2024長沙市立信中學年中考二模數(shù)學試卷及答案

模擬試卷（二）參考答案

一、選擇題：本題共10小題，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.-2的絕對值是（）

A.-2B.2C.±2D.

【答案】B

【解析】解：-2的絕對值是2.

故選：B.

根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得答案.

本題主要考查絕對值的定義，規(guī)律總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0

的絕對值是0.

2.如圖是一個由5個相同的正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

A.

izb少

□正面

B由

crR

D.---------

【答案】C

【解析】解：從左邊看有兩列，從左到右第一列是一個正方形，第二列是三個正方形.

故選：B.

找到從幾何體的左邊看所得到的圖形即可.

此題主要考查了組合幾何體的三視圖，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在三視圖中.

3.下列說法錯誤的是（）

A.必然事件發(fā)生的概率是1

B.通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

第1頁，共15頁

D.投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得

【答案】C

【解析】解：人必然事件發(fā)生的概率是1,正確；

8、通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率，正確；

C、概率很小的事件也有可能發(fā)生，故錯誤；

。、投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得，正確，

故選：C.

不確定事件就是隨機事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0并且小于I.

本題考查了概率的意義，概率的意義反映的只是這■事件發(fā)生的可能性的大小，概率取值范圍：OWpWl,

其中必然發(fā)生的事件的概率PQ4)=1;不可能發(fā)生事件的概率PQ4)=0;隨機事件，發(fā)生的概率大于。并

且小于1.事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近于L事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

4.下列運算正確的是()

A.2m+3m=5m2B.m2-m3—m6

C.(m+7)2=m2+49D.(m-3n)(m+3n)=m2—9n2

【答案】D

【解析】解：力、2m+3m=5m,故/不符合題意；

B、m2-m3-m5,故3不符合題意；

C>(m+7)2=m2+14m+49,故C不符合題意；

D、(m—3n)(m+3n)-m2—9n2,故。符合題意；

故選：D.

利用合并同類項的法則，同底數(shù)幕的乘法的法則，完全平方公式，平方差公式對各項進行運算即可.

本題主要考查整式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

5.點P(2,-5)關于原點對稱的點P'的坐標是()

A.(2,5)B.(-5,2)C.(-2,5)D.(5,-2)

【答案】C

【解析】略

6,一把直尺和一塊三角板2BC(其中NB=30°,ZC=90。)擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊

分別交于點。，點E,另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點F,點A,且NCDE=50°,那么NB力F的大小為

()

第2頁，共15頁

A.20°B.40°C.45°D.50°

【答案】A

【解析】解：由圖可得，ZCDE=50°,ZC=9O°,

ZCED=40°,

又???DE//AF,

：.Z.CAF=40°,

^BAC=60°,

.-./.BAF=60°-40°=20°,

故選：A.

先根據(jù)NCDE=40。，得出4CED=40。，再根據(jù)DE//AF,即可得至IJNC力尸=4。。，最后根據(jù)NB4C=6。。，

即可得出NB4F的大小.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，解題時注意：兩直線平行，同位角相等.

7.費爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數(shù)學獎項，每四年評選一次，主要授予年輕的數(shù)學家.下面的數(shù)

據(jù)是部分獲獎者獲獎時的年齡(單位：歲)：29,32,33,35,35,40,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是

()

A.35,35B.34,33C.34,35D.35,34

【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得正確選項.

【解答】

解：???35出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是35,

將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為33,35,故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為螞羅=34.

故選：D.

【點評】

第3頁，共15頁

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，掌握求眾數(shù)和中位數(shù)的方法是解題關鍵.

8.如圖，4B是。。的直徑，C,D是圓上兩點，連接AC,BC,AD,CD.若NC4B=55。，貝比ADC的度數(shù)為()

A.55°B.45°C.35°D.25°

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了圓周角的有關定理，關鍵作好輔助線，屬于基礎題.

構建直角三角形，找到同弧所對的圓周角，推出求出AB的度數(shù)，由圓周角定理即可推出乙4DC

的度數(shù).

【解答】解：???4B是。。的直徑，

.-.Z.ACB=90°,

^CAB=55°,

.-.4B=35。，

???^ADC=NB=35°.

