廣西桂林、梧州、貴港、玉林、崇左、北海2024年高考數(shù)學考前模擬卷

廣西桂林、梧州、貴港、玉林、崇左、北海2024年高考必備數(shù)學試題高考信息組合卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設7”，〃為非零向量，貝心存在正數(shù)九，使得加二九〃”是“心力＞0”的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.充分不必要條件

2.在等差數(shù)列｝中，若。=4,a=8,

則〃=（）

n247

A.8B.12C.14D.10

3.以下關于/（x）=sin2x-cos2x的命題，正確的是

A.函數(shù)/G）在區(qū)間上單調遞增

B.直線％=?需是函數(shù)y=/G）圖象的一條對稱軸

O

C.點是函數(shù)y=/（x）圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)V=/（x）圖象向左平移需g個單位，可得到y(tǒng)=J，sin2x的圖象

O

4.設正項等比數(shù)列｝的前"項和為S,若S=3,a+a=12,貝法比4=（）

nn234

A.±4B.4C.±2D.2

5.對于定義在H上的函數(shù)y=/（x）,若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則精退的一個是（）

A./（。在（-＜，0］上是減函數(shù)B.7（%）在（。,+8）上是增函數(shù)

C./（X）不是函數(shù)的最小值D.對于xeR,都有/（x+l）=/（l—x）

6.設復數(shù)z滿足z—（l+D=2i+l（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的共軌復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.函數(shù)/（X）=85?與86）=右一左在［—6,8］上最多有"個交點，交點分別為（X,y）（Z=1,……，〃），則

Z(X+y)=()

ii

Z=1

A.7B.8C.9D.10

2K

8.在中，角A,B,C所對的邊分別為凡b,c,已知C=亍，c=l.當變化時，若冬=8+大。存在最大值,

則正數(shù)九的取值范圍為

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(13)

9.若點Q_v)位于由曲線x=|j,一2|+］與丫=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)，則山的取值范圍是()

A.[-3,1]B.[13,5]C.(_s,-3】以5,+oo)?,-co,-31以，+00)

10.Q-2)(x+2)5的展開式中含中的項的系數(shù)為()

A.-20B.60C.70D.80

11.已知y=logQ—2x+17)的值域為,

221

當正數(shù)a,5滿足^—,+加時，則7a+你的最小值為

3a+ba+2b

()

95+2J2

A.-B.5C.------J

44

12.設a為銳角，若cos[a+?)=",貝代in2a的值為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.在^ABC中，角A3,C的對邊分別為a,b,c,且c=2,2sinA=sinC.若g為鈍角,cos2c=-“m^ABC

的面積為____________

14.在(2+X)5的展開式中，X2的系數(shù)為_____.(用數(shù)字作答)

15.“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點、遠地點離地面的距離大約分

2八

別是qR,4R,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為,

16.在平面直角坐標系X。〉中，雙曲線下-步=1的右準線與漸近線的交點在拋物線產(chǎn)=2;?上，則實數(shù)P的值為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+辦2-3x(awR)

（1）函數(shù)/（無）在點（L/（D）處的切線方程為y=-2,求函數(shù)“X）的極值；

（2）當〃=1時，對于任意元,%ell/。］,當x〉x時，不等式/（x）—/（%）〉妁―2恒成立，求出實數(shù)機的

122112XX

21

取值范圍.

18.（12分）如圖，正方形AG/C是某城市的一個區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,

A~/處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設置如下：先直行綠燈30秒，再左轉綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉不受紅

綠燈影響，這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學需沿街道從/處騎行到A處（不考慮4/處的紅綠燈），出發(fā)時的兩條路線

（2F，）等可能選擇，且總是走最近路線.

田田

（1）請問小明上學的路線有多少種不同可能？

（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過￡處，且全程不等紅綠燈

的概率；

（3）請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設計一條最佳的上學路線，且應盡量避開哪條路線？

19.（12分）已知矩形ABC。中，AB=2BC=4,E,尸分別為AB,的中點.沿EP將矩形AEED折起，使

4￡B=135。，如圖所示.設尸、。分別為線段。/，3c的中點，連接尸Q.

