黑龍江省齊齊哈爾市桃李高級中學(xué)有限公司2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

桃李高中2024~2025學(xué)年上學(xué)期開學(xué)驗收高二數(shù)學(xué)命題人：高二數(shù)學(xué)組分值：150分時間：2小時一、單選題（每題5分，40分）1.甲、乙、丙人投籃，投進(jìn)的概率分別為，，，現(xiàn)人各投籃次，是否投進(jìn)互不影響，則人都投進(jìn)的概率為．A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：利用相互獨立事件的概率乘法公式即可.詳解：利用相互獨立事件的概率乘法公式.3人都投進(jìn)的概率為.故選：A.點睛：本題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.青島二中戲劇節(jié)中，6個MT除人文MT有兩個節(jié)目參加決賽外，其他MT各有一個節(jié)目參加決賽，一共7個節(jié)目，在決賽中，要從這7支隊伍中隨機(jī)抽取兩支隊伍比賽，則人文MT兩支隊伍不同時被抽到的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】從這7支隊伍中隨機(jī)抽取兩支隊伍比賽，總共有種可能，人文兩支隊伍同時被抽到的共有2種情況，利用正難則反法，求出即可．【詳解】解：從這7支隊伍中隨機(jī)抽取兩支隊伍比賽，總共有種可能，人文兩支隊伍同時被抽到的共有2種情況，所以人文兩支隊伍不同時被抽到的概率為，故選：．【點睛】考查古典概型概率的應(yīng)用，本題還用了對立事件求概率的方法，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位線做出異面直線所成角，然后利用余弦定理計算即可.【詳解】如圖所示:連接A1C,交AC1于D,取BC的中點E,連接AE,DE,則DE//A1B,∴為異面直線A1B和AC1所成的角或其補(bǔ)角.由題意，可設(shè)該正三棱柱的棱長為2，易得,則AE=,∴,∴異面直線A1B和AC1所成的角的余弦值為，故選：B.5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，求出復(fù)數(shù)z，可求.【詳解】由題意得，所以，所以，故，所以.故選：B.6.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法不正確的是（）A.若，則B.若，，，則有兩解C.若為鈍角三角形，則D.若，，則ΔABC面積的最大值為【答案】C【解析】【分析】A.根據(jù)，得到，再由正弦定理求解判斷；B.由判斷；C.由為鈍角三角形且C為鈍角，利用余弦定理求解判斷；D.由余弦定理與基本不等式結(jié)合三角形面積公式求解判斷.【詳解】A.因為，所以，由正弦定理，得到，故正確；B.，則，所以有兩解，故正確；C.為鈍角三角形且C為鈍角，則，則，故錯誤；D.由余弦定理與基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則面積的最大值為，故正確；故選：C7.在ΔABC中，，，分別是角，，的對邊，且，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化簡條件式，結(jié)合余弦定理即可求得角A．【詳解】∵∴由正弦定理可得，即.∴由余弦定理可得，整理可得.∴∵∴故選C.【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，為直線，為平面，下列結(jié)論正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線，線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題可得，對于選項A，由直線與平面垂直的判定可知，直線必須垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，直線才能垂直平面，所以錯誤；對于選項B，由垂直于同一平面的兩條直線平行可知，選項B正確；對于選項C，時或，所以錯誤；.當(dāng)，有或或，所以錯誤.故選：B.二、多選題（每題6分，18分）9.在等腰直角中，，是的中點，若點為線段的三等分點，則的值可能為（）A.1 B.2 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，分類討論可能的情況，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式求解答案.【詳解】在等腰直角中，，則，如下圖所示，以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，①為線段靠近的三等分點，則，此時，，則；②為線段靠近的三等分點，則，此時，，則.所以的值可能為2或.故選：BD10.高一某次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生原始成績最高分為100分，最低分為20分，現(xiàn)將每個學(xué)生的原始分?jǐn)?shù)按（a，b為常數(shù)，）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換后，全班最高分為100分，最低分為60分，則下列結(jié)論正確的是（）A.轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)的個數(shù)不變B.轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是原始分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的0.5倍C.轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的平均數(shù)一定大于原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)D.轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的中位數(shù)一定大于原始分?jǐn)?shù)的中位數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，列出方程，求出得值，由此分析選項是否正確即可.