故選C.

9.直1、子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何？設有工

輛車，則根據(jù)題意可列出方程為()

A.3(久+2)=2%—9B.3(%+2)=2x+9

C,3(%-2)=2x-9D.3(x-2)=2x+9

【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示總?cè)藬?shù)是解題關鍵.根據(jù)每三人乘一車，最終

剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，進而表示出總?cè)藬?shù)得出等式即可

【解答】

解：設有x輛車，

則可列方程:3(x-2)=2x+9.

故選D

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10.如圖，在△ABC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在BC,B力上分別截取BE,BD,使BE=BD,分別以D,E為

圓心，以大的長為半徑作弧，兩弧在NCB力內(nèi)交于點F,作射線BF交力C于點G,若4C=9,AG=5,過

點G作GP，AB交2B于點P,貝IJGP的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】解：由作法得8G平分乙48C,

GP1BA,ZC=90°,

GP=GC=AC-AG=9—5=4,

故選：C.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵.也考查了角平分線的性質(zhì).

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.二次根式次=有意義，則x的取值范圍是.

【答案】%>3

【解析】【分析】

本題考查了二次根式有意義的條件.掌握被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關鍵.

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)刀-3>0.即可得出答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，得久一320,

解得，x>3；

故答案為：%>3.

12.分式方程卷=二的解是

2x%+1--------

【答案】%=3

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【解析】【分析】

本題考查了分式方程的解法，一定要注意解分式方程必須檢驗.

按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答.

【解答】

解：尚=w,

2xx+1

3(x+1)=4x,

解得：x-3,

檢驗：當x=3時，2x(久+1)大0,

???比=3是原方程的解，

故答案為：%=3.

13.已知a,b是一元二次方程好一4久+2=0的兩根，則a+b=.

【答案】4

【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得a+b=4.

故答案為：4.

直接利用根與系數(shù)的關系求解.

本題考查了根與系數(shù)的關系：若久平肛是一元二次方程a/+6久+c=0(aK0)的兩根時，xx+x2=—

C

”2=--

14.如圖，。。的半徑。力為13,弦A8的長是24,ONLAB,垂足為N,則ON的長為.

【答案】5

【解析】略

15.為了解某區(qū)九年級3200名學生中觀看2022北京冬奧會開幕式的情況，隨機調(diào)查了其中200名學生,

結(jié)果有150名學生全程觀看了開幕式，請估計該區(qū)全程觀看冬奧會開幕式的九年級學生人數(shù)約為.

【答案】2400人

【解析】解：估計該區(qū)全程觀看冬奧會開幕式的九年級學生人數(shù)約為3200x搭=2400(人)，

故答案為：2400人.

用總?cè)藬?shù)乘以樣本中全程觀看開幕式的人數(shù)所占比例即可.

第6頁，共15頁

本題主要考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對

總體的估計也就越精確.

16.五一小長假期間，某市高速公路收費站出城方向有編號為4B,C,D,E的五個小客車收費出口，假定

各收費出口每20分鐘通過小客車的數(shù)量是不變的.同時開放其中的某兩個收費出口，這兩個出口20分鐘

一共通過的小客車數(shù)量記錄如下：

收費出口編號A,BB,CC,DD,EE,A

通過小客車數(shù)量（量）260330300360240

在4B,C,D,E五個收費出口中，每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的一個收費出口的編號是.

【答案】B

【解析】解：???330—260=70,330-300=30,360-300=60,360-240=120,260-240=20,

■.C>A,B>D,E>C,D>A,B>E,

由B>D和D>力得B>4

由E>C和B>E得B>C,

??.每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的一個收費出口的編號是B,

故答案為：B.

根據(jù)表中數(shù)據(jù)兩兩相比較即可得到結(jié)論，

本題考查了不等式的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關鍵.

三、計算題：本大題共1小題，共6分。

17.計算：（g）T-2sin600+|-73|+（-2022）0.

【答案】解：（i）-1-2s譏60。+|-/3|+（-2022）°

=3—2x+V-3+1

=3-<3+/3+1

=4.

【解析】先計算G）一1、（-2022）°、化簡絕對值，再代入60。的正弦值算乘法，最后加減.