（1）求證：PQ〃平面DEB；

（2）求二面角A-BE-D的余弦值.

20.（12分）已知雙曲線C:尤2-尸=1及直線/:y=kx+l.

（1）若/與C有兩個不同的交點，求實數(shù)左的取值范圍；

（2）若/與。交于4,5兩點，。是原點，且S=凡求實數(shù)4的值.

AOAB

21.(12分)已知函數(shù)，(x)=|x—1|-2|x+3|.

(1)求不等式/G)<i的解集；

(2)若存在實數(shù)X,使得不等式加2-3根-/(x)<0成立，求實數(shù)機的取值范圍.

22.(10分)在AABC中，M為BC邊上一點、,ZBAM=45°,cos/AMC=正.

5

(1)求sinB；

一1___

(2)若=,AC=4,求MC.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得(〃，，〃)=0,再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得

(m,〃)e[0,90),不一定有正數(shù)九，使得機=九"，所以不成立，即可得答案.

【題目詳解】

充分性：若存在正數(shù)九，使得機=九〃，則(而，'=0,7?i-/i=|m|p|cos0=|叫帆〉0,得證；

必要性：若加?〃〉()，貝，根,〃)€[0,90),不一定有正數(shù)九，使得機=九"，故不成立；

所以是充分不必要條件

故選：D

【題目點撥】

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.

2、C

【解題分析】

將紇，名分別用％和的形式表示，然后求解出％和d的值即可表示4.

【題目詳解】

設等差數(shù)列M｝的首項為4,公差為d,

n1

[a+d=4,

則由a=4,a=8,得｛i解得a=2,d=2,

24a+3d=8,i

、i

所以q=q+6d=14.故選c.

【題目點撥】

本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構建4和4的方程組求通項公式.

3、D

【解題分析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到/(%)=J?sin(2x-g),再逐項判斷正誤得到答案.

【題目詳解】

/(x)=sin2x-cos2x="sin(2x-；)

22兀1,TC'兀13兀、

A選項，xe[0,?J=>2x—彳注一了言)函數(shù)先增后減，錯誤

7TTT

B選項，%=”=>2%-7=。不是函數(shù)對稱軸，錯誤

84

j?jIjI

C選項，x=—=>2x——=—,不是對稱中心，錯誤

444

D選項，圖象向左平移需1個單位得到y(tǒng)=/sin(2(x+g)-：)=J7sin2x,正確

oo4

故答案選D

【題目點撥】

本題考查了三角函數(shù)的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質的綜合應用，其中化簡三

角函數(shù)是解題的關鍵.

4、D

【解題分析】

由S=3得a+a=3,又a+a=(a+a)g2=12,兩式相除即可解出夕.

2123412

【題目詳解】

解：由S,=3得q+q=3,

又a+a=(a+a=12,

3412

??.“2=4,4=-2,或q-2,

又正項等比數(shù)列M｝得4＞。，

q-2,

故選：D.

【題目點撥】

本題主要考查等比數(shù)列的性質的應用，屬于基礎題.

5、B

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調性的關系，進行判斷即可.

【題目詳解】

由/(x+l)=/(l—X)得了(X)關于X=1對稱，

若關于x=l對稱，貝幅數(shù)/⑴在(0,+8)上不可能是單調的，

故錯誤的可能是B或者是。，

若D錯誤,

則/(x)在(-8,0］上是減函數(shù)，在在(0,+8)上是增函數(shù)，則/(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時。也錯誤,

不滿足條件.

故錯誤的是B,

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查函數(shù)性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵.

6、D

【解題分析】

先把z-(l+i)=2i+l變形為z=/__,然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出屋得到其坐標可得答案.

【題目詳解】

解：由z?+i)=2i+l,得7=舒(2i+l)(l-z)3+i31.

----------------------------+--I

(1+i)(l-z)2221

-31.13n

所以乙=5-5，，其在復平面內(nèi)對應的點為,在第四象限

故選：D

【題目點撥】

此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

7、C

【解題分析】

根據(jù)直線g（x）過定點（L0）,采用數(shù)形結合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結果.

