jiǎn)，再根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可.【詳解】∵集合，集合，∴．故選：D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，所以，則復(fù)數(shù)的虛部為．故選：．3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】若，則，所以；若，則，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.4.如圖，用、、三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)正常工作且、至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系統(tǒng)正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式求得系統(tǒng)正常工作和只有和正常工作的概率，在利用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件為系統(tǒng)正常工作，事件為只有和正常工作，因?yàn)椴⒙?lián)元件、能正常工作的概率為，所以，又因?yàn)?，所以，故選：C5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，若，則使得的的最大值為（）A.2007 B.2008 C.2009 D.2010【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列首項(xiàng)和性質(zhì),結(jié)合可判斷出,.結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,即可判斷的最大項(xiàng).【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,若所以與異號(hào)首項(xiàng),則公差所以則,所以由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得所以的最大值為,即故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像得到，然后根據(jù)圖像得到周期，由，得到的值，然后代入點(diǎn)得到，根據(jù)的范圍，確定其值，從而得到函數(shù)解析式，代入，得到答案.【詳解】根據(jù)圖像可得，，所以，而，所以代入點(diǎn)，得到即，所以，即因?yàn)樗运源氲?，故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖像求正弦型函數(shù)的解析式，求正弦型函數(shù)的函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題.7.若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.8.記，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)均為負(fù)數(shù)或兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則函數(shù)在上遞增，且，且函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則在上有零點(diǎn)，不妨設(shè)零點(diǎn)為，則，此時(shí)，則，與題意矛盾，故函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn).二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，若，當(dāng)，解得時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為、，則，則，，函數(shù)有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)，符合題意；若，且需符合題意時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，綜上，．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開(kāi)展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）A.所有不同分派方案共種B.若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C.若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D.若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種【答案】BCD【解析】【分析】求得所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生的所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)B；求得每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)的所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得企業(yè)最多派1名醫(yī)生的所有不同分派方案數(shù)判斷選項(xiàng)D詳解】選項(xiàng)A：所有不同分派方案共種.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，先把4名醫(yī)生分成3組（2人，1人，1人）再分配.則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則企業(yè)可以只有醫(yī)生甲，也可以有醫(yī)生甲和另一名醫(yī)生，則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項(xiàng)D：若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則企業(yè)可以有1名醫(yī)生和沒(méi)有醫(yī)生兩種情況,則不同分派方案共（種）.判斷正確.故選：BCD10.已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B.C.的圖象在處的切線的斜率為0 D.在上的最小值為1【答案】BC【解析】【分析】由題意，利用方程思想，求導(dǎo)賦值，建立方程，求得的值，可得函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)解析式，對(duì)于A、B，直接代值，可得答案；對(duì)于C，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，可得答案.【詳解】∵，∴，令，則，故B正確；則，，，故A錯(cuò)誤；的圖象在處的切線的斜率為，故C正確；，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11.如圖1，在菱形ABCD中，，，將沿AC折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，形成三棱錐，如圖2.在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐體積的最大值為3C.存在某個(gè)位置，使D.若平面平面ACD，則直線AD與平面PCD所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】由三棱錐的幾何性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理可證明，得出A正確；由于三棱錐在翻折的過(guò)程中底面積為定值，所以高最大時(shí)其體積最大，此時(shí)平面平面ACD，經(jīng)計(jì)算可知B錯(cuò)誤；在翻折的過(guò)程中，當(dāng)三棱錐形成正四面體時(shí)，滿足，可得C正確；若平面平面ACD，此時(shí)三棱錐的體積最大，根據(jù)等體積法可求得點(diǎn)A到平面PCD的距離，即可計(jì)算出直線AD與平面PCD所成角的正弦值.詳解】如下圖所示：選項(xiàng)A：取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OD，由于四邊形ABCD為菱形，則，，又，平面POD，平面POD，所以平面POD，又平面POD，所以，A正確；（點(diǎn)撥：要證線線垂直，往往需要先證線面垂直）選項(xiàng)B：在翻折過(guò)程中，當(dāng)平面平面ACD時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)三棱錐的體積，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：將△ABC沿AC翻折的過(guò)程中，PC的軌跡是以AC為軸的圓錐，顯然此圓錐軸截面的頂角為，大于，所以必然存在兩條母線互相垂直，翻折前，，故存在某個(gè)位置，使直線AD與直線PC垂直，C正確；（另解：當(dāng)時(shí)，易知，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取PC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，則，，又平面ADM，平面ADM，且，所以平面ADM，又平面ADM，所以，C正確）選項(xiàng)D：當(dāng)平面平ACD時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以的面積，設(shè)直線AD與平面PCD所成角為，點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，則，即，解得，故，D正確.故選：ACD.12.已知點(diǎn)，，，拋物線．過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線分別與交于另一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.直線的斜率為C.若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與的夾角為D.若為拋物線上位于軸上方的一點(diǎn)，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積為2【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)：，直線的方程為，由直線過(guò)點(diǎn)得即可解決；B選項(xiàng)：設(shè)，得直線的方程為直線過(guò)點(diǎn)得，同理即可解決；C選項(xiàng)：得，設(shè)，，又得即可；D選項(xiàng)：過(guò)作垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義得直線與拋物線相切時(shí)，最大，設(shè)直線.得即可.