2024屆山西省定襄縣中考數(shù)學(xué)模試卷含解析

2024屆山西省定襄縣重點名校中考數(shù)學(xué)模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

AF）1nF

1.如圖，在AA3CDE/ABC中，RE分別在邊AC邊上，已知一=—,則也的值為（）

2.如圖，在扇形CAB中，CA=4,ZCAB=120°,D為CA的中點，P為弧BC上一動點（不與C,B重合），則2PD+PB

C.10D.4由

E（I）（0<x<2）

3.如圖,函數(shù)y=?的圖象記為ci,它與x軸交于點。和點Ai；將ci繞點Ai旋轉(zhuǎn)180。得C2,交

-2x+8（2<x<4）

X軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180。得C3,交X軸于點A3…如此進行下去，若點P（103,m）在圖象上，那么m的

4.等腰RtZXABC中，44C=9O°,D是AC的中點，于E,交BA的延長線于F,若BF=12,則FBC

的面積為（）

E

A.40B.46C.48D.50

5.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC

為等腰直角三角形，則這樣的點C有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

6.如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發(fā)沿在A—B-C—D路徑勻速運動到點D,設(shè)APAD的面

7.如圖，A,B是半徑為1的。O上兩點，且OALOB.點P從A出發(fā)，在。O上以每秒一個單位長度的速度勻速運

動，回到點A運動結(jié)束.設(shè)運動時間為x,弦BP的長度為y,那么下面圖象中可能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是

8.有兩組數(shù)據(jù)，A組數(shù)據(jù)為2、3、4、5、6；B組數(shù)據(jù)為1、7、3、0、9,這兩組數(shù)據(jù)的（）

A.中位數(shù)相等B.平均數(shù)不同C.A組數(shù)據(jù)方差更大D.B組數(shù)據(jù)方差更大

9.下列條件中丕能判定三角形全等的是（）

A.兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等B.三條邊對應(yīng)相等

C.兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等D.三個角對應(yīng)相等

10.某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)（n）102050100200500...

擊中靶心次數(shù)（m）8194492178451...

擊中靶心頻率（）

”0.800.950.880.920.890.90...

n

由此表推斷這個射手射擊1次，擊中靶心的概率是（）

A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.在一個不透明的袋子里裝有除顏色外其它均相同的紅、藍小球各一個，每次從袋中摸出一個小球記下顏色后再放

回，摸球三次，“僅有一次摸到紅球”的概率是.

12.如圖，AB是半圓O的直徑，點C、D是半圓O的三等分點，若弦CD=2,則圖中陰影部分的面積為.

13.計算：（372+D（3叵-1）=.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x?+x+2上有一動點P,直線y=-x-2上有一動線段AB,當(dāng)P點坐標(biāo)為時,

△PAB的面積最小.

V

15.關(guān)于X的一元二次方程kx2_x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是▲,

16.關(guān)于x的方程X2—3x+2=0的兩根為xi,xi,則xi+x2+xix2的值為.

17.如圖，菱形A5CD的面積為120c加2,正方形AEC尸的面積為50cm2,則菱形的邊長cm.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

2x>①

18.（10分）解不等式組<

L3(L2)>4②

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答

（1）解不等式①，得.

（2）解不等式②，得.

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:

----1---1---1----1---1----L>

-3-2-10123

（4）原不等式組的解集為.

19.（5分）已知P是。。外一點，PO交（DO于點C,OC=CP=2,弦ABLOC,/AOC的度數(shù)為60。，連接PB.

20.（8分）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD±,且NECF=45。，CF的延長線交BA的

延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.

（2）線段AC,AG,AH什么關(guān)系？請說明理由;

（3）設(shè)AE=m,

①AAGH的面積S有變化嗎？如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請求出定值.

②請直接寫出使小CGH是等腰三角形的m值.

21.（10分）如圖，已知AO是△ABC的中線，M是AO的中點，過A點作AE〃BC,CM的延長線與AE相交于

點E,與A3相交于點F.