【題目詳解】

由題可知：直線gG）=履-左過定點（L0）

且/G）=cos?在匚6,81是關于（1,0）對稱

如圖

通過圖像可知：直績（%）與/Q）最多有9個交點

同時點（1,0）左、右邊各四個交點關于（L0）對稱

所以2（%+y）=2x4+l=9

ii

i=l

故選：c

【題目點撥】

本題考查函數(shù)對稱性的應用，數(shù)形結合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數(shù)y=cos%的性質，屬難題.

8、C

【解題分析】

因為°=丁27c，c=l,所以根據(jù)正弦定理可得上Q7=-^b='c=不2，所以〃=-2^sinA,b=-2=smB,所以

3sinAsin5smC,3J3,3

.22九2、兀

z=b+M=—=sinB+-=sinA=—=[sinB+A,sin（B）]=

石耳耳3

cosB]=-^=^（1-^）2+（~^-）2sin（B+（|））^其中tan。=0<B<y,

因為z=b+Qz存在最大值，所以由5+。=三+2左兀水sZ,可得2左兀+0<（|）<2%兀+三水sZ,

所以tan">q,所以昌>4,解得;〈九<2,所以正數(shù)九的取值范圍為g,2),故選c

9、D

【解題分析】

畫出曲線x=|y-21+/與x=3圍成的封閉區(qū)域，山表示封閉區(qū)域內(nèi)的點?！ê投c已-”連線的斜率，然后結合圖形

x-2

求解可得所求范圍.

【題目詳解】

畫出曲線x=|j,_2l+［與*=3圍成的封閉區(qū)域，如圖陰影部分所示.

山表示封閉區(qū)域內(nèi)的點世.和定點尸已「“連線的斜率，

x-2

設上=也，結合圖形可得k>人￡4或jt<kpB>

由題意得點A,B的坐標分別為,4,30),B(12),

KPA=有=l.kpB-二一，

,"k>/或上￡3，

??.士的取值范圍為(.g,_W以7,+8).

x-2

故選D.

【題目點撥】

解答本題的關鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結合的方法求解問題，即把山看作兩點間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線

x-2

所圍成的封閉區(qū)域.考查轉化能力和屬性結合的能力，屬于基礎題.

10、B

【解題分析】

展開式中含X4的項是由(X+2)5的展開式中含%4和X2的項分別與前面的常數(shù)項-2和X2項相乘得到，由二項式的通

項，可得解

【題目詳解】

由題意，展開式中含X4的項是由(X+2)5的展開式中含X4和X2的項分別與前面的常數(shù)項-2和X2項相乘得到,

所以匕2—2人X+2)5的展開式中含X4的項的系數(shù)為-20x2+0x23=60.

故選：B

【題目點撥】

本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.

11、A

【解題分析】

Q-2x+17)的值域為日內(nèi)),求出外再變形，利用1的代換，即可求出7a+4b的最小值.

利用〉=1。82

【題目詳解】

解：：》=108212-21+17)=1082［(1-1)2+16］的值域為［^,+00),

/.m=4,

41

-----+----=4,

6a+2ba+2b

7a+4b=（［（6Q+2b）+（a+2b）］］41

-----+----

6。+2ba+2b

4（,a+2bY

6a+2b4（5+4）4

=2+-----+

a+2b6a+2b

6a+2b4（a+2b）

當且僅當6a+2b時取寸方

9

7。+4b的最小值為7.

4

故選：A.

【題目點撥】

本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用，同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.

12、D

【解題分析】

用誘導公式和二倍角公式計算.

【題目詳解】

sin2a=-cos(2a+g)=-cos2(a+()=—[2cos2(a+；)-1]=-[2x(^)2=

故選：D.

【題目點撥】

本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3J7

13、-2*_

8

【解題分析】

轉化2sinA=sinC為a=；,利用二倍角公式可求解得cosC,結合余弦定理02=或+拉-2a6cosC可得b,再利用

面積公式可得解.

【題目詳解】

因為c=2,2sinA=sinC,

所以〃=g=l.

