四川省天府名校2023屆高三模擬六理科數(shù)學(xué)試題

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題六理科數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)（，i是虛數(shù)單位），若是虛數(shù)，則（）A．且 B．或C．或 D．3．與函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．已知直線l與平面，命題p：l與相交，命題q：l在外，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．設(shè)向量，，若對(duì)任意的正數(shù)m，n，向量始終具有固定的方向，則（）A． B． C． D．7．標(biāo)準(zhǔn)的圍棋棋盤共19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況；而我國(guó)北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢(mèng)溪筆談》中，也討論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬(wàn)字五十二”種，即種，下面的數(shù)據(jù)最接近的是（）A． B． C． D．8．，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．9．?dāng)?shù)列滿足，且，則等于（）A．148 B．149 C．152 D．29910．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，，過的直線與C交于A．B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為（）A． B． C． D．11．某圓錐母線長(zhǎng)為，底面半徑為2，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面的面積最大時(shí)，此截面將底面圓周所分成的兩段弧長(zhǎng)之比（較短弧與較長(zhǎng)弧之比）為（）A． B． C． D．12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P和定點(diǎn)A，B，有下列使得P的軌跡存在的條件：（a）P到A，B的距離之和為定值；（b）P到A，B的距離之差為定值；（c）P到A，B的距離之積為定值；（d）P到A，B的距離之比為定值；（e）若P到A，B的距離平方差為定值，且定值不等于．又有下列結(jié)論：①P的軌跡是橢圓；②P的軌跡是圓；③P的軌跡是中心對(duì)稱圖形或軸對(duì)稱圖形；④P的軌跡垂直于AB；⑤一定存在兩圓，使得P的軌跡是這兩圓的公切線．則下列條件和結(jié)論匹配全都正確的有（）A．；；；；B．；；；；C．；；；；D．；；；；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則______．14．節(jié)約能源是人類面臨的重大課題，為了更好地配置電力資源，某市電力部門調(diào)查了一年的居民用電量，發(fā)現(xiàn)每戶居民該年用電量X（單位：千瓦時(shí)）服從正態(tài)分布，且，在該市隨機(jī)抽取500戶居民，設(shè)這500戶居民中該年用電量超過1200千瓦時(shí)的戶數(shù)為E，則______．15．在1815年英國(guó)倫敦出版的著名數(shù)學(xué)科普刊物《男士日記》中刊登了如下問題：如圖所示，設(shè)M為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作弦CD和EF，連接CF和DE分別交AB于點(diǎn)P，Q，則M為PQ的中點(diǎn)．這個(gè)問題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，所以該問題被冠名為“蝴蝶定理”．若點(diǎn)D到AB的距離為，點(diǎn)F到AB的距離為，，△QMD的外接圓為，△PMF的外接圓為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△QMD內(nèi)的概率為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△PMF內(nèi)的概率為，利用蝴蝶定理的結(jié)論，可得，的大小關(guān)系是______．16．已知數(shù)列中，（c為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)其前n項(xiàng)和最小時(shí)，______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）下表是某工廠記錄的一個(gè)反應(yīng)器投料后，連續(xù)8天每天某種氣體的生成量（L）：日期代碼x12345678生成的氣體y（L）481631517197122為了分析該氣體生成量變化趨勢(shì)、工廠分別用兩種模型：①，②對(duì)變量x和y的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下：注：殘差：經(jīng)計(jì)算得，，，，其中，（1）根據(jù)殘差圖、比較模型①，模型②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡(jiǎn)要說明理由；（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；（3）若在第8天要根據(jù)（2）問求出的回歸方程來對(duì)該氣體生成量做出預(yù)測(cè)，那么估計(jì)第9天該氣體生成量是多少？（精確到個(gè)位）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，且△ABC的面積等于，求的值．19．（12分）如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點(diǎn)．（1）在上是否存在點(diǎn)P，使直線平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若（1）中點(diǎn)P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)為，若C上有一點(diǎn)P滿足．（1）求C的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線和，其中直線交C于A，B兩點(diǎn)，直線交D于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最小值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若直線l過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；（2）設(shè)函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．（其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線l和曲線C的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線過點(diǎn)A且與直線1的夾角為45°，若直線與直線l交于點(diǎn)B，求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍．23．選修4-5：不等式選講（10分）已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，n，且，若成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題六1．D．分析：，則．故選D．2．A．分析：由，解得或，故選A．注意：虛數(shù)只要求虛部不為0，純虛數(shù)才會(huì)進(jìn)一步要求實(shí)部為0，不要錯(cuò)選．