(1)求證：四邊形AEfiD是平行四邊形；

(2)如果AC=3Ab,求證四邊形AEfiD是矩形.

22.(10分)觀察下列算式：

01X3-22="3"-4=-1

@2X4-32="8"-9=-1

(3)3X5-42="15"-16=-1

④________________________

（1）請你按以上規(guī)律寫出第4個算式；

（2）把這個規(guī)律用含字母的式子表示出來；

（3）你認為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由.

23.（12分）如圖，對稱軸為直線x=—1的拋物線丫=瞅2+6*+<:但。0）與*軸相交于人、B兩點，其中A點的坐

標(biāo)為（-3,0）.

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且SAPOcudS^oc，求點P的坐標(biāo);

②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD，x軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.

24.（14分）如圖，分別以RtAABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊AACD,等邊△ABE,已知NBAC=30。,

EF±AB,垂足為F,連接DF試說明AC=EF；求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、B

【解題分析】

根據(jù)DE/7BC得到△ADE^AABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.

【題目詳解】

行AD1

解：*?'---=z?

DB3

AD1

???..一,

AB4

VDE/7BC,

/.△ADE^AABC,

.DEAD1

"BC^AB~4'

故選:B.

【題目點撥】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解題分析】

如圖，作〃NPAP，=120。，貝!JAP，=2AB=8,連接PP。BPS則N1=N2,推出△APDsaABP，，得至I]BP，=2PD,于是

得至！J2PD+PB=BP，+PBNPP，，根據(jù)勾股定理得到PP'=Je+.+僅廳=4p求得2PD+PBN4#,于是得到結(jié)論.

【題目詳解】

如圖，作〃NPAP，=120。，貝！JAP，=2AB=8,連接PP。BPS

AP=2,

AB=AD

.?.△APD^AABPr,

ABPr=2PD,

2PD+PB=BPr+PB>PPr,

??,PP'=J(2+/+(2書?=4書，

.,.2PD+PB>4^,

.,.2PD+PB的最小值為4書,

故選D.

【題目點撥】

本題考查了軸對稱-最短距離問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】

求出G與X軸的交點坐標(biāo)，觀察圖形可知第奇數(shù)號拋物線都在X軸上方，然后求出到拋物線。25平移的距離，再根據(jù)

向右平移橫坐標(biāo)加表示出拋物線c26的解析式，然后把點P的坐標(biāo)代入計算即可得解.

【題目詳解】

令>=0,則<‘7=0,

—2x+8

解得光］=0,9=4,

??.A(4,0)，

由圖可知，拋物線c26在X軸下方，

相當(dāng)于拋物線G向右平移4x(26T尸100個單位得到得到c25，再將C25繞點旋轉(zhuǎn)180。得C26,

c26此時的解析式為產(chǎn)(x-100)(x-100-4尸Q-100)(x-104),

PQ03,而在第26段拋物線。26上，

m=(103-100)(103-104)=-3.

故答案是：C.

【題目點撥】

本題考查的知識點是二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得到p點所在函數(shù)表達式.

4、C

【解題分析】

VCE1BD,/.ZBEF=90°,；/BAC=90°,/.ZCAF=90°,

/.ZFAC=ZBAD=90°,ZABD+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

/.ZABD=ZACF,

又；AB=AC,.,.AABD^AACF,/.AD=AF,

VAB=AC,D為AC中點，；.AB=AC=2AD=2AF,

,.,BF=AB+AF=12,/.3AF=12,；.AF=4,

；.AB=AC=2AF=8,

?,.SAFBC=-XBFXAC=-X12X8=48,故選C.

22

5、A

【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰AABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰.

【題目詳解】

如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有2個;

②AB為等腰直角AABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解.數(shù)形

結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

6、B

【解題分析】【分析】設(shè)菱形的高為h,即是一個定值，再分點P在AB上，在BC上和在CD上三種情況，利用三角

形的面積公式列式求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后選擇答案即可.

