北師大版八年級上冊數(shù)學(xué) 1.1 探索勾股定理 同步測試（附答案解析）

北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)1.1探索勾股定理同步測試班級：姓名：一、選擇題1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且BD⊥AC，F(xiàn)在BC上，E為AF的中點(diǎn)，連接DE，若BF=DE，AC=23DE，A．36 B．43 C．422．如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點(diǎn)A處繞著點(diǎn)O經(jīng)過最低點(diǎn)B，最終蕩到最高點(diǎn)C處，若∠AOC=90°，點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為（）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米3．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．94．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把長方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，則AF的長為（）A．254cm B．152cm C．7cm D．5．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以A，C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，與AC，BC分別交于D，E，連接AE，若AB=5，AC=13，則A．16 B．17 C．18 D．196．如圖，長方形紙片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如圖的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE長為（）A．4.8 B．5 C．5.8 D．67．如圖，在直線l上有正方形a，b，c，若a，c的面積分別為4和16，則b的面積為（）A．24 B．20 C．12 D．228．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=213A．12 B．23 C．329．如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2A．9 B．35 C．45 D．無法計(jì)算10．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且DE=DA，若AB=15，BC=20，則EC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題11．如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度相等，滑梯的高度BC=6m，BE=2m.則滑道AC的長度為m.12．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則BD的長是.13．如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC=25cm，底邊BC的長48cm，那么衣架的高AD=cm.14．如圖，在長方形紙片ABCD中，AD=8，AB=10，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，將△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于點(diǎn)G，ED交AB于點(diǎn)F，且BG=EG，則CM的長度是.15．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A，C為圓心，大于12AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，與AC，BC分別交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，連結(jié)AE，當(dāng)AC=13，AB=5時(shí)，則△ABE的周長是三、解答題16．如圖，某校攀巖墻AB的頂部A處安裝了一根安全繩AC，讓它垂到地面時(shí)比墻高多出了2米，教練把繩子的下端C拉開8米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（即BC=8米），AB⊥BC，求攀巖墻AB的高度.17．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，求BE的長.18．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于1219．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，已知BC=10，AD=12，求AC的長.四、綜合題20．如圖，點(diǎn)A在直線l上，在直線l右側(cè)做等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l軸對稱，連接CD交直線l于點(diǎn)E，連接BE.（1）求證：∠ADC=∠ACD；（2）求證：∠BEC=α；（3）當(dāng)α=90°時(shí)，求證：ED21．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，作DE⊥AC于點(diǎn)E.（1）若AD=CD，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=3，AC=5，求△ACD的面積.22．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=α，點(diǎn)D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，直線BD，CE交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)α=20°時(shí)，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)0°<α<45°時(shí)，用等式表示線段FC，EF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)P是線段AB，CD的中點(diǎn)，求證：AC∥BD；（2）【變式遷移】

如圖2，在等腰△ABC中，BD是底邊AC上的高線，點(diǎn)E為△ABD內(nèi)一點(diǎn)，連接ED，延長ED到點(diǎn)F，使ED=FD，連接AF，若BE⊥AF，若AB=10，EB=6，求AF的長；（3）【拓展創(chuàng)新】

如圖3，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，點(diǎn)D重合），連接CE，過點(diǎn)A作AF⊥CE，連接FD，若AF=8，CF=3，請直接寫出FD的長.

1．【答案】A【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB=90°，又BD=BD，∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD=CD，AB=BC，∵E為AF的中點(diǎn)，∴CF=2DE，設(shè)DE=a，則AC=23a，AD=CD=3∴AB=BC=3a，在Rt△ABD中，(3a)2解得a=6∴AB=36故答案為：A.【分析】根據(jù)角平分線的概念可得∠ABD=∠CBD，根據(jù)垂直的概念可得∠ADB=∠CDB=90°，利用ASA證明△ABD≌△CBD，得到AD=CD，AB=BC，由中點(diǎn)的概念可得CF=2DE，設(shè)DE=a，則AC=23a、AD=CD=32．【答案】B【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COG=∠OAF，在△AOF與△OCG中，∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COG∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG=AF=BD=4米，設(shè)AO=x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，解得x=8.5.則CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.故答案為：B.【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF，由題意可得AO=OC，利用AAS證明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，設(shè)AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根據(jù)CE=GB=OB-OG進(jìn)行計(jì)算.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝12在Rt△ABD中，AD＝AB2?B故答案為：C.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝DC＝124．【答案】A【解析】【解答】解：∵把長方形紙片沿直線AC折疊，∴AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，∵∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，∠CFE＝∠AFD，∴△CEF≌△ADF（AAS）∴CF＝AF，∵AF2＝DF2+AD2，∴AF2＝（8-AF）2+36，∴AF＝254故答案為：A.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，利用AAS證明△CEF≌△ADF，得到CF＝AF，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.5．【答案】B【解析】【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，∴EA=EC，在Rt△ABC中，BC=A∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17.故答案為：B.【分析】由作法得ED垂直平分AC，則EA=EC，利用勾股定理可得BC的值，則可將△ABE的周長轉(zhuǎn)化為AB+BC，據(jù)此計(jì)算.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

