北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章 勾股定理》單元測(cè)試卷-帶答案

第第頁(yè)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章勾股定理》單元測(cè)試卷-帶答案班級(jí)：姓名：一、選擇題1．如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線D'處，若AB=3，AD=4，則ED的長(zhǎng)為（）A．32 B．3 C．1 D．3．下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.54．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，AB、CD、EF、GH四條線段，其中能組成直角三角形三邊的一組線段是（）A．AB、CD、GH B．AB、CD、EF C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH5．如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長(zhǎng)度為5米.若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米6．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的大正方形圖案是某屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么(a+b)2A．256 B．169 C．29 D．487．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積B．最大正方形的面積C．較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D．最大正方形與直角三角形的面積和8．小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1m，1m，2m，那么電梯內(nèi)能放入下列木條中的最大長(zhǎng)度是（）A．3m B．2.4m C．2.9．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸10．華表柱是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑形式，天安門前聳立著高大的漢白玉華表，每根華表重約20000公斤，如圖，在底面周長(zhǎng)約為3米帶有層層回環(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從B點(diǎn)到A點(diǎn)）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高約9米，則雕刻在石柱上的巨龍至少（）米.A．310 B．32 C．910二、填空題11．如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，則陰影部分的面積之和為.12．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將一邊AD折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處，折痕為DE．若AB=4，BF=2，則AE的長(zhǎng)是．13．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度為cm.14．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖所示的“垂美”四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)D，若AB=5，CD=4，則AD2+B15．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的大意是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個(gè)水池的深度是尺．16．如圖，已知AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，且PB＝PE.其中AC=16，AB=21，PB=13，則PC=.三、解答題17．“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”.又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)(1)班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？18．如圖，一輛小汽車在一段限速110km/?高速公路上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A的正前方80m的C處，過了2s后，測(cè)得小汽車到達(dá)與車速檢測(cè)儀A之間的距離為100m的（1）你能計(jì)算這輛小汽車的速度嗎？（2）這輛小汽車超速了嗎？19．已知：在線段AB的同側(cè)分別過A、B作AM⊥AB，BN⊥AB，分別在射線AM，BN上取點(diǎn)C、D.若AB=28，BD=12，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）如圖1，連接PC、PD，當(dāng)PC⊥PD且PC=PD時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)P在線段AB上以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線AM上以x個(gè)單位每秒的速度從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).①連接PQ，當(dāng)∠APQ=∠BPD=45°時(shí)，求x的值；②是否存在實(shí)數(shù)x的值，使得某時(shí)刻△AQP與△BPD全等？若存在，請(qǐng)你求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知如下數(shù)表：n2345……a22-132-142-152-1……b46810……c22+132+142+152+1……（1）觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=，b=，c=．（2）試猜想：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．定義：在任意△ABC中，如果一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的和為90°，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”.（1）【基礎(chǔ)鞏固】若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，則∠B=°；（2）【嘗試應(yīng)用】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，若∠CAD與∠CAB互余.求證：△ABD（3）【拓展提高】如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE22．在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B，（1）求高臺(tái)A比矮臺(tái)B高多少米？（2）求旗桿的高度OM；（3）瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．23．為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，八(1)班的兩個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，請(qǐng)結(jié)合下面表格的信息，完成任務(wù)問題．測(cè)量旗桿的高度測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器、皮尺等測(cè)量小組第一小組第二小組測(cè)量方案示意圖設(shè)計(jì)方案及測(cè)量數(shù)據(jù)在地面確定點(diǎn)C，并測(cè)得旗桿頂端A的仰角，即∠ACB=45°．如圖1，繩子垂直掛下來(lái)時(shí)，相比旗桿，測(cè)量多出的繩子長(zhǎng)度FP為2米．如圖2，繩子斜拉直后至末端點(diǎn)P位置，測(cè)量點(diǎn)P到地面的距離PD為1米，以及點(diǎn)P到旗桿AB的距離PE為9米．（1）任務(wù)一：判斷分析第一小組要測(cè)旗桿AB的高度，只需要測(cè)量的長(zhǎng)度為線段并說(shuō)明理由．（2）任務(wù)二：推理計(jì)算利用第二小組獲得的數(shù)據(jù)，求旗桿的高度AB．24．在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處.（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為°.（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長(zhǎng).（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長(zhǎng).參考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：連接AB，AD，AC，BC，BD，CD，