本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕的意義，絕對值的化簡和特殊角的三角函數(shù)值

是解決本題的關鍵.

四、解答題：本題共5小題，共38分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題6分）

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13%一4<2%+1

解不等式組：5%+3

>x

2

3%—4<2x+1@

【答案】解:竿>x②'

Z

解不等式⑦得：x<5,

解不等式領：久>—1，

.??原不等式組的解集為：—l<x<5.

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵.

19.(本小題8分)

如圖，某樓房4B頂部有一根天線BE,為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C,D,A,在

點C處測得天線頂端E的仰角為60。，從點C走到點D,測得CD=5米，從點。測得天線底端B的仰角為45。，

己知力，B,E在同一條垂直于地面的直線上，AB=25米.

(1)求2與C之間的距離；

(2)求天線BE的高度.(參考數(shù)據(jù)：73?1.73,結(jié)果保留整數(shù))

【答案】解：（1）由題意得，在中，AADB=45°,

.-,力D=4B=25米，

???CD=5米，

力C=AD+CD=25+5=30（米），

即A與C之間的距離是30米；

（2）在Rt△4CE中.NACE=60。，AC=30米，

.-,4E=30?tan60°=30門（米），

???AB=25米，

BE=AE-AB=（30<3-25）米，

第8頁，共15頁

V73x1.73,

.-.BE-1.73X30-25=26.9~27米.

即天線BE的高度為27米.

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出力。=4B=25米，則可求出答案；

（2）解直角三角形求出4E=30■tan60°=30，百（米），則可求出BE.

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題

的關鍵.

20.（本小題8分）

為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了“安全知識答題”活動.該校隨機抽取部分學生答題成績進

行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：力（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），。（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的

兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

學生答題成績條形統(tǒng)計圖

（1）這次抽樣調(diào)查共抽取人，條形統(tǒng)計圖中的根=；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；

（3）學校要從答題成績?yōu)?等且表達能力較強的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去做“安全

知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率.

【答案】507

【解析】解：（1）由統(tǒng)計圖可得，這次抽樣調(diào)查共抽?。?6+32%=50（人），m=50x14%=7,

故答案為：50,7.

（2）由（1）知，m=7,等級為4的有：50—16-15-7=12（人），

補充完整的條形統(tǒng)計圖如圖所示，C等所在扇形圓心角的度數(shù)為：360。xII=108。.

第9頁，共15頁

學生答睡成績條形統(tǒng)計圖

(3)樹狀圖如下所示：

開始

由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學生恰好是甲和丁的可能性有2種，

???抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率為2=

1Zo

(1)用8等級的人數(shù)除以其所占百分比，即可求出抽取的總?cè)藬?shù)，用抽取總?cè)藬?shù)乘以成績?yōu)?。等級所占百分?

即可求出山的值；

(2)用抽取總?cè)藬?shù)乘以a等級的人數(shù)所占百分比，求出成績?yōu)閍等級的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；先求出成

績?yōu)镃等級的人數(shù)所占百分比，再用360度乘以成績?yōu)镃等級的人數(shù)所占百分比即可求出C等級所在扇形圓

心角的度數(shù)；

(3)根據(jù)題意列出表格，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

此題主要考查條形及扇形統(tǒng)計圖，通過樹狀圖或列表法求概率，理解題意，熟練掌握這些知識點是解題關

鍵.

21.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，。是BC的中點，DE1AB^-E,OF1AC于點F,且NBDE=NCDF.

(1)求證：平分NB4C.

(2)若4B=5,AD=4,△ABC

第10頁，共15頁

A

【答案】證明：???DE_L4B,OFLAC,

??.Z,DEB=乙DFC=90°,

???。是BC的中點，

BD=CD,

在△BED和中，

ZBDE=乙CDF

乙BED=MFD,

BD=CD

??.△BE性△CFDQ4/S),

DE=DF,

???DE14B于E,DF1AC于點F,

.-.力。平分NBAC.

【解析】求出NDEB=NDFC=90。，BD=CD,根據(jù)全等三角形的判定得出△BED咨△CFD,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出DE=DF,再推出答案即可.

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的判定等知識點，能求出DE=D尸是解此題的關鍵.

