河南省安陽(yáng)市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含答案解析

2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.44.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍6.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.167.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)p，q，若，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增10.已知正三棱臺(tái)中，的面積為，的面積為，，棱的中點(diǎn)為，則（）A.該三棱臺(tái)的側(cè)面積為 B.該三棱臺(tái)的高為C.平面 D.二面角的余弦值為11.甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)責(zé)某個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目由三個(gè)工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個(gè)工序，且甲負(fù)責(zé)工序的概率分別為，當(dāng)他負(fù)責(zé)工序時(shí)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（）A.該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)概率為0.68B.若甲不負(fù)責(zé)工序C，則該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)概率為0.54C.若該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為D.若該項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為12.已知拋物線的準(zhǔn)線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標(biāo)原點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線，，若，交于點(diǎn)A，則D.若，則點(diǎn)到直線的距離大于等于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為_(kāi)________．14.已知數(shù)列中，，且，則的前12項(xiàng)和為_(kāi)________．15.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為_(kāi)________．16.若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20.為了驗(yàn)證某種新能源汽車(chē)電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，，以表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）21.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．22.已知橢圓的離心率為，直線過(guò)的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與圓相切．（1）求的方程．（2）過(guò)上一點(diǎn)作圓的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．證明：①直線，斜率之積為定值；②．2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.【詳解】依題意，，，所以，.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以的虛部為．故選：B.3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到且，得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切，所以且，解得故選：D4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換得到或，從而得到答案.【詳解】，顯然，則，解得或．所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.6.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C7.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)p，q，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，得到方程組，求出，進(jìn)而得到，得到答案.【詳解】依題意，，則，因?yàn)?，所以，顯然，，兩式相除得，則，代入中，解得，則．故選：D8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線，，由得到，再根據(jù)條件得出，代入方程，即可求出結(jié)果.【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以為的一個(gè)周期，故A正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)椋痪哂衅媾夹?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知正三棱臺(tái)中，的面積為，的面積為，，棱的中點(diǎn)為，則（）A.該三棱臺(tái)的側(cè)面積為 B.該三棱臺(tái)的高為C.平面 D.二面角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算出正三棱臺(tái)側(cè)面上的高，結(jié)合梯形的面積公式可判斷A選項(xiàng)；利用梯形的幾何性質(zhì)求出該三棱臺(tái)的高，可判斷B選項(xiàng)；分別延長(zhǎng)棱、、交于點(diǎn)，推導(dǎo)出三棱錐為正四面體，且為等邊的中心，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)條件可得，，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)椋?，，所以，，則，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，即等腰梯形的高為，其面積為，所以該三棱臺(tái)的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的中心為，的中心為，可知是直角梯形，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，因?yàn)?，解得，同理可得，所以，，，所以，，則，所以，，故B正確；對(duì)于C，分別延長(zhǎng)棱、、交于點(diǎn)，因?yàn)?，，則，可得，則，同理可得，所以，四面體為正四面體，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，所以，，且，即，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，則為正的中心，故平面，故C正確；對(duì)于D，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為等邊三角形，則，且，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，且，故二面角的平面角為，因?yàn)槠矫妫矫?，則，則，故二面角的余弦值為，故D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來(lái)度量，平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.11.甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)責(zé)某個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目由三個(gè)工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個(gè)工序，且甲負(fù)責(zé)工序的概率分別為，當(dāng)他負(fù)責(zé)工序時(shí)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（）A.該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.68B.若甲不負(fù)責(zé)工序C，則該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.54C.若該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為D.若該項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】記甲負(fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，甲?fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，甲?fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，該?xiàng)目達(dá)標(biāo)為事件．對(duì)于選項(xiàng)A，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12.已知拋物線的準(zhǔn)線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標(biāo)原點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線，，若，交于點(diǎn)A，則D.若，則點(diǎn)到直線的距離大于等于【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.詳解】由題可得拋物線，設(shè)，，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)的焦點(diǎn)，此時(shí)，又的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則以為直徑的圓與相切，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，直線，將代入，得，則，又易知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題可設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，消得到，由，得到，又，所以，得到，所以在點(diǎn)處的切線方程為，整理得到，同理可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，解得，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可知當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，由，不妨取，代入，得到，所以，點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與弦端點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的解法解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問(wèn)題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)體積先計(jì)算出圓錐的高，再根據(jù)高計(jì)算出圓錐的母線，即展開(kāi)圖扇形的半徑，最后在根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角.【詳解】設(shè)圓錐（如圖所示）的高為．因，所以，母線．將圓錐沿展開(kāi)所得扇形的弧長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，所以圓心角.故答案為：.14.已知數(shù)列中，，且，則的前12項(xiàng)和為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，借助數(shù)列的周期性、分組求和即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項(xiàng)和為．故答案為：15.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為_(kāi)________．【答案】2【解析】【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.【詳解】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為：2.16.若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：增極大值減減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)（從左邊趨于），；當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），，當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得．【小問(wèn)2詳解】由得，化簡(jiǎn)得，又，故，所以，故．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)要證明面面垂直，只需證明平面，即只需證明，.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后再求線面角.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，同理可得，故，因?yàn)?，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，故平面平面．【小?wèn)2詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閯t，，，，，所以，，．設(shè)為平面的法向量，則即令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，故．20.為了驗(yàn)證某種新能源汽車(chē)電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，，以表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；期望為（2）【解析】分析】（1）利用二項(xiàng)分布求解；（2）法一：先求次試驗(yàn)中，成功了0次或1次的概率，再利用對(duì)立事件求解；法二：先求，再利用錯(cuò)位相減求和.【小問(wèn)1詳解】依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．【小問(wèn)2詳解】方法一：設(shè)“停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)總次數(shù)不大于”，則，“次試驗(yàn)中，成功了0次或1次”，“次試驗(yàn)中，成功了0次”的概率；“次試驗(yàn)中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗(yàn)只成功了1次，且第次試驗(yàn)成功，故，所以，令，則，兩式相減得：，則．即21.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）極小值為0，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析【解