2024年中考數(shù)學壓軸題專項訓練：隱圓問題(學生版)

隱圓問題3種模型

壓軸畫密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：⑴定點定長：當遇到同一個端點出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點為圓心，等線

段長為半徑構(gòu)造輔助圓；⑵定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時,通常把張角轉(zhuǎn)化為圓

周角構(gòu)造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四邊形的四個頂

點共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。

壓軸愿預測

類型1:定點定長

（20233f城區(qū)校級三模）圓的定義:在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

⑴已知：如圖l,0A=OB=OC，請利用圓規(guī)畫出過A、B.C三點的圓.若40B=70°,則4cB=

如圖，RtMBC中，4BC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿BA方向平移2個單位長度，點A、P、C的對應點分別為

點D、E、F,求四邊形BDFC的面積和NBEA的大小.

⑶如圖3,將AC邊沿BC方向平移a個單位至DF，是否存在這樣的a,使得直線DF上有一點Q,滿足

ZBQA=45°且此時四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

題”（2024口生州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。,點D為平面內(nèi)一點（點A,B,D三點不共線），AE為

AABD的中線.

【初步嘗試】⑴如圖1,小林同學發(fā)現(xiàn):延長AE至點M，使得ME=AE，連接DM.始終存在以下兩個結(jié)

論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

①DM=AC:②功八+zDAB=180°；

【類比探究】（2）如圖2,將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AF，連接CF.小斌同學沿著小林同學的思考進

一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=yCF，請你幫他證明；

【拓展延伸】⑶如圖3,在⑵的條件下，王老師提出新的探究方向：點D在以點A為圓心，AD為半徑的圓

上運動（AD>AB），直線AE與直線CF相交于點G，連接BG，在點D的運動過程中BG存在最大值.若

AB=4,請直接寫出BG的最大值.

圖1圖2圖3

9

3（2022口番禺區(qū)二模）已知拋物線y=ax2+bx-g（a〉0）與x軸交于點A,B兩點，OA<OB,AB

=4.其頂點C的橫坐標為-1.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵設點D在拋物線第一象限的圖象上，DE±AC垂足為E,DFDy軸交直線AC于點F,當&IEF面積

等于4時，求點D的坐標；

⑶在⑵的條件下，點M是拋物線上的一點，M點從點B運動到達點C,FMXFN交直線BD于點N,延

長MF與線段DE的延長線交于點H,點P為N,F,H三點構(gòu)成的三角形的外心，求點P經(jīng)過的路線長.

題目|4(2021BI谷灘區(qū)校級模擬)⑴學習心得:小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在MBC中，AB=AC,ZBAC=80。,D是MBC外一點，且AD=AC，求NBDC的度數(shù).

若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓。A,則點C、D必在。A上，4AC是。A的圓心角，而zBDC是

圓周角，從而可容易得到NBDC=_40°_.

(2)問題解決：

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求ZBAC的度數(shù).

⑶問題拓展：

拋物線y=_:(x-1)2+3與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C，點P在拋物線上，直線

PQDBC交x軸于點Q,連接BQ.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點D在BQ上，另一頂點E在

PQ上，求Q的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，點D與點

B,點Q不重合，求點P的坐標.

類型2：定弦定角

〕題目|5(2022口I塔區(qū)校級三模)問題提出

⑴如圖①，已知MBC為邊長為2的等邊三角形，則MBC的面積為_，3_；

問題探究

(2)如圖②，在MBC中，已知NBAC=120。,BC=6J3■，求MBC的最大面積；

問題解決

⑶如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB=20米，長BC=24米，為了能夠監(jiān)控到禮

堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻

面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角4MB=45°,請你通過所學知識進

行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度;若不存在,請說明理由.

題*6（2023口霸橋區(qū)校級模擬）問題提出：⑴如圖①，MBC為等腰三角形，zC=120°,AC=BC=8,D

是AB上一點，且CD平分MBC的面積，則線段CD的長度為.

問題探究：⑵如圖②，MBC中，4=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值，若存

在，求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會場

旁規(guī)劃一個四邊形花圃ABCD，滿足BC=600米，CD=300米，4=60°,ZA=60°,主辦方打算過BC

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形ABCD邊上一點，

通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休

閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離AE的長；若不存在，請

說明理由.

國?7(2023口＜城區(qū)校級一模)如圖，點A與點B的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是該直角坐標系內(nèi)的一

個動點.

⑴使4PB=30°的點P有個；

⑵若點P在y軸上，且4PB=30。,求滿足條件的點P的坐標；

(3)當點P在y軸上移動時，4PB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時4PB最大的理由;

若沒有，也請說明理由.

%

5

4

3

2

1AB、

i；3；54

-4-3-2-10

-1

類型3：四點共圓

-（2022中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖⑴，已知MBC內(nèi)接于。0，點P在上（不與點A,B,C重合），過點P分別作AB,

BC,AC的垂線，垂足分別為點D,E,F.求證:點D,E,F在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖⑴，連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點Q，連接QE.QF,

則EQ=FQ=yPC=PQ=CQ，（依據(jù)1）

:點E,F,P,C四點共圓，

.,.ZFCP+ZFEP=180°.（依據(jù)2）

又「ZACP+ZABP=180°,

/.ZFEP=ZABP.

同上可得點B,D,P,E四點共圓，

□□

任務：

⑴填空：

①依據(jù)1指的是中點的定義及___________________

②依據(jù)2指的是______.

（2）請將證明過程補充完整.

⑶善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當點P是時的中點時，BD二CF,請你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性.

PP

圖⑴圖⑵

題?9（2021強爾濱模擬）⑴【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使

問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,zBAC=90°,D是AABC外一點，且AD=AC，求NBDC的度數(shù).

若以點A為圓心，AB為半徑作輔助OA,則點C、D必在。A上，4AC是。A的圓心角，而與DC是圓

周角，從而可容易得到zBDC=

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，/BAD=ZBCD=90",ZBDC=25°,求NBAC的度數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G,連接