根據(jù)題意可知

AB2=12+22=5

AD2=12+32=10

AC2=22+42．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，

∴DC=3，BC=4，

∴AC=AB2+BC2=5，

根據(jù)折疊可得：△DEC≌△D'EC，

∴D'C=DC=3，DE=D'E，

設(shè)ED=x，則D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，

在Rt△AED'中：AD'2+ED'2=AE2，3．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)勾股數(shù)的含義知，A、B、C三個(gè)選項(xiàng)的三組數(shù)均是勾股數(shù)，選項(xiàng)D中的三個(gè)數(shù)都不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)．故答案為：D．

【分析】若三個(gè)整數(shù)中兩個(gè)小數(shù)的平方和等于大數(shù)的平方，則稱這組數(shù)為勾股數(shù)，根據(jù)含義判斷即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可得：A：AB=32+42=5，CD=22+42=25，GH=12+22=5故答案為：A.

【分析】根據(jù)圖形利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理直接求證即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此時(shí)木馬上升的高度為1米.

故答案為：A．

【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)，再用AB-AF即可求得木馬上升的高度.6．【答案】C【解析】【解答】大正方形的面積為16，得到它的邊長(zhǎng)為4，即得a2+b2=42=16，由題意4×122ab=13，所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.故答案為：C.【分析】利用已知大小正方形的面積，可求出a2+b2=42，及4×127．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的各邊長(zhǎng)為a，b，c，滿足a2+c2=c2，

可以得到：陰影部分面積+小正方形面積+大正方形面積－重疊部分面積=最大正方形面積，

即：陰影部分面積+a2+b2－重疊部分面積=c2.

所以有陰影部分面積＝重疊部分面積.

故答案為：C.

【分析】結(jié)合勾股定理的幾何意義，將三個(gè)正方形的面積聯(lián)系起來(lái)，再用兩種方法表示出最大正方形的面積，問題得到解決.8．【答案】B【解析】【解答】解：底面的斜邊長(zhǎng)度為：12+12=2，電梯對(duì)角的長(zhǎng)度為：9．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)OA=OB=AD=BC=x，過D作DE⊥AB于E，則DE=10，OE=12CD=1，AE=x?1在Rt△ADE中，AE2+D解得2x=101．故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．故答案為：C．【分析】先構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理列方程求解．10．【答案】D【解析】【解答】解：展開圖：

9÷3=3（米），

33+32=32

【分析】在圓柱的展開圖中，每圈巨龍的長(zhǎng)度與高度和圓柱的周長(zhǎng)組成了直角三角形，根據(jù)勾股定理求出每圈巨龍的長(zhǎng)度，最后乘3便是答案.11．【答案】64【解析】【解答】解：如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，∴陰影部分的面積之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，故答案為：64．【分析】先根據(jù)勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，從而可求得陰影部分的面積的和即可解答．12．【答案】5【解析】【解答】設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=4-x，已知折疊后點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處，由折疊的性質(zhì)可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x=52，即AE的長(zhǎng)為5【分析】設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=4-x，由折疊的性質(zhì)可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。13．【答案】125【解析】【解答】展開圖為：則AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB=AC所以螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度為125cm．故答案為：125．

【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到螞蟻所走的路線最短。14．【答案】41【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+A∴BO∵AD2=D∴AD故答案為：41．【分析】抓住有對(duì)頂角的一對(duì)直角三角形，根據(jù)勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，據(jù)此求解。15．【答案】12【解析】【解答】設(shè)水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理得：x2解得：x=12即水池的深度是12尺．故答案為：12【分析】設(shè)水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解此方程即可解答.16．【答案】12【解析】【解答】解：由AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，可得PC=PD，AD=AC=16；又PB＝PE，可證△EPC?△BPD，所以BD=AB-AD=AB-AC=21-16=5；在直角△BPD中，PD=P故答案為：12.