由折疊得BE=DE，

設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴42+（10-x）2=x2，

解得x=5.8.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=90°，由折疊得BE=DE，設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC即Sb故答案為：B.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=CD，∠ACD=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，從而用AAS判斷出△ACB≌△CDE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2最后結(jié)合正方形的面積計(jì)算方法即可得出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=A即底邊上的高為23故答案為：B．

【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，先求出BD=CD=19．【答案】C【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，

在Rt△BDM和Rt△CDM中，

BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，

∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2

又∵AB=6，AC=9，

∴MC2-MB2＝45．

故答案為：C．【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中分別表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別表示出BM2和MC2，然后等量代換并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴A∵BC=20，AB=15，∴AC=25，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°．∵S∴1∴BD=12，在Rt△ABD中，AD=A∵DE=DA，∴AE=2AD=18．∴EC=AC?AE=25?18=7．故答案為：B.

【分析】根據(jù)S△ABC=S11．【答案】10【解析】【解答】解：設(shè)AC=AE=xm，∵BE=2m，∴AB=AE?BE=(x?2)m，∵BC=6m，∴在Rt△ABC中，AC即x2=(x?2)故答案為：10.【分析】設(shè)AC=AE=xm，則AB=(x-2)m，接下來在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算即可.12．【答案】3【解析】【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，∴BC=A∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴CD=DE，∵BD=BD，∠C=∠DEB=90°，∴Rt△DCB≌Rt△DEB(HL)，∴BC=BE=3，∴AE=AB?BE=5?3=2，設(shè)CD=DE=x，則AD=4?x，∵∠DEA=90°，∴AE∴22解得x=3在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∴BD∴BD=3故答案為：35【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，利用HL證明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，則AE=AB-BE=2，設(shè)CD=DE=x，則AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.13．【答案】7【解析】【解答】解：∵AB=AC=25cm，AD⊥BC，BC=48cm，∴BD=CD=12BC=24cm在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=A故答案為：7.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=1214．【答案】20【解析】【解答】解：設(shè)CM=x，則BM=8?x，由題意得：DE=DC=AB=10，∵∠E=∠B=90°，∠FGE=∠MGB，BG=EG，∴△GMB?△GFE（AAS），∴MG=GF∵BG=EG∴MG+GE=GF+BG∴EM=BF∴ME=BF=CM=x，EF=BM=8?x，在Rt△ADF中，AD即：82解得：x=20故答案為：203【分析】設(shè)CM=x，則BM=8-x，由題意得DE=DC=AB=10，利用AAS證明△GMB≌△GFE，得到MG=GF，結(jié)合BG=EG以及線段的和差關(guān)系可得EM=BF，則ME=BF=CM=x，EF=BM=8-x，然后在Rt△ADF中，由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.15．【答案】17【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5，∴BC=A由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17.故答案為：17.【分析】利用勾股定理可求出BC的值，由作法得MN垂直平分AC，則EA=EC，進(jìn)而可將△ABE的周長轉(zhuǎn)化為AB+BC，據(jù)此計(jì)算.16．【答案】解：設(shè)攀巖墻的高AB為x米，則繩子AC的長為(x+2)米，在Rt△ABC中，BC=8米，AB∴x2解得x=15，∴攀巖墻AB的高為15米.【解析】【分析】設(shè)攀巖墻的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程，求解即可.17．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝AC∵DE垂直平分線AB，∴AE＝BE，設(shè)BE＝AE＝x，則CE＝12-x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2＝AC2+CE2，即x2＝92+（12-x）2，解得x＝758即BE的長為758【解析】【分析】由勾股定理求出AB=15，由DE垂直平分AB可得AE=BE，設(shè)BE＝AE＝x，則CE＝12-x，在Rt△ACE中，由勾股定理建立關(guān)于x方程并解之即可.