22.(本小題8分)

我校九年級學生準備觀看電影張津湖》.由各班班長負責買票，每班人數(shù)都多于40人，票價每張30元,

一班班長問售票員買團體票是否可以優(yōu)惠，售票員說：40人以上的團體票有兩種優(yōu)惠方案可選：

方案一：全體人員打8折；

方案二：打9折，有5人可以免票.

(1)若一班有50人，則方案一需付元錢，

方案二需付款元錢；

(2)一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？

第11頁，共15頁

【答案】(1)1200；1215；

xx30x0.8=(%-5)x0.9x30,

解得x=45.

答:一班有45人.

23.如圖，是。。的直徑，點C是。0上一點，力D與過點C的切線垂直，垂足為點D,直線DC與4B的延長

線相交于點P,弦CE平分乙4CB,連接BE.

(1)求證：/.DAC=乙E；

(2)若tan乙4EC=*BE=10,求半徑OB和線段4。的長.

【答案】(1)證明：連接。C,

???PD切圓于C,

???半徑。C1PD,

vAD1PD,

OC/IAD,

???^DAC=Z-OCA,

???OC=0Af

???Z.OAC=Z-OCA,

???Z.DAC=Z-OAC,

???Z-BEC=Z..OAC,

Z.DAC=Z-BEC；

(2)解：連接力E,

???弦CE平分Z71CB,

AE=BE，

AE—BE,

???4B是圓的直徑，

第12頁，共15頁

.-.乙AEB=4ACB=90°,

.?.△4EB是等腰直角三角形，

???AB=^2BE=1072.

4“AC4

??,tanZ-ABC=—=

DC3

???令BC=3x,AC=4%,

vAB=VXC2+BC2=5x=10Vl，

???x—

AC=4x=8V-2，

Z.DAC=Z-CAB,

???cosZ.DAC=cosA.CAB,

tAD_AC

ACAB

.AD__8<2

**iT?-10<2,

力D=手

【解析】(1由切線的性質(zhì)得到半徑。CLP。，又力D1PD,因此。C〃AD,得到4fMe=NOC4由等腰三

角形的性質(zhì)得到〃MC=NOC4由圓周角定理即可得到ACMC=乙BEC；

(2)由直角三角形的性質(zhì)求出=10/2,由銳角的正切定義求出4C長，由N￡MC=NC4B,得至IJcos^DAC=

COSNCAB,因此黑=*，即可求出AC的長.

ACAB

本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，關鍵是由直角三角

第13頁，共15頁

S）?-?2?g.

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T二麗諭*工）

“◎W奉6P解Q鼻豺

二哪**右，覆~

第14頁，共15頁

24.對于拋物伐，=^x2(a*°),我們發(fā)現(xiàn)其圖像上任意一點到點(0,a)的距離和到僅y=-a的距離總是相等,

于是規(guī)定點(0.a)為拋物線的焦點，直線丫=-a為拋物稅的準線.例如，如圖1,y=±x2(fl>0),其焦點為4(o,°),

準線為直戊y=-a，拋物線上任意一點P(")到布線的拒離為PH,mp?=|y_(_a)|=|y+a|=|*+a|.

PX=7(x-0)I+(y-a)2=』—"=忌尼x?+a）2=12/+a|即P4=PH.

同理可得a<0時，P4=P"也成立；

利用焦點和準線的性質(zhì)解決下列問題一

評的焦點和準線;(，嘿點僅))嘲主y=_/

(1)請直接寫出拋物線y=

(2)如圖2,已知拋物線y==/(m>0)的焦點為C,其準線與,軸交于點口，過焦點C的直線與拋物線交于48兩

點，求證:【an4DC=tanNBOC;

⑶已知拋物線"白也〉。)，焦點為凡點E為對稱軸右側(cè)的拋物線上一點，"=4"且5皿。二代.

①求p的值；

②過焦點F的直線與該拋物線交于M,N兩點，P為拋物線準線上一點，當APMN為等邊三角形時，求直線48的

解析式.

NT

r明可n

DQ

尸=跖/運制=￡/不

圖1打二白，武"局-49

圖2

(2)攵明'、'4Uc。6N1CDG研9"匐溯二而福6a.XN

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