專題1.5 全稱量詞與存在量詞-解析版

專題1.5全稱量詞與存在量詞【基本知識梳理】知識點1全稱量詞與全稱量詞命題1、全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語是“都”．2、全稱量詞命題（1）定義：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．（2）符號表示：通常，將含有變量的語句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對中任意一個，成立”可用符號簡記為．【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來．如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”．3、判斷全稱量詞命題真假若為真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素，驗證成立；若為假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立即可．知識點2存在量詞與存在量詞命題1、存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“”表示．【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等．2、存在量詞命題（1）定義：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題．（2）符號表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題．3、判斷存在量詞命題真假只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個命題為真，否則為假．知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1、命題的否定：（1）定義：一般的，對一個命題進行否定，就可以的到一個新的命題，這一新命題就成為原命題的否定．命題p的否定可用“”來表示，讀作“非p”或p的否定．（2）命題的否定與原命題的真假關(guān)系：p的否定與p“一真一假”命題p真假假真（3）常見正面詞語的否定：正面詞語等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個2、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定命題類型全稱量詞命題存在量詞命題形式否定形式結(jié)論全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題 【題型1全稱量詞命題與存在量詞命題及其真假的判斷】【例1】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（

）A．每一個命題都能判斷真假B．存在一條直線與兩條相交直線都平行C．對任意實數(shù)，若，則D．存在，使【答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題以及存在量詞命題的概念以及命題的真假判斷，一一判斷各命題，即得答案.【詳解】對于A，“每一個命題都能判斷真假”是全稱量詞命題，命題都能判斷真假，A是真命題，符合題意；對于B，“存在一條直線與兩條相交直線都平行”是存在量詞命題，不符合題意；對于C，該命題是全稱量詞命題，當時，，C中命題是假命題，不符合題意；對于D，該命題是存在量詞命題，不符合題意，故選：A.【變式訓(xùn)練1-1】（23-24高一上·重慶·期中）（多選）下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）A. B.C.菱形對角線互相垂直 D.任意四邊形均有外接圓【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞的定義，逐項判斷命題真假即可.【詳解】對于A，“”全稱量詞，且由于，故對，為真命題，故A正確；對于B，“”是存在量詞，故B錯誤；對于C，“所有的”是全稱量詞，所有的菱形的對角線都互相垂直，故C正確，對于D，任意四邊形不一定有外接圓，對角和為的四邊形，有外接圓；對角和不是的四邊形，沒有外接圓，故D錯誤.故選：AC.【變式訓(xùn)練1-2】（23-24高一上·四川成都·月考）（多選）以下命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角B.至少有一個實數(shù)，使C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個負數(shù)，使【答案】B【解析】【分析】分別對每個命題是否為存在量詞命題及真假進行判斷即可.【詳解】對于A，“銳角三角形”省略了全稱量詞“（所有的）銳角三角形”是全稱量詞命題，且該命題為假命題，故選項A錯誤；對于B，含存在量詞“至少有一個”，為存在量詞命題，且當時，成立，該命題為真命題，所以選項B正確；對于C，“兩個無理數(shù)和”省略了全稱量詞“（任意）兩個無理數(shù)的和”，是全稱量詞命題，且無理數(shù)與的和為，是有理數(shù)，該命題為假命題，所以選項C錯誤；對于D，含存在量詞“存在一個”，當時，，故不成立，該命題為假命題，所以選項D錯誤.故選：B.【變式訓(xùn)練1-3】（23-24高一上·廣東珠?！ぴ驴迹ǘ噙x）下列命題為真命題的是（