3

又因為cos2C=一彳，且。為銳角，

所以cosC=Y^,sinC二/￡.

44

由余弦定理得。2=〃2+/?2-2〃Z?cosC,

即4=l+b2—2bx巫，解得人=牙，

42

e1—八113”內(nèi)3戶

所以S=—absinC=_xlx—_x-——=——

Tec22248

故答案為：bH

8

【題目點撥】

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

14、1

【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令廠=2,求出展開式中舉的系數(shù).

【題目詳解】

二項展開式的通項為=25-rCrXr

Tr+15

令r=2得的系數(shù)為23C;=80

故答案為L

【題目點撥】

利用二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具.

1

15、2

【解題分析】

畫出圖形，結合橢圓的定義和題設條件，求得a，。的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.

【題目詳解】

如圖所示，設橢圓的長半軸為。，半焦距為c,

2八

因為地球半徑為R,若其近地點、遠地點離地面的距離大約分別是WR,4R,

d-\-c—47?+R

105

可得《解得〃=丁凡。=不

a-c--/?+/?33

3

c31

所以橢圓的離心率為e=-=Tn—=不,

a42

3

1

本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質，列出方程組，求得兄。的值是解答的關鍵,

著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

【解題分析】

Y2

求出雙曲線3-尸=1的右準線與漸近線的交點坐標，并將該交點代入拋物線的方程，即可求出實數(shù)。的方程.

【題目詳解】

Y2Y23/3

雙曲線丁-門=1的半焦距為2,則雙曲線手-產(chǎn)=1的右準線方程為％=漸近線方程為y=±fx,所以，該

3,

雙曲線右準線與漸近線的交點為土

由題意得士乎231

=2Px—,解得P=

I224

1

故答案為：-T.

4

【題目點撥】

本題考查利用拋物線上的點求參數(shù)，涉及到雙曲線的準線與漸近線方程的應用，考查計算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)極小值為-2,極大值為-ln2-(2)(-co,-1710]

4

【解題分析】

(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)。，再對函數(shù)求導，即可求得函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)題意，對目標式進行變形，構造函數(shù)無G)=/(X)-“，根據(jù)“G)是單調減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最

x

值即可求得結果.

【題目詳解】

(1)函數(shù)/(%)=lnx+ax2—3x的定義域為(0,+℃),

,

/(x)=l+2ax-3,廣⑴=l+2a-3=0,a=l,

X

1ox2_q丫|1

可知/(x)=lnx+12—3x,/'(x)=_+2x—3=----------=0,

XX

1I

解得X]=I，'2=5，

可知在(l,"o)時，函數(shù)/(x)單調遞增，

在時，尸(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減，

可知函數(shù)"X)的極小值為/(I)=Ini+1-3=-2,

/I)?113,5

極大值為/y-lny+--n—.

\乙J乙I"乙F

⑵/。)一/牝)〉￡^可以變形為八?一八0〉?一:，

2112

12

可知函數(shù)/(幻一竺在h』o］上單調遞減

X

、、加m

h7(/x)=j2(X)--=1Inx+12—C3x——,

xx

jm

〃(x)=_+2x—3+一40,

X九2

可得力<-2x3+3x2-x,

設F(x)=-2x3+3%2-x,

P(x)=-6x2+6x—l=一61一；)+；＜0,

可知函數(shù)F(x)在h』。]單調遞減，

F(x)=尸(10)=—2x103+3x102—10=—1710,

min

可知加《-1710,

可知參數(shù)m的取值范圍為(^o,-1710],

【題目點撥】

本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對具體函數(shù)極值的求解，涉及構造函數(shù)法，以及利用導數(shù)求函數(shù)的值域；第

二問的難點在于對目標式的變形，屬綜合性中檔題.

18、(1)6種；(2)—；(3)I—FfC4BfA.

64

【解題分析】

(1)從4條街中選擇2條橫街即可；

(2)小明途中恰好經(jīng)過E處，共有4條路線，即/fXfE-D-A,14H4E4BT~A,IrFfErDfA,

ITFTETBTA,分別對4條路線進行分析計算概率；

(3)分別對小明上學的6條路線進行分析求均值，均值越大的應避免.

