4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

2024/9/54.3.2

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第四章

數(shù)列

國(guó)際象棋起源于古印度．相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么．發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依此類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子．請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求."

國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.情景引入

“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依此類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子．請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求."

情景引入各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是：發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)：等比數(shù)列等比數(shù)列前64項(xiàng)和S64

=1+21+22+……+261+262+263問(wèn)題：觀(guān)察相鄰兩項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了與它相鄰的后一項(xiàng)問(wèn)題：將上述①式兩邊同乘以2，得到②式，比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？?jī)墒接疫呏虚g的一些項(xiàng)是相同的①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264由②–①

得：S64

=264–1探究新知S64

=1+21+22+……+261+262+263①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264探究新知已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.故國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言。思考:上述方法能否推廣到求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？S64

=1+21+22+……+261+262+263①

2S64

=②探究新知思考:上述方法能否推廣到求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？反思：縱觀(guān)全過(guò)程，①式兩邊為什么要乘以2

？那乘以3？22？會(huì)達(dá)到一樣的效果嗎？21+22+23+……+262+263+264設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，求{an}的前n項(xiàng)和Sn

.即Sn

=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1①

qSn

=②a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn由①–②得：

當(dāng)q=1時(shí)，分類(lèi)討論：

(1–q)Sn

=a1–a1qn

等比數(shù)列{an}同時(shí)也是常數(shù)列，此時(shí)Sn=na1

Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an

探究新知一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式乘公比錯(cuò)位排列相減錯(cuò)位相減法

探究新知一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗蕴骄啃轮?、等比?shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)欣賞——用等比性質(zhì)推導(dǎo)-----借助和式的代數(shù)特征進(jìn)行恒等變形當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)q≠1時(shí)，探究新知二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)欣賞

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