【題目詳解】分三種情況：

①當(dāng)P在AB邊上時，如圖1,

設(shè)菱形的高為h,

1

y=^AP*h,

TAP隨x的增大而增大，h不變，

，y隨x的增大而增大，

故選項C不正確；

②當(dāng)P在邊BC上時，如圖2,

1

y=^AD*h,

AD和h都不變，

...在這個過程中，y不變，

故選項A不正確；

③當(dāng)P在邊CD上時，如圖3,

y=^PD*h,

???PD隨x的增大而減小，h不變，

，y隨x的增大而減小，

VP點從點A出發(fā)沿A—BTC—D路徑勻速運動到點D,

???P在三條線段上運動的時間相同，

故選項D不正確，

故選B.

【題目點撥】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，根據(jù)點P的位置的不同，運用分類討論思想，分三段求

出4PAD的面積的表達式是解題的關(guān)鍵.

7、D

【解題分析】

分兩種情形討論當(dāng)點P順時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是③，當(dāng)點P逆時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是①，由此即可解決問題.

【題目詳解】

解：當(dāng)點尸順時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是③，當(dāng)點P逆時針旋轉(zhuǎn)時，圖象是①.

故選D.

8、D

【解題分析】

分別求出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差，比較即可得出答案.

【題目詳解】

A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：4,平均數(shù)是：(2+3+4+5+6)+5=4,

方差是：[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]+5=2;

3組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：3,平均數(shù)是：(1+7+3+0+9)25=4,

方差是:[(1-4)2+(7-4)2+(3-4)2+(0-4)2+(9-4)2]+5=12;

二兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不相等，平均數(shù)相等，3組方差更大.

故選D.

【題目點撥】

本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算，熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算方法是解答本題的關(guān)鍵.

9、D

【解題分析】

解:A、符合AAS,能判定三角形全等；

B、符合SSS,能判定三角形全等；；

C、符合SAS,能判定三角形全等；

D、滿足AAA,沒有相對應(yīng)的判定方法，不能由此判定三角形全等；

故選D.

10、D

【解題分析】

觀察表格的數(shù)據(jù)可以得到擊中靶心的頻率，然后用頻率估計概率即可求解.

【題目詳解】

依題意得擊中靶心頻率為0.90,

估計這名射手射擊一次，擊中靶心的概率約為0.90.

故選：D.

【題目點撥】

此題主要考查了利用頻率估計概率，首先通過實驗得到事件的頻率，然后用頻率估計概率即可解決問題.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、-

8

【解題分析】

摸三次有可能有：紅紅紅、紅紅藍、紅藍紅、紅藍藍、藍紅紅、藍紅藍、藍藍紅、藍藍藍共計8種可能，其中僅有一

個紅壞的有：紅藍藍、藍紅藍、藍藍紅共計3種，所以“僅有一次摸到紅球”的概率是》

8

故答案是：,

O

2萬

[2、---.

3

【解題分析】

試題分析：連結(jié)OC、OD,因為C、D是半圓O的三等分點，所以，ZBOD=ZCOD=60°,所以，三角形OCD為

等邊三角形，所以，半圓O的半徑為OC=CD=2,S扇形OBDC=3=歲,SAOBC=-X2V3X1=73，S弓形CD

36032

—

—S扇形ODC—SAODC=——-x2xy/3———y/3，所以陰影部分的面積為為S=-6(——^3)=.

考點：扇形的面積計算.

13、1.

【解題分析】

根據(jù)平方差公式計算即可.

【題目詳解】

原式=(3近)2-12

=18-1

=1

故答案為1.

【題目點撥】

本題考查的是二次根式的混合運算，掌握平方差公式、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14、(-1,2)

【解題分析】

因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，平移直線與拋物線的切點即為P點，然后求

得平移后的直線，聯(lián)立方程，解方程即可.