【題目詳解】

(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街，即從4條街中選擇2條橫街即可，所以路線總數(shù)為C2=6條.

4

(2)小明途中恰好經(jīng)過E處，共有4條路線:

1313

①當走/fXfEffA時,全程不等紅綠燈的概率p=lx-xAxl=—

124432

13113

②當走A時，全程不等紅綠燈的概率p--x-x-x=；

22444128

③當走/一b—E—D-A時，全程不等紅綠燈的概率p=-x-xlxl=—；

324432

11313

④當走/一b—七一8—4時，全程不等紅綠燈的概率p=-x-x-x-=—.

42444128

所以途中恰好經(jīng)過￡處，且全程不等信號燈的概率

331311

n=n+n+n+n=---1-----1-----1-----=一

12J"4321283212864

(3)設以下第i條的路線等信號燈的次數(shù)為變量X.,則

i

①第一條:ITH1ETDTA,XI,則E（x）=j

1V4ji4

②第二條:/一尸.C.8.A,X3,-|,則E（X）=3X』=2；

2I4j244

③另外四條路線：ITFTETDTA；

IfFfE->BfA,X~B2,-|(z=3,4,5,6),貝qE(X)=2x2==3,4,5,6)

ik4ji42

綜上，小明上學的最佳路線為/fHfE—D—A；應盡量避開/T■尸“—

【題目點撥】

本題考查概率在實際生活中的綜合應用問題，考查學生邏輯推理與運算能力，是一道有一定難度的題.

19、(1)證明見解析(2)昱

3

【解題分析】

(1)取DE中點R,連接PR,BR，可知MJEF中,PR"FE且長?=JPE,由Q是3c中點，可得則有BQ//PR且

BQ=PR，即四邊形BQPR是平行四邊形，則有PQ//BR，即證得PQH平面DEB.

(2)建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量：機=1Z傳，0，1)/=(0,0/)然后利用空間向量的相關結論可求得二

面角A—跖―。的余弦值.

【題目詳解】

(1)取DE中點R,連接PR,BR,

則在\DEF中，PR//FE,且PR=；FE,

又Q是3c中點，所以==:跖，

而且BQ〃￡F,所以B/PR,

所以四邊形5QPR是平行四邊形，

所以PQ//BR，

又尸。（Z平面DEB,BRu平面DEB,

所以PQ〃平面DEB.

（2）在平面ABE內(nèi)作EG工BE交AB于點G,以E為原點，EG,EB,所分別為x,y,x軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則各點坐標為￡（。，0。）,

(/2,-5/2,2)

所以麗=（0,2,0）,ED=

設平面BED的一個法向量為m=G,y,z）,

m-ED=0,

則V—

m?EB=0,

Q/Xo,i),

取z=l,得根=

又平面ABE的一個法向量為〃=（0,0,1）,

m-n_1_J

所以COS（W

m-n5/3xl3

因此，二面角A-BE-D的余弦值為史

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【題目點撥】

本題考查線面平行的判定，考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力，難度一般.

20、(1)(-V2,-l)u(-l.l)u(l，V2)；(2)%=0或左=±半.

【解題分析】

(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去丁，得到關于了的一元二次方程，根據(jù)根的判別式，即可求出結論；

(2)設(),由⑴可得無，無關系，再由直線/過點(0/)，可得S=l|x—x|=嫄,

),Bx,y進而建

112212AOAB2121

立關于左的方程，求解即可.

【題目詳解】

(1)雙曲線c與直線，有兩個不同的交點，

則方程組｛1有兩個不同的實數(shù)根，

整理得G-k2)X2-2kx-2=0,

1-k2H0

-A=4左2+8(l—左2)〉0，

解得一(人＜且kw±L

雙曲線c與直線/有兩個不同交點時，

左的取值范圍是(-x/2,-1)u(-l.l)u(l，V2).

(2)設交點履\,乙),5(%,,八)，直線，與y軸交于點。(0/)，

-2k

X+X

12~1-^2

,"SB

-2

X-X

12l