3．C．分析：，亦可代特值驗(yàn)證．故選C．4．A．分析：若l與相交，則l在外；若l在外，則l與相交或平行，所以p是q的充分不必要條件．故選A．5．D．分析：雙曲線的漸近線方程為，由題意得，故，可設(shè)，則，，離心率．故選D．6．A．分析：僅當(dāng)與共線時(shí)，向量始終具有固定的方向，則，所以．故選A．7．B．分析：據(jù)題意，對(duì)取對(duì)數(shù)，得，即，比較各選項(xiàng)，B中與其最接近，故選B．8．C．分析：構(gòu)造形式，則，時(shí)導(dǎo)函數(shù)，單調(diào)遞增；時(shí)導(dǎo)函數(shù)，單調(diào)遞減．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，根據(jù)單調(diào)性和對(duì)稱性可知C正確，故選C．9．B．分析：由題意得，因?yàn)?，，所以，．故選B．10．D．分析：如圖，連接，由題設(shè)，可知，，，則，，由余弦定理，在中，可得，在中，可得，因?yàn)椋?，即，得，所以，解得，或（舍去），故選D．11．B．分析：法一（幾何法）：該圓錐軸截面是等腰三角形，腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)4，所以頂角為鈍角．如圖所示，設(shè)截面為△SMN，顯然，當(dāng)時(shí)，截面三角形面積最大，此時(shí)，，此時(shí)，所以截得的兩段弧長(zhǎng)之比為．故選B．法二（代數(shù)法）：如圖所示，截面為△SMN，F(xiàn)為MN的中點(diǎn)，設(shè)，所以，，，故，所以當(dāng)時(shí)截面面積最大，此時(shí)，所以截得的兩段弧長(zhǎng)之比為．故選B．法三（代數(shù)法）：如圖所示，截面為△SMN，F(xiàn)為MN的中點(diǎn)，設(shè)，，所以，，，所以，，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，此時(shí)，所以截得的兩段弧長(zhǎng)之比為．故選B．12．C．改為分析：對(duì)條件和結(jié)論逐一考慮：（a）P到A，B的距離之和為定值，則定值．若定值，則P的軌跡為線段AB，若定值，則P的軌跡為橢圓，故（a）與③匹配；（b）P到A，B的距離之差為定值．則P的軌跡為雙曲線，故（b）與③匹配；（c）P到A，B的距離之積為定值．設(shè)，，，則有，化簡(jiǎn)得，故（c）與③匹配；（d）P到A，B的距離之比為定值．設(shè)，，，則有或，化簡(jiǎn)得或，當(dāng)時(shí)，P的軌跡為，當(dāng)時(shí)，P的軌跡為圓，故（d）與③匹配；（e）若P到A，B的距離平方差為定值，且定值不等于．設(shè)，，，則有，化簡(jiǎn)得，其中，故（e）與⑤匹配．故選C．13．1．分析：由得．14．100．分析：由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，則，所以．15．．分析：設(shè)△QMD外接圓的半徑為，△PMF外接圓的半徑為，點(diǎn)D到AB的距離為，點(diǎn)F到AB的距離為，由圖可知．根據(jù)正弦定理，有，，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以?6．5或6．分析：構(gòu)造函數(shù)，則，考慮的正負(fù)情況，易得在上先減后增，且，所以，，，，均小于0，時(shí)，，所以最小時(shí)，或6．17．解：（1）選擇模型①，理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出：模型②的殘差明顯比模型①大，（回答：模型②的估計(jì)值和真實(shí)值的差距比模型①大也可），所以模型①的擬合效果相對(duì)較好；（2）由（1）可知y關(guān)于x的回歸方程為，令，則，由所給的數(shù)據(jù)可得，，，則，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）將代入回歸方程，可得，所以預(yù)測(cè)該氣體第9天的生成量約為157L．18．解：（1）因?yàn)椋裕?，所以，所以，即，得，所以．?）由，得，所以．又由余弦定理，，所以．所以．19．解：（1）存在，證明如下：在四棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫钥稍谄矫鎯?nèi)作，由平面幾何知識(shí)可證，所以，可知P是中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以平面．即存在線段的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件．滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，證明如下：當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以過作平行于CQ的直線既在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，而在平面內(nèi)過只能作一條直線，故滿足條件的點(diǎn)P只有唯一一個(gè)．所以，有且只有的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P，使直線平面．（2）過點(diǎn)D作，垂足為F，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以DA，DF，兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有即令，得，，所以．設(shè)平面的法向量為．則有即令，得，，所以．所以．故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20．解：（1）由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓C的半焦距，又C上有一點(diǎn)P滿足，所以橢圓C的離心率，得，，所以C的方程是．（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線PQ即為x軸，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，A，B為橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，直線軸，，四邊形APBQ的面積；當(dāng)直線AB的斜率時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立直線AB與橢圓C的方程消去y，得，則，．則弦長(zhǎng)，設(shè)，，聯(lián)立直線PQ與拋物線D的方程消去y，得，則，由拋物線的定義，弦長(zhǎng)，由于，則四邊形APBQ的面積，令，則，即，令，得，可知時(shí)，，則單調(diào)遞增，則，綜上可知，當(dāng)直線AB斜率時(shí)，四邊形APBQ面積有最小值8．21．解：（1）由題可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，所以切線l的方程為，又切線l過點(diǎn)，所以有，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即只有唯一解，所以，．所以直線l的方程為．（2）因?yàn)?，注意到，所以所求問題等價(jià)于函數(shù)在上沒有零點(diǎn)．因?yàn)椋杂?，得，即，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以．此時(shí)函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，在上的最小值為，所以?dāng)時(shí)，在上的最大值，即此時(shí)函數(shù)在上有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上滿足，此時(shí)函數(shù)在上沒有零點(diǎn)