【詳解】A選項(xiàng)：易知，，所以直線的方程為，（利用兩點(diǎn)式求解直線的方程）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，A正確．B選項(xiàng)：設(shè)，，所以直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，同理可得，所以，故B錯(cuò)誤．C選項(xiàng)：，（利用B選項(xiàng)中）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以與的夾角為，故C正確．D選項(xiàng)：易知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖由拋物線的定義知，，即，當(dāng)取最大值時(shí)，取最小值，（正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用）即直線與拋物線相切．設(shè)直線的方程為，由得，所以，解得，此時(shí)，即，所以，又點(diǎn)在軸上方，故，所以，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離．判斷方法：把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)?shù)玫降氖且辉畏匠虝r(shí)，根據(jù)來(lái)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，①若，則直線與拋物線相交；②若，則直線與拋物線相切；③若，則直線與拋物線相離．當(dāng)?shù)玫降氖且辉淮畏匠虝r(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行（或重合）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，從而可得切線方程表達(dá)式，利用切線過(guò)點(diǎn)，解出，即可求得切線方程.【詳解】解：由題意可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以切線的斜率，則的方程為，又點(diǎn)在切線上，所以解得，所以切線方程為：，即.故答案為：.14.已知，則________.（用數(shù)字作案）【答案】34【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】令，得；令，得.二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，又，，所以.故答案為：3415.已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，則____．【答案】【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而確定，，，利用兩角差的余弦公式得到．【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有則即，【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于“變角”將變?yōu)榻Y(jié)合誘導(dǎo)公式，從而變成正弦的二倍角公式．16.已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，且平面ABCD，，點(diǎn)M為線段PC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】連接MA，由題意知三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，然后設(shè)四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn)，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析出當(dāng)O與重合時(shí)，三棱錐的外接球的表面積最小，然后設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接，利用三角形相似求得，即可求得CM的長(zhǎng).【詳解】連接MA，由題意可知三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，則當(dāng)三棱錐外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐外接球的半徑最小.設(shè)四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn).當(dāng)O與不重合時(shí)，連接，易知平面ABCD，則，連接OC，在中，.當(dāng)O與重合時(shí)，，所以當(dāng)三棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，O與重合，.設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接，易知，則，所以，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用直角三角形中斜邊最長(zhǎng)判斷出當(dāng)O與重合時(shí)，三棱錐的外接球的表面積最小是解題的關(guān)鍵所在.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求與；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得數(shù)列的遞推式，得其為等比數(shù)列，易得通項(xiàng)公式、求和；（2）由（1）得，用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.所以.（2）由（1）可得，則，，兩式相減得，所以.【點(diǎn)睛】（1）錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和，求解的方法是等式兩邊乘等比數(shù)列的公比再錯(cuò)位相減，錯(cuò)位相減后化歸為一個(gè)等比數(shù)列的求和；（2）用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；二是在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式.18.在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．（1）求的值;（2）若，求的周長(zhǎng)與面積．【答案】（1）（2）周長(zhǎng)為11，面積為【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若選②，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若選③，由余弦的二倍角公式代入化簡(jiǎn)求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根據(jù)三角形的面積公式和周長(zhǎng)即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】若選①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，故．若選②:由，化簡(jiǎn)得，代入中，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，則，故．若選③:因?yàn)?，所以，即，則．因?yàn)?，所以，則，故．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且，所以．由?）得，則，由正弦定理得，則．故的周長(zhǎng)為，的面積為．19.由中央電視臺(tái)綜合頻道（CCTV1）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開(kāi)課．每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到了青年觀眾的喜愛(ài)．為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得到如下所示的2×2列聯(lián)表．非常喜歡喜歡合計(jì)A3015Bxy合計(jì)已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來(lái)自B地區(qū)且喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的概率為0．35．（1）現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛(ài)程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？（2）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系．（3）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的觀眾的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．附：，，0．050．0100．0013．8416．63510．828【答案】（1）從A地抽取6人，從B地抽取7人.（2）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系.（3）分布列見(jiàn)解析，期望為2.【解析】【分析】（1）求出x的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結(jié)果.（2）補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.（3）由題意知，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，所以應(yīng)從A地抽取（人），從B地抽取（人）．【小問(wèn)2詳解】完成表格如下：非常喜歡喜歡合計(jì)A301545B352055合計(jì)6535100零假設(shè)為：觀眾喜愛(ài)程度與所在地區(qū)無(wú)關(guān).，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛(ài)程度與所在地區(qū)有關(guān)系．【小問(wèn)3詳解】從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾的喜愛(ài)程度為“非常喜歡”的概率為，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，則，X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，．所以X的分布列為X0123P方法1：．方法2：.20.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.21.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線