北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

一.三角函數(shù)

角度與弧度制

一個(gè)圓，弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)所對(duì)應(yīng)的角度是1弧度.弧度和角度的換算關(guān)系:

弧度*180/(2*兀)=角度

誘導(dǎo)公式

常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：

公式一：

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin(2k;i+a)=sina

cos(2k7i+a)=cosa

tan(2k兀+a)=tana

cot(2k?i+a)=cota

公式二：

設(shè)a為任意角，兀+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(71+a)=-sina

cos(兀+a)=-cosa

tan(兀+a)=tana

cot(兀+a)=cota

公式三：

任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(—a)=-sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=-tana

cot(—a)=-cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到7i-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(7i—a)=sina

cos(K—a)=-cosa

tan(?！猘)=-tana

cot(兀-a)=-cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2兀-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2K—a)=—sin.a

cos(2K—a)=cosa

tan(2兀-a)=-tana

cot(2兀-a)=-cota

公式六：

兀/2±a及37i/2±a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin（兀/2+a）==cosa

cos（兀/2+a）=-sina

tan（兀/2+a）==-cota

cot（兀/2+a）==-tana

sin（.7T/2—a）-=cosa

cos（K/2—a）二二sina

tan（兀/2—a）==cota

cot（兀/2-a）=tana

sin（37t/2+a）=-cosa

cos（3兀/2+。）=sina

tan（3兀/2+。）=-cota

cot（37t/2+a）—■tana

sin（3K/2—a）=-cosa

cos（3K/2—a）二-sina

tan（3K/2—a）-cotci

cot（3K/2—a）=tana

（以上k￡Z）

函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限

正弦++————

余弦4-————+

正切4-——4-——

余切4-——4-——

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.正弦函數(shù)

正弦函數(shù)的性質(zhì)：

解析式：y=sinx

正弦函數(shù)的圖像

波形圖像(由單位圓投影到坐標(biāo)系得出)

值域：［-1,1］最值：①最大值：當(dāng)x=(?i/2)+2k兀時(shí)，y(max)=l②最小值：當(dāng)x=-(7t/2)+2k7r時(shí),y(min)=-l

零值點(diǎn)：(版,0)

對(duì)稱性：1）對(duì)稱軸：關(guān)于直線x=（?i/2）+k兀對(duì)稱2）中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)（kn,。）對(duì)稱周期：2兀

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在［-（兀/2）+21＜%,（兀/2）+21?］上是增函數(shù)，在［（無(wú)/2）+21＜%,（3兀/2）+21?］上是減函數(shù)

2余弦函數(shù)

余弦函數(shù)的性質(zhì)：

余弦函數(shù)圖像：

波形圖像

定義域：R

值域：［-1,1］

最值：

1）當(dāng)x=2k?t時(shí),y（max）=l

2）當(dāng)x=2k%+元時(shí),y（min）=-l

零值點(diǎn)：（兀/2+尿,0）

對(duì)稱性：

1）對(duì)稱軸：關(guān)于直線x=k?t對(duì)稱

2）中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)（兀/2+1＜私0）對(duì)稱

周期：2兀

奇偶性：偶函數(shù)

單調(diào)性：

在兀,2k?t］上是增函數(shù)

在［2E,21＜兀+兀］上是減函數(shù)

3正切函數(shù)

正切函數(shù)的性質(zhì)：

正切函數(shù)的圖像：

\f\Vr

定義域：{x|x/（K/2）+kn,kGZ}

值域：R

最值：無(wú)最大值與最小值

零值點(diǎn)：（k私0）

對(duì)稱性：

軸對(duì)稱：無(wú)對(duì)稱軸

中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)（k%,。）對(duì)稱

周期：兀

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在（-兀/2+1＜私71/2+1?）上都是增函數(shù)

二.平面向量

向量有關(guān)概念:

(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不

能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),則把向量按向量=(-

1,3)平移后得到的向量是(答：(3,0))

(2)零向量：長(zhǎng)度為。的向量叫零向量，記作：0,注意零向量的方向是任意的；

(3)單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量；

(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

(5)平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作：aMb,規(guī)定零向量

和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與兩條直

線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平

行向量無(wú)傳遞性?。虎苋c(diǎn)共線；

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。

坐標(biāo)表示法

平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底。由

平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成a,由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)

叫做向量的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。

在數(shù)學(xué)中，我們通常用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向.在平面內(nèi)，從任一點(diǎn)出發(fā)的所有射線，可以分

別用來(lái)表示平面內(nèi)的各個(gè)方向

AB

向量的表示向量的表示，殖向量常用一條有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大

小，箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)

和終點(diǎn)字母表示.

向量a的大小，也就是向量a的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|a|長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0.長(zhǎng)度等于1

個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，記作a〃b〃c.。向量長(zhǎng)度為零，是起

點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0與任一向量平行.

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與b相等，記作a=b.零向量與零向量相等.任意兩個(gè)

相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

向量的運(yùn)算

1、向量的加法：

AB+BC=AC

設(shè)2=(x,y)b=(x',y')

則a+b=(x+x',y+y')

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量加法的性質(zhì)：

交換律：

a+b=b+a

結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的減法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y!)