18．【答案】解：如圖所示：連接EC，由作圖方法可得：MN垂直平分AC，則AE=EC，∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∴BD=DC=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD=A設(shè)DE=x，則AE=EC=4?x，在Rt△EDC中，DE即x2+32=∴AE=AD?DE=4?7故答案為：258【解析】【分析】設(shè)DE=x，則AE=EC=4?x，利用勾股定理可得x2+319．【答案】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=1∵AD=12，∴AC=A故AC的長為13.【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得AD⊥BC，BD=CD=5，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的長即可.20．【答案】（1）證明：∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l軸對稱∴AD=AB，∵AB=AC，∴AD=AC，∴∠ADC=∠ACD（2）證明：如圖，設(shè)DC與AB交于點(diǎn)F∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l軸對稱∴AD=AB，DE=BE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE(SSS)，∴∠ADE=∠ABE，∵∠ADC=∠ACD；∴∠ABE=∠ACD，∵∠DFB=∠AFC（對頂角相等）；∴∠BEC=∠BAC=α；（3）證明：當(dāng)α=90°時(shí)，在△BEC中，由勾股定理可知：EB∵△ADE≌△ABE∴ED=BE.∴ED在△ABC中，由勾股定理可知：AB又∵AB=AC，故2AB∴ED【解析】【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AD=AB，結(jié)合AB=AC可得AC=AD，據(jù)此證明；

（2）設(shè)DC與AB交于點(diǎn)F，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AD=AB，DE=BE，利用SSS證明△ADE≌△ABE，得到∠ADE=∠ABE，由（1）可知∠ADC=∠ACD，則∠ABE=∠ACD，根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得∠DFB=∠AFC，結(jié)合內(nèi)角和定理可得∠BEC=∠BAC，據(jù)此解答；

（3）當(dāng)α=90°時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)可得ED=BE，在Rt△BEC、Rt△ABC中，結(jié)合勾股定理證明即可.21．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=CD，∴∠CAD=∠C，∴∠BAD=∠CAD=∠C，∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=3∠C=90°，∴∠C=30°；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC，∴DB=DE，∵AD=AD，Rt△ABD≌Rt△AED(∴AE=AB=3，CE=AC?AE=5?3=2，∵AB=3，AC=5，∠B=90°，∴BC=A設(shè)BD=DE=x，∴CD=4?x，∵DE∴x解得x=3∴DE=3∴△ACD的面積為：12【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠C，則∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度數(shù)；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DB=DE，利用HL證明△ABD≌△AED，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，設(shè)BD=DE=x，則CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，接下來根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.22．【答案】（1）解：延長BD，關(guān)于BD作A點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，連接CE和BD延長線交于F點(diǎn)，如下圖，∠BFC=45°（2）解：猜想線段FC，EF，BC之間的數(shù)量關(guān)系是：EF證明：連接AF，BE．∵點(diǎn)E和點(diǎn)A關(guān)于BD對稱，∴AF=EF，AB=BE，∠AFB=∠EFB，∠ABF=∠EBF=α，∵∠ABC=90°，∴∠EBC=90°?2α，∵AB=BC，AB=BE，∴BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=45°+α，∵∠BEC=∠FBE+∠BFE，∠FBE=α，∴∠BFE=45°，∴∠AFE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=2在Rt△AFC中，由勾股定理得，AF∴EF∴EF【解析】【解答】解：（1）延長BD，關(guān)于BD作A點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，連接CE和BD延長線交于F點(diǎn)，如下圖，連接BE，∵A點(diǎn)、E點(diǎn)關(guān)于BD對稱，∴BF是AE的中垂線，∴AB=BE，∵∠ABD=α，α=20°，∴∠ABD=∠FBE=20°，∴∠AEB=(180°?2×20°)÷2=70°，∵AB=BC，∴BC=BE，∵∠ABC=90°，∴∠EBC=90°?40°=50°，∴∠ECB=(180°?50°)÷2=65°，∴∠FBC=∠FBE+∠EBC=20°+50°=70°，∴∠BFC=180°?∠FBC?∠FCB=180°?70°?65°=45°，∴∠BFC=45°．

【分析】（1）延長BD，關(guān)于BD作A點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，連接CE和BD延長線交于F點(diǎn)，先求出∠FBC=∠FBE+∠E