）A．，使得B．，都有C．已知集合，，則對于，都有D．，使得方程成立．【答案】AB【分析】根據(jù)全稱和特稱量詞的含義，結(jié)合去絕對值的方法、交集的定義和一元二次方程根的個數(shù)的判斷，依次確定各個選項的正誤即可.【詳解】對于A，當時，，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當時，，C錯誤；對于D，，，方程都不成立，D錯誤.故選：AB.【題型2根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【例2】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題命題“，”為真命題，進而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為命題“，”為假命題，所以，命題“，”為真命題，因為集合，集合所以，當時，，此時成立，當時，由“，”得，解得0≤a<3，綜上，實數(shù)的取值范圍為a<3故選：A.【變式訓(xùn)練2-1】（23-24高一上·山東·階段測試）（多選）給定命題，都有．若命題p為假命題，則實數(shù)m可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根據(jù)為假命題得到，，然后根據(jù)的最值求的范圍即可.【詳解】若為假命題，則，，解不等式得，所以.故選：AB.【變式訓(xùn)練2-2】（23-24高一上·山東青島·階段測試）已知命題：“，使”是假命題，則命題成立的必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程解的情況、含有存在量詞的命題的否定、充分條件和必要條件的定義分析運算即可得解.【詳解】解：∵“，使”是假命題，即“，”是真命題，即方程沒有實數(shù)根，∴∴，即命題：“，使”是假命題等價于，設(shè)有集合，命題：，命題的必要不充分條件為命題：，則命題，而不能，∴集合是集合的真子集，選項B中集合滿足要求，∴選項B正確.故選：B.【變式訓(xùn)練2-3】（23-24高一上·山東青島·階段測試）（多選）已知“”是真命題，“”是假命題，則集合M可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)給定命題的真假判斷集合M的元素性質(zhì)，即可得答案.【詳解】由“”是真命題，“”是假命題，故集合M中必有負數(shù)，且元素都小于3，集合M可以是、.故選：AB【變式訓(xùn)練2-4】（23-24高一上·山東濰坊·階段測試）已知，命題P：?1≤x≤2，；命題，使得.（1）若p是真命題，求a的最大值；（2）若p，q一個為真命題，一個為假命題，求a的取值范圍；【答案】（1）1；（2）或.【解析】【分析】（1）先求出的范圍，利用全稱命題為真命題即可求得；（2）先求出命題q為真時a的取值范圍，進而分類討論：i.p真q假時和ii.p假q真時分別求出對應(yīng)a的取值范圍即可求解.【小問1詳解】對?1≤x≤2，由在要使命題P：?1≤x≤2【小問2詳解】命題，使得為真命題，則，解得：或.i.p真q假時，只需，所以；ii.p假q真時，只需或，所以；所以或.綜上所述：a的取值范圍為或..【題型4全稱量詞、存在量詞命題的否定】【例4】（23-24高一上·北京大興區(qū)·期中）對于命題p：，則命題p的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：命題p：的否定為.故選：D【變式訓(xùn)練4-1】（23-24高一上·甘肅蘭州·期中）命題“，使”的否定是（）A.，使 B.不存在，使C.，使 D.，使【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.【詳解】命題“，使”的否定是“，使”.故選：A【變式訓(xùn)練4-2】（23-24高一上·四川瀘州·期中）設(shè)命題，則為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞的否定即可得到答案.【詳解】因為命題為全稱量詞命題，故，故選：B．【變式訓(xùn)練4-3】（23-24高一上·山東青島西海岸新區(qū)·期中）十七世紀，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解”．經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（）A.對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程都沒有正整數(shù)解B.對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解D.存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題進行判斷.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知，費馬大定理的否定為“存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解”，故D正確.故選：D.【題型5根據(jù)命題的否定求參數(shù)】【例5】（23-24高一上·廣東東莞·階段測試）已知命題：方程有兩個不等的負實根；命題：方程無實根.(1)若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題，中有且僅有一個為真一個為假，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)m(2)或【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出命題為真時，實數(shù)的取值范圍，進而由命題為真求解；（2）由判別式得出為真時，實數(shù)的取值范圍，再討論真假或假真，得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若方程有兩個不等的負根，則，解得；因為命題為真，所以實數(shù)的取值范圍為m≤2.（2）若方程無實根，則，解得.若真假時，，解得；若假真時，，解得.綜上，得或.【變式訓(xùn)練5-1】（23-24高二下·河北·階段測試）已知或.(1)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意得到是假命題，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，列出不等式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得出命題是真命題的范圍，再將問題轉(zhuǎn)化為集合間的真子集關(guān)系，從而得到不等式組即可求解.【詳解】（1）因為命題是真命題，所以命題是假命題，即關(guān)于的方程無實數(shù)根.當時，方程無解，符合題意；當時，，解得.（2）由（1）知若命題是真命題，則或.因為命題是命題的必要不充分條件，所以或?或，則解得，