若a//b

則a=eb

則xy'-xy=0

若a垂直b

則ab=O

貝I]xx'+yy'=O

3、向量的乘法

設(shè)2=(x,y)b=(x',y')

a-b(點(diǎn)積)=x-x'+y-y'=|a|-|b|*cos夾角

平面向量的應(yīng)用

步驟L

在銳角AABC中，設(shè)三邊為a,b,c。作CHJ_AB垂足為點(diǎn)D

CH=asinB

CH=b-sinA

a-sinB=bsinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在AABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交。O于D.

連接DA.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，所以/DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，所以/D等于/C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

正弦定理的變形公式

⑴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;

C

a

aA2=bA2+cA2-2*b*c*CosA

bA2=aA2+cA2-2*a*c*CosB

cA2=aA2+bA2-2*a*b*CosC

CosC=(aA2+bA2-cA2)/2ab

CosB=(aA2+cA2-bA2)/2ac

CosA=(cA2+bA2-aA2)/2bc

證明：

??,如圖,有a+b=c

.*.c-c=(a+b)-(a+b)

cA2=a-a+2a-b+b-bcA2=aA2+bA2+2|a||b|Cos(兀-0)

整理得到c八2二a八2+b八2-2|a||b|Cos0(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開(kāi)，得c八2=a八2+b八2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(cA2-bA2-aA2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

三.三角恒等變換

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：

平方關(guān)系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+l=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

積的關(guān)系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

倒數(shù)關(guān)系：

tanacota=l

sinacsca=l

cosaseca=l

兩角和差公式

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin(a+P)=sinacosP+c-osasinp

sin(a—P)=sinacosP—cosasinp

cos(a+0)=cosacosp-sinasinp

cos(a—p)=cosacosp+sinasinp

tana+tanp

tan(a+p)=-------------------

1—tanatanp

tana-tan|3

tan(a—p)=-------------------

1+tana-tanp

倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕縮角公式)

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(.a)—sinA2(a)=2cosA2(a)—1=1—2sinA2(a)

2tana

tan2a=----------------

1—tanA2(a)

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降塞擴(kuò)角公式)

1—cosa

sinA2(a/2)=----------------

2

1+cosa

cosA2(a/2)=----------------

2

1—cosa

tanA2(a/2)=----------------

1+cosa

萬(wàn)能公式

5.萬(wàn)能公式

2tan(a/2)

sina=-------------------

l+tanA2(a/2)

1—tanA2(a/2)

cosa=-------------------

1+tanA2(a/2)

2tan(a/2)

tana=-------------------

1—tanA2(a/2)

四.復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的相等

a+bi=c+di<=>a=c.b=d.(G7?)

復(fù)數(shù)z=a+Z?i的模(或絕對(duì)值)

Iz\=\a+bi\=-Ja2+b2.

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(a+bi)+(c+di)=(tz+c)+(Z?+d)i;

(2)(Q+4)一(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

/八/7.、/ac+bdbe-ad.八、

(4)(a+bi)+(c+di)=-----+—：------zz(c+dzw0).

c+dc+d

復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律

對(duì)于任何4/2*3￡C,有

交換律：Z]?Z2=Z2?4.

結(jié)合律：((

4?Z2)?Z3=4?Z2?Z3).

分酉己律：Zj?(z2+z3)=Zj-Z2+Zj-z3?

復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式

-石

d=[Z]—z21=y+(%-%)2(Z]=X]+yxi,z2=x2+y2i).

向量的垂直

非零復(fù)數(shù)馬=。+方，Z2=c+dz?對(duì)應(yīng)的向量分別是OZ1,OZ2,貝。

，的實(shí)部為零o三為純虛數(shù)o|『=|22

OZ｝QZ,o￡?Z24+Z2z,|+1z21

zi一_

22為非零實(shí)數(shù)).

o|4121=|Z]/+|Z?|o|Zj+z21=|Z1121oac+bd=0o4=Aiz2(X

實(shí)系數(shù)一元二次方程的解

實(shí)系數(shù)一元二次方程依2+bx+c=0,

①若A=〃-4ac>0,則無(wú)i，=-"揚(yáng)-4竺;

’2a

A

②若A=Z?2-4ac=0,則％=%=----；

2a

③若A=/—4ac<0,它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軌復(fù)數(shù)根

2a

五.立體幾何初步

1、常見(jiàn)幾何體的面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.

圓柱的側(cè)面積S惻=2?？诒砻娣eS=27rr(r+1).

圓錐的側(cè)面積S惻=7irl,表面積S=7tr(r+1).

圓臺(tái)的側(cè)面積S硼』(r'+r)l,表面積S=7t(r-2+r2+r'l+rl).

球的表面積S=4兀J3

其中r',r分別為上、下底面半徑,1為母線長(zhǎng),R為球的半徑.

2、常見(jiàn)幾何體的體積

柱體的體積V=Sh;

錐體的體積V=3Sh;

1

臺(tái)體的體積v=3(S'+',-+S)h;

4

球的體積v=，R3.

其中S',S分別為上、下底面面積,h為高,R為球的半徑.

3、平面的基本事實(shí)

基本事實(shí)1:過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.

4、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(拄面吉線|相交宜線:在同一平面內(nèi).有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

1都直綠在所平面內(nèi).沒(méi)有會(huì)點(diǎn)

(異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi).沒(méi)有公共點(diǎn)

2.空間中直線與平面的位置關(guān)系

(1)直線在平面內(nèi)一一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)直線與平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).

當(dāng)直