2025屆云南省曲靖市陸良縣高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆云南省曲靖市陸良縣高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.82.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.3.在中,,,,若,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.4.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1005.若函數(shù)(其中,圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,,其相鄰一條對(duì)稱軸方程為,該對(duì)稱軸處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,為了得到的圖象,則只要將的圖象()A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且7.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.8.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.9.已知,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.811.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù),如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.12.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.14.已知函數(shù),則________;滿足的的取值范圍為________.15.設(shè),滿足約束條件,則的最大值為______.16.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個(gè)和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個(gè)和尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個(gè)和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個(gè)和尚的身高之和為cm,中間兩個(gè)和尚的身高之和為cm,則最高的和尚的身高是____________cm.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且軸,直線交軸于點(diǎn),,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足,求的面積.18.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值19.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,證明:21.(12分)如圖1,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為的中點(diǎn),以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)已知圓外有一點(diǎn),過點(diǎn)作直線.(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí),求直線的方程;(2)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),求直線被圓所截得的弦長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?,所以,故,解得,又切線過點(diǎn),所以,解得,所以,故選:B本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.2.C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

將、用、表示,再代入中計(jì)算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算,是一道中檔題.4.D【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.5.B【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點(diǎn)法作圖求出的值,可得的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式,得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中,的圖象過點(diǎn),,可得,,解得:.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得,可得:,可得函數(shù)解析式為:故把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象,故選B.本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點(diǎn)法作圖求出的值,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.6.B【解析】由且可得,故選B.7.B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)椋?,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)?,③錯(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.8.B【解析】

連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最??;而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形,對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.10.A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.11.B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn),面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和知識(shí)方法的遷移能力,屬于難題.12.B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。14.【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到,分和兩種情況討論可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,∵,∴?dāng)時(shí),滿足題意,∴;當(dāng)時(shí),由,解得.綜合可知:滿足的的取值范圍為.故答案為:;.本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.15.29【解析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),半徑最大,此時(shí)也最大,最大值為.所以本題答案為29.線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.16.【解析】

依題意設(shè)前三個(gè)和尚的身高依次為,第四個(gè)(最高)和尚的身高為,則,解得,又,解得,又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,則公比,故.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問題得解;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【詳解】(1)設(shè),由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€,且,所以,即,因?yàn)檫M(jìn)而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí),顯然不成立.直線斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開得,整理得,所以.即為所求.本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.18.(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】

(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點(diǎn),∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E,使平面DEM,此時(shí),E是棱A的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理,考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力,屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.19.(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】

(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵跈E圓上,當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí),到軸距離最大,此時(shí)面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時(shí),設(shè)直線方程為,原點(diǎn)到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時(shí),,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時(shí)常用此法通過韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.20.(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn),即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點(diǎn);綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點(diǎn);在有極小值點(diǎn),即為;在有極大值點(diǎn),即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.21.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離;解法二:由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,過點(diǎn)作的垂線,垂足,證明平面,計(jì)算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因?yàn)椋?又平面平

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