2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義-方程與不等式（學生版）

專題04方程與不等式

【知識點梳理】

知識點1：二元二次方程組的解法

方程/+2xy+/+無+y+6=0

是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次

方程.其中犬，2xy,V叫做這個方程的二次項，->叫做一次項，6叫做常數(shù)項.

我們看下面的兩個方程組：

JX2-4/+X+3J-1=0Jx2+/=20

\?.x-y-\=0x2-5xy+6y2=0

第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方

程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組.

下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法.

一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解.

知識點2：一元二次不等式的解法

為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)。>0時的一元二次不等式的解.

我們知道，對于一元二次方程成：2+bx+c=o（a>。），設.=片一4或，它的解的情形按照。0,=0,匕<0

分別為下列三種情況一有兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應地，拋物線

>=加+云+<?（°>0）與兀軸分別有兩個公共點、一個公共點和沿有公共點（如圖2.3-2所示），因此，我們

可以分下列三種情況討論對應的一元二次不等式。無2+bx+c>0（<2>0）與江+bx+c<0（a>0）的解.

圖2.3-2

⑴當△>（3時，拋物線y=ax2+bx+c（a>0）與x軸有兩個公共點（尤“O）和（x2,。），方程辦。+6x+c=0有

兩個不相等的實數(shù)根玉和々（西<%），由圖2.3-2①可知

不等式加+6x+c>0的解為x<X[,或x>%；

不等式改2+/7%+cv0的解為苔<x<X2.

(2)當A=0時，拋物線丁=q2+法+以。>0)與無軸有且僅有一個公共點，方程雙2+法+。=0有兩個相

等的實數(shù)根玉=々=-2，由圖2.3—2②可知

勺22a

h

不等式蘇+bx+c>0的解為無力：

2a

不等式ax2+6尤+c<0無解.

(3)如果△<(),拋物線〉=依2+桁+(?(。>0)與工軸沒有公共點，方程辦2+bx+c=0沒有實數(shù)根，由圖

2.3-2③可知

不等式or?+&t+c>0的解為一切實數(shù)；

不等式or?+&t+c<0無解.

今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二

次項系數(shù)小于雪，則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面

的結(jié)論去解不等式.

【題型歸納目錄】

題型一：一元二次不等式的解法

題型二：二元二次方程組的解法

【典例例題】

題型一：一元二次不等式的解法

例1.解不等式：-2尤2+x+lcO

例2.解不等式：X2-x-6<0;

例3.求下列不等式的解集.

(l)x2—5x+6<0；

(2)—2尤2+5元一340;

(3)——6a+9>0;

(4)/+x+l>0.

變式1.求不等式的解集:

(l)-x2+4x+5<0;

(2)2X2-5X+2<0；

題型二：二元二次方程組的解法

x2-2xy+y2=1

例4.（2023?上海靜安?八年級上海市回民中學?？计谥校┙夥匠探M:

(尤+2y)~-3(x+2y)=10

x-2y=5①

例5.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考三模）解方程組:

x2+2xy-3/=0②

2-9/=0①

例6.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）解方程組：%

X2-2xy+y2=4②

X2+6xy+9y2=

變式2.（2023?上海虹口?校聯(lián)考二模）解方程組:

x-3y=8

2x-y=6①

變式3.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）解方程組:

X2-xy-2y2二0②

4x2-y2=15

變式4.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模懈方程組:

2x-y=5

x+2y=5

變式5.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）解方程組:

x2-2xy+y2=4

x—2y—l=0

變式6.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）解方程組:

x2+2xy+V=4

【過關測試】

一、單選題

f3x+y=0

1.（2023?八年級單元測試）方程組22⑺的解是（）

[x+y=10

|玉=1J玉=3fx2=-3

.bl=31%=-3.1

[石=3（x2=-31石=1J%2=—1

*bi=1*1%=-3[%=3

\x+y=2

2.（2023?上海?八年級期中）方程組.2。解的情況是（）

-x+y=3

A.有兩組不同的實數(shù)解B.有兩組相同的實數(shù)解

C.沒有實數(shù)解D.不能確定

3.（2023?浙江?九年級自主招生）若實數(shù)x,y滿足「z+'z+孫=]貝1J無的+的值是（）

x+y—xy=3

A.22022+1B.22022-lC.-22022+lD.-22022-1

4.（2023?福建泉州九年級泉州五中?？奸_學考試）已知x,y為實數(shù)，且滿足f—孫+4丁=4,記

〃=—+孫+4）?的最大值為加，最小值為M，則M+根=（）.

A,竺D64136c31

cED.—

3155

a2--—=3,

21，則近二廿的值為（）

5.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模）已知點在經(jīng)過原點的一條直線/上，且<

4b2」=3ab

a

38

A.—B.—C.0D.—1

23

f_2

JC2—JCV——9

6.（2023?上海?九年級專題練習）已知x>0,y>0且-3,那么（x+y）一的值為（）

y2+xy=l

A.2B.3C.4D.5

7.（2023?全國?九年級競賽）方程Y+2孫+3必=34的整數(shù)解（尤,y）的組數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

8.（2023?上海?九年級專題練習）二元二次方程組/?*?一=°'的解的個數(shù)是（）

[x2+4y=-2.

A.1B.2C.3D.4

fJI2—v?=777

9.（2023?上海?九年級專題練習）方程組2八有四組不同的實數(shù)解，則m的取值范圍是（）

[y-x=0

1111

A.m<——B.m>——C.——<m>QD.m>——,且機

4444

x2+2xy+y2=9

10.（2023?上海?九年級專題練習）下列各對未知數(shù)的值中，是方程組/、2/、的解的是（）

（x-j）-3（x-j）+2=0

51

fx=2X=2[x=-lX=~2

A.\B.C.\D.\

V=1y」I——

I2I2

二、填空題

11.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）方程組1-3?+2y=°的解是_____.

[元+y=3

12.（2023?全國?九年級專題練習）寫出一個由二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組

[x=3（x=—3

___________，使它的解是〃和

[y=4[y=-4

13.（2023?上海?九年級上外附中?？茧A段練習）已知關于x,y的方程組，苫?二“有兩組不同的實數(shù)解，

[x-y-4=0

則n的范圍為?

2

[AX_9V2=15

14.（2023?全國?九年級專題練習）方程組.；「的解是______________________.

（2x-3y=j

15.（2023?全國?九年級專題練習）把二次方程6x+9-丁=。轉(zhuǎn)化成兩個一次方程，那么這兩個一次方程

是和.

三、解答題

fx2—2y2—y=—10

16.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）解方程組：:有

I尤_y=l②

X2-4孫+4/=]

17.（2023?全國?九年級專題練習）解方程組:

2x+y=3

X2+2xy+>2=4

18.（2023?全國?九年級專題練習）解方程組:

x-y+2=0

19.（2023?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期中）解新類型的方程（組）時，可以通過去分母、換元等方法轉(zhuǎn)化求解.

（1）請按要求填寫下表.

X2-1

原方程x4—x2-2=0

X

①轉(zhuǎn)化f_x-2=0設爐=/,則一

②求解%]—2,兀2=-1t=_

③檢驗-1,2都是原方程的解

④結(jié)論%—2,兀？=-1-

[x2+2xy+y2=16

(2)解方程組：＜.；

I⑵=3

2川x+"5②y=時3①,采用了一種“整體代換”

20.(2023?全國?九年級專題練習)閱讀材料：小強同學在解方程組4

解法:

將方程②變形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5…③，把方程①代入③得：2x3+y=5即y=-1,把

x=4

y=T代入方程①，得X=