【分析】角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等。17．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2?BD2=252?15（2）解：如下圖所示：

由題意得，CM=12米，

∴DM=8米，

∴BM2=DM2+BD2【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論。18．【答案】（1）解：在RtABC中，AC=80cm，AB=100m；根據(jù)勾股定理可得：BC=A∴小汽車的速度為v=60（2）解：∵108km/∴這輛小汽車不超速行駛．答：這輛小汽車不超速．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，再用BC的長(zhǎng)度除以時(shí)間即可；

（2）根據(jù)（1）中求出的速度與限速比較即可判斷.19．【答案】（1）解：∵AM⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴∠APC+∠ACP=90°，∵PC⊥PD，∴∠APC+∠BPD=90°，∴∠ACP=∠BPD，∵PC=PD，∴△ACP≌△BPD(AAS)，∴AP=BD=12，AC=PB=28?12=16，∴PD=P（2）解：①∵∠APQ=∠BPD=45°，∴∠BDP=∠BPD，∴BD=PB=12，∵12∴x=16②∵∠A=∠B=90°，∴△AQP≌△BDP或△AQP≌△BPD，若△AQP≌△BDP，則AQ=BD=12，∵14∴x=12若△AQP≌△BPD，則AQ=BP=16，AP=BD=12，∴x=2；綜上：存在實(shí)數(shù)x=127或x=2，使得△AQP與【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì).（1）先利用角的運(yùn)算可求出∠ACP=∠BPD，結(jié)合已知條件可證明△ACP≌△BPD(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)可求出AP=BD=12,AC=PB=16，由勾股定理可得：PD=（2）①由等腰直角三角形性質(zhì)可求出BD=PB=12,AQ=AP=16，據(jù)此可求出②分兩種情況：若△AQP≌△BDP；若△AQP≌△BPD，由全等三角形的性質(zhì)可求出對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，據(jù)此可求出答案.20．【答案】（1）n2-1；2n；n2+1（2）解：∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形.【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2時(shí)，a=22-1，b=4=2×2，c=22+1，

n=3時(shí)，a=32-1，b=6=2×3，c=32+1，

n=4時(shí)，a=42-1，b=8=2×4，c=42+1，

·······

∴用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=n2-1，b=2n，c=n2+1．

【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律；

（2）利用勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可.21．【答案】（1）15（2）證明：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∵∠CAB+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∴∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°∴△ABD是倍角互余三角形.（3）解：①當(dāng)AE平分∠CAB時(shí)，則2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE∴△ACE≌△AFE，∴AE=AC=3，則BF=2，設(shè)CE=a，則EF=a，BE=4?a，在Rt△BEF中，(解得a=32，所以②當(dāng)∠CAE=∠B時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接AE、HE，并延長(zhǎng)HE交AB于點(diǎn)F.設(shè)∠CAE=x，則∠ABC=x，∵點(diǎn)A、點(diǎn)H關(guān)于BC對(duì)稱，∴∠AHE=∠CAE=x，∴∠CEH=90°?x=∠BEF，∴∠BEF+∠ABC=90°，即HF⊥AB，利用等積法求得：S△ABH∴HF=24在Rt△AHF中，設(shè)AE=HE=a，在Rt△AEF中，a∴a=15在Rt△ACE中，CE=∴BE=4?9綜上所述，BE=52或74【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，∴∠A+2∠B=90°，∴∠B=1故答案為：15；【分析】（1）由題意可得∠A+2∠B=90°，據(jù)此計(jì)算；

（2）由內(nèi)角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由題意可得∠CAB+∠CAD=90°，則∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，據(jù)此證明；

（3）①當(dāng)AE平分∠CAB時(shí)，則2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，證明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，則BF=2，設(shè)CE=a，則EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，進(jìn)而可得BE；②當(dāng)∠CAE=∠B時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接AE、HE，并延長(zhǎng)HE交AB于點(diǎn)F，設(shè)∠CAE=x，則∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，則∠BEF+∠ABC=90°，根據(jù)等面積法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，設(shè)AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，進(jìn)而可得CE、BE的值.22．【答案】（1）解：10-3=7(米）（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM與F，∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF，在△AOE和△OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBF∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE=BF，AE=OF，即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），∴2EO+EF=17，則2EO=10，所以O(shè)E=5m，OF=12m，所以O(shè)M=OF+FM=15m（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，所以MN=15﹣13=2（m）．答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN為2米．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到高臺(tái)A比矮臺(tái)B高（10-3）米；（2）根據(jù)題意和全等三角形的判定方法AAS，得到