【詳解】根據(jù)題意，由于，由，解得即轉(zhuǎn)換規(guī)則為，由此分析選項：對于,轉(zhuǎn)化后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)的個數(shù)不變，正確；對于，由于轉(zhuǎn)化規(guī)則為，轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的方差是原始分?jǐn)?shù)方差的倍，故轉(zhuǎn)化后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是原始分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的倍，正確；對于,設(shè)原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，必有，則轉(zhuǎn)化后的平均數(shù)為，所以，正確；對于,反例：當(dāng)中位數(shù)成績?yōu)闀r，其轉(zhuǎn)化后的成績的中位數(shù)也為錯誤.故選：11.已知是兩個隨機(jī)事件，，下列命題正確的是（）A.若相互獨立， B.若事件，則C.若是對立事件，則 D.若是互斥事件，則【答案】ABD【解析】【分析】利用條件概率、相互獨立事件判斷A；利用條件概率的定義判斷B；利用條件概率及對立、互斥事件的意義判斷C，D作答.【詳解】對于A，隨機(jī)事件相互獨立，則，，A正確；對于B，事件，，，B正確；對于C，因是對立事件，則，，C不正確；對于D，因是互斥事件，則，，D正確.故選：ABD三、填空題（每題5分，15分）12.__________________．【答案】【解析】【分析】分母完全平方展開，利用，在利用分母實數(shù)化處理，即可求出答案.【詳解】．故答案為：.13.棱長都是3的三棱錐的高等于______.【答案】【解析】【分析】頂點P在底面上的射影為，在直角三角形中，利用勾股定理求棱錐的高.【詳解】如圖，三棱錐棱長都是3，

設(shè)頂點P在底面上的射影為，則是等邊的中心，為外接圓半徑，，則在直角三角形中，，所以三棱錐的高，故答案為：14.平面向量與的夾角為60°，，，則等于______.【答案】【解析】【分析】先求向量，再根據(jù)向量模的運算求.【詳解】因為，所以，又因為與的夾角為，，所以；所以.故答案為：.四、解答題15.用平方米的材料制成一個有蓋的圓錐形容器，如果在制作過程中材料無損耗，且材料的厚度忽略不計，底面半徑長為，圓錐母線的長為．（1）建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）圓錐的軸截面為正三角形，求所制作的圓錐形容器容積多少立方米【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可知，制作該容器需要的鐵皮面積，即圓錐的表面積，得到方程，分離出即可，利用求出定義域；（2）利用母線與底面所成的角大小為，結(jié)合（1）所得，求出底面半徑和圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出所制作的圓錐形容器容積即可．【小問1詳解】根據(jù)題意，因為圓錐的表面積，，，，解得，即，.【小問2詳解】圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)圓錐高為h，則，，，由（1）知，即，解得，．16.已知向量滿足．（1）若，求與的夾角；（2）若與共線，求的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．【小問1詳解】，則，設(shè)與的夾角為，,，因為，，則，解得，故；【小問2詳解】與共線，，則，由，故，解得，故或．17.在中，已知內(nèi)角成等差數(shù)列，邊.設(shè)內(nèi)角，的周長為．（1）求函數(shù)y=f（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項的性質(zhì)求得的大小，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定義域.（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，化簡，根據(jù)的范圍求得的范圍，由此求得的最大值.【小問1詳解】因為成等差數(shù)列，所以，又，所以.由，得，即.由正弦定理得：，所以，所以.【小問2詳解】.因，所以，所以當(dāng)時，取得最大值為.18.某高校為了解即將畢業(yè)男大學(xué)生的身體狀況檢測了960名男大學(xué)生的體重（單位：），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示.圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為.（1）求這960名男大學(xué)生中，體重小于的男大學(xué)生的人數(shù)；（2）從體重在范圍的男大學(xué)生中用分層抽樣的方法選取6名，再從這6名男大學(xué)生中隨機(jī)選取2名，記“至少有一名男大學(xué)生體重大于”為事件，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）360人（2）【解析】【分析】（1）由所有頻率之和為1求得前3個小組的頻率，然后可得體重小于的頻率，從而得人數(shù)；（2）由頻率分布直方圖，求出體重在與的各抽取的人數(shù)，把6人編號，用列舉法列舉出任取2人的所有基本事件，同時得出事件包含的基本事件的個數(shù)，求得概率．【詳解】解：（1）設(shè)這個小組對應(yīng)的頻率為.∵對應(yīng)的頻率為，∴.解得.∴對應(yīng)的頻率為0.375，從而所求人數(shù)為（人）.（2）∵男大學(xué)生體重在與的頻率之比為，∴這6名男大學(xué)生體重在與的人數(shù)分別為4，2.分別記他們，，，，，，從中隨機(jī)選取2名的所有情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，其中事件包含9個基本事件，∴.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查古典概型．用列舉法寫出所有基本事件是解決古典概型的常用方法．19.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a正方形，側(cè)棱AA1的長為b，∠A1AB=∠A1AD=120°.（1）求AC1的長;（2）證明:AC1⊥BD．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)向量的加法把所求問題分解，再平方計算出模長的平方，進(jìn)而求出結(jié)論；（Ⅱ）以，，為基底表示，，通過向量數(shù)量積的運算證明⊥，可證得AC1⊥