【題目詳解】

因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，

若直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點，

設(shè)平移后的直線為y=-x-2+b,

?直線y=-x-2+b與拋物線y=x2+x+2相切，

?*.x2+x+2=-x-2+b,即x2+2x+4-b=0,

則A=4-4(4-b)=0,

；?b=3,

平移后的直線為y=-x+l,

y==-x+1

解<_2c得x=-Ly=2，

y^x+x+2

，P點坐標(biāo)為(-1,2),

故答案為(-1,2).

【題目點撥】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積以及解方程等，理解直線向上平移與拋物線相切，切點

即為P點是解題的關(guān)鍵.

1)

15、kV—且kRL

4

【解題分析】

根據(jù)一元二次方程kx2-x+l=l有兩個不相等的實數(shù)根，知△=b2-4ac>L然后據(jù)此列出關(guān)于k的方程，解方程，結(jié)合

一元二次方程的定義即可求解：

Vkx2-x+l=O有兩個不相等的實數(shù)根，

.?.△=1-4k>1,且kRl,解得，k<-Kk^l.

4

16、5

【解題分析】

試題分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.

解：?.?處，X2是方程3x+2=0的兩根，

?工b二C

aa

xi+必+*1必—3+2=5?

故答案為：5.

17、13

【解題分析】

試題解析：因為正方形AECF的面積為50cm2,

所以AC=j2x50=10cm,

因為菱形ABCD的面積為120cM2,

所以3。=2X120=24cm,

10

所以菱形的邊長=楞j+自:=13cm.

故答案為13.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)x>-l；(2)x<l；(3)見解析；(4)-1<X<1.

【解題分析】

分別解兩個不等式，然后根據(jù)公共部分確定不等式組的解集，再利用數(shù)軸表示解集.

【題目詳解】

解:(1)x>-l；

(2)x<l；

(3).11?11->;

-3-2-10123

(4)原不等式組的解集為一IWxWL

【題目點撥】

本題考查了解一元一次不等式組：一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀

地表示不等式組的解集.解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

19、(1)BC=2；(2)見解析

【解題分析】

試題分析：(1)連接OB,根據(jù)已知條件判定AOBC的等邊三角形，則BC=OC=2；

(2)欲證明PB是。。的切線，只需證得OBLPB即可.

(1)解：如圖，連接OB.

VAB±OC,ZAOC=60°,

:.ZOAB=30°,

；OB=OA,

/.ZOBA=ZOAB=30°,

:.ZBOC=60°,

；OB=OC,

/.△OBC的等邊三角形，

/.BC=OC.

又OC=2,

/.BC=2；

(2)證明：由(1)知，△OBC的等邊三角形，則NCOB=60。，BC=OC.

VOC=CP,

/.BC=PC,

/.ZP=ZCBP.

又?.,/OCB=60。，ZOCB=2ZP,

ZP=30°,

.\ZOBP=90°,即OB_LPB.

又?；OB是半徑，

...PB是。O的切線.

考點：切線的判定.

O

20、(1)=；(2)結(jié)論：AC2^AG*AH.理由見解析；(3)①AAG”的面積不變.②機的值為§或2或8-40..

【解題分析】

(1)證明/DAC=NAHC+NACH=43。，ZACH+ZACG=43°,即可推出/AHC=NACG；

(2)結(jié)論：AC2=AG?AH.只要證明小AHC^AACG即可解決問題；

(3)①4AGH的面積不變.理由三角形的面積公式計算即可；

②分三種情形分別求解即可解決問題.

【題目詳解】

(1)???四邊形A5C。是正方形，

.*.A5=C8=C￡)=n4=4,NO=NOAB=90°/ZMC=NR4C=43°,

J42+42=4返，

'：ZDAC=ZAHC+ZACH=43°,ZACH+ZACG=43°,

NAHC=NACG.

故答案為=.

(2)結(jié)論：AC1=AG*AH.

