湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年秋季高一數(shù)學(xué)入學(xué)考試試題一、選擇題（共8小題，每題4分，共32分）1.下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A.上課遲到的學(xué)生 B.2020年高考數(shù)學(xué)難題C.所有有理數(shù) D.小于的正整數(shù)【答案】B【解析】【分析】由集合元素的確定性即可判斷.【詳解】2020年高考數(shù)學(xué)難題，無(wú)法界定故錯(cuò)誤；其它三個(gè)都是明確可知，故正確.故選:B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出的解集，再根據(jù)充分條件與必要條件的定義求解即可.【詳解】記“”的解集為集合B，則或所以“”能推出“”“”不能推出“”所以“”是“”的的充分不必要條件.故選：A.3.已知命題，，下列形式正確的是（）A.，使得 B.，使得C.， D.，【答案】B【解析】【分析】全稱命題的否定是特稱命題，否定量詞，否定結(jié)論.【詳解】否定量詞，否定結(jié)論，即，使得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分和討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出解集為的等價(jià)條件，即可求出的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即解集為，不成立.當(dāng)時(shí)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)，注意二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)以及判別式符號(hào)的限制，屬于基礎(chǔ)題.5.在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）A.2 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造三角形，利用三角形三邊關(guān)系及邊角關(guān)系可求解.【詳解】如圖，過(guò)圓心作直線的垂線，分別與直線和圓交于三點(diǎn)，設(shè)A點(diǎn)更靠近直線.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，在中，易知，所以，所以，所以，所以最大值為5，當(dāng)且僅當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)取得.故選：B.6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.【詳解】解不等式得，不等式化為，所以，因?yàn)闉榈恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.水果店花1500元進(jìn)了一批水果，按50%的利潤(rùn)定價(jià)，無(wú)人購(gòu)買，決定打折出售，但仍無(wú)人購(gòu)買，結(jié)果又一次打折后才售完．經(jīng)結(jié)算，這批水果共盈利500元．若兩次打折的折扣相同，設(shè)每次打x折，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系式：標(biāo)價(jià)進(jìn)價(jià)－虧損，把相關(guān)數(shù)值代入即可.【詳解】設(shè)每次打折折，根據(jù)題意得：.故選：C8.設(shè)，表示關(guān)于x的函數(shù)，如，．若，，則（）A.0 B.2011 C. D.不能求出【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可知代入即可求得的值.【詳解】，，，，，∴，故選：B二、填空題（共5小題，每題4分，共20分）9.分解因式：______.【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式分解即可.【詳解】.故答案為：.10.若，則的值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，故答案為?.11.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象與軸所截得的線段長(zhǎng)度之和為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先由求根公式求出兩根，從而求出兩根距離的通式，利用累加法化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，，所以，所以.故答案：12.如圖，與均是等邊三角形，若，則的度數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)邊角邊關(guān)系證明△ACE≌△BCD，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，角間的關(guān)系可得∠DBE的度數(shù).【詳解】解：如圖

，

∵在等邊△ABC和等邊△DCE中，∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60°

又在△ACE與△BCD中，

∠ACB=∠ECD?∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，

即∠ACE=∠DCB，而AC=BC，EC=DC

∴

△ACE≌△BCD

則

∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE

∴∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED

則360°-∠AEC-∠CED-∠BED=145°，

360°-(60°+∠BDE)-60°-∠BED=145°，

360°-120°-(∠BDE+∠BED)=145°，

360°-120°-(180°-∠DBE)=145°，

解得，∠DBE=85°即為所求．故答案為：85°13.設(shè)集合，集合，則=______.【答案】【解析】【分析】分別求函數(shù)的定義域和值域可得集合，再求，進(jìn)而與求交集即可得解.【詳解】由，得集合，集合，則或，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，涉及函數(shù)的定義域和值域的求解，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（共4小題，共48分）14.二次根式分母有理化是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，例如：；請(qǐng)你根據(jù)初中所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：（2）計(jì)算：（3）計(jì)算：【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】【分析】由題意，根據(jù)分母有理化的規(guī)律可依次求解（1）、（2）、（3）.【小問(wèn)1詳解】，，，，.【小問(wèn)2詳解】，，，，.【小問(wèn)3詳解】，，，，.15.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn).（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)在線段上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒，的長(zhǎng)度為個(gè)單位，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)重合的情況），連接，，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的值，平行四邊形能否為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由條件可得，，可求得直線的解析式.

（2）由秒時(shí)，點(diǎn)，所以，，再根據(jù)得出答案.

(3)若四邊形為平行四邊形，則有，此時(shí)，有，解得，,再分別計(jì)算能否為菱形.【詳解】解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，則.軸，垂足為點(diǎn),,所以設(shè)直線的解析式為則，解得可得直線的解析式為（2）點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)共要3秒,所以秒時(shí)，點(diǎn)，所以（3）若四邊形為平行四邊形，則有，此時(shí)，有，解得，所以當(dāng)或2時(shí)，四邊形為平行四邊形.①當(dāng)時(shí)，，，故，又在中，，故，此時(shí)四邊形為菱形②當(dāng)時(shí)，，，故，又在中，，故，此時(shí)四邊形不是菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.16.某單位欲購(gòu)買A?B兩種電器，根據(jù)預(yù)算，共需資金15750元.購(gòu)買一件A種電器和兩件B種電器共需資金2300元：購(gòu)買兩件A種電器和一件B種電器共需資金2050元.（1）購(gòu)買一件A種電器和一件B種電器所需的資金分別是多少元？（2）若該單位購(gòu)買A種電器不超過(guò)5件，則可購(gòu)買B種電器至少有多少件？（3）為節(jié)省開(kāi)支，該單位只購(gòu)買A?B兩種電器共6件，并知道獲政府補(bǔ)貼資金不少于700元：自己出資金不超過(guò)4000元；其中政府對(duì)A?B兩種電器補(bǔ)貼資金分別為每件100元和150元.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出有幾種購(gòu)買方案？【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及等量關(guān)系聯(lián)立方程組即可求解；（2）利用關(guān)系式為：總費(fèi)用減去B種電器的總費(fèi)用不超過(guò)件A種電器的費(fèi)用即可求解；（3）根據(jù)政府補(bǔ)貼資金和自己出的資金得到不等式組，求得整數(shù)解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)購(gòu)買一件A種電器和一件B種電器所需的資金分別為元和元.由題意可知,解得，故購(gòu)買一件A種電器和一件B種電器所需的資金分別為元和元.【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)買B種電器件.,解得,故可購(gòu)買B種電器至少有件.【小問(wèn)3詳解】設(shè)購(gòu)買A種電器件，則購(gòu)買B種電器件,解得，因?yàn)槿≌麛?shù)，所以可取，共種方案.17.已知函數(shù)，（1）列表、描點(diǎn)、連線，畫出該函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（2）在函數(shù)圖象上取一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線的坡度為，．試將化簡(jiǎn)為（均為常數(shù)）的形式；（3）當(dāng)趨近于0時(shí)，是否趨近于某常數(shù)？若是，為多少？試說(shuō)明理由；（4）在函數(shù)圖象上取一個(gè)定點(diǎn)，為正的常數(shù)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線的坡度為，請(qǐng)直接指出，當(dāng)趨近于0時(shí)，是否趨近于某常數(shù)．坡度定義：若，，則直線的坡度為．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）是，，理由見(jiàn)解析（4）【解析】【分析】（1）對(duì)于x取某些特殊值，即可列表，描點(diǎn)，連線，得到函數(shù)圖像簡(jiǎn)圖；（