理由：ZAHC=ZACG,ZCAH=ZCAG=13>3>°,

：.AAHC^AACG,

.AHAC

??—9

ACAG

：.AC1=AG'AH.

(3)①△AG77的面積不變.

理由：VSAAGH^-*AH*AG^-=-x(4及)2=1.

222

.,.△AGH的面積為1.

②如圖1中，當(dāng)GC=GH時，易證△A7/G之△BGC,

".,BC//AH,

.BCBE

**AH7-AE-25

28

..AE——AB=—.

33

如圖2中，當(dāng)C"=HG時,

易證AH=BC=4,

,JBC//AH,

BEBC

?.-----=-------1,

AEAH

：.AE=BE=2.

如圖3中，當(dāng)CG=CH時，易證NEC3=NOCP=22.3.

在5c上取一點M,使得5M=BE,

:.NBME=NBEM=43。,

VNBME=ZMCE+ZMEC,

：.NMCE=NMEC=22.3。,

：.CM^EM,設(shè)3M=8E=?i,則CM=EM7^?I,

m+5/2m—4,

J.m—4(y/2T)，

???.AE=4-4(V2-1)=8-40,

Q

綜上所述，滿足條件的m的值為'或2或8-4夜.

【題目點撥】

本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

21、(1)見解析；(2)見解析.

【解題分析】

(1)先判定,可得A￡=CD,再根據(jù)AO是人鉆。的中線，即可得到AD=CD=6￡>,依據(jù)

AEBD,即可得出四邊形AEBD是平行四邊形；

(2)先判定一A跖sBCF,即可得到依據(jù)AC=3AE,可得A6=AC根據(jù)AD是八鉆。的中線，可

得AD_L5C,進而得出四邊形AEfiD是矩形.

【題目詳解】

證明：(1)"是AQ的中點，

:.AM=DM,

AE//BC,

：.ZAEM=ZDCM,

又ZAME=/DMC,

：._AEMADCM,

:.AE—CD,

又A。是八43。的中線，

AD^CD^BD,

又AE//BD,

二四邊形AEBD是平行四邊形；

(2)AE//BC,

:._AEFs二BCF,

AFAE1

——---二一，即nnBF=2AFf

BFBC2

AB=3AF,

又AC^3AF,

AB^AC,

又AD是八鉆。的中線,

:.AD±BC,

又四邊形AEBD是平行四邊形,

四邊形AEBD是矩形.

本題主要考查了平行四邊形、矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)的運用，解題時注意：對角線相

等的平行四邊形是矩形.

22、(1)4x6-52=24-25=-1;

⑵答案不唯一.如％伽+2)-(n+I)2=-h

⑶九例+2)-(n+I)2=n22n-(n+2n+1)

n2+2n-n2-2n-1

1.

【解題分析】

（1）根據(jù)①②③的算式中，變與不變的部分，找出規(guī)律，寫出新的算式;

（2）將（1）中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，由特殊到一般，得出結(jié)論;

（3）一定成立.利用整式的混合運算方法加以證明.

23、（1）點B的坐標(biāo)為（1,0）.

（2）①點P的坐標(biāo)為（4,21）或（-4,5）.

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②線段QD長度的最大值為“

【解題分析】

(1)由拋物線的對稱性直接得點B的坐標(biāo).

(2)①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標(biāo)，得到，BOC，設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)$醺8=45醺℃

列式求解即可求得點P的坐標(biāo).

②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(q,-q-3),從而由QD，x軸交拋物

線于點D,得點D的坐標(biāo)為(q,q2+2q-3),從而線段QD等于兩點縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理

求解.

【題目詳解】

解：(1)VA>B兩點關(guān)于對稱軸x=—1對稱，且A點的坐標(biāo)為(-3,0),

???點B的坐標(biāo)為(1,0).

(2)①;拋物線a=1,對稱軸為x=—1,經(jīng)過點A(-3,0),

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