2024年湖南省祁陽市中考二模數(shù)學試題（解析版）

祁陽市2024年中考第二次模擬考試

九年級數(shù)學（試題卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的；請將你認為正確的選項填涂到答題卡上）

1.某班期末考試數(shù)學的平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分，小英的成績記作-3分，表示得了

（）分.

A.86B.83C.87D.80

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查正負數(shù)的概念，關鍵是掌握正負數(shù)表示的實際意義.由正負數(shù)的概念可計算.

【詳解】解：平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分，小英的成績記作-3分，

貝483—3=80

表示得了80分，

故選：D.

2.下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋

轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關鍵.

3.下列計算正確的是()

A.a6^a2=a3B.(―叫、"

C.(a+1)(。-1)=a?-1D.a2+a3—a5

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了幕的運算、合并同類項、平方差公式等知識，根據(jù)運算法則和乘法公式計算后即可得

到答案.

624

【詳解】解：A.a^a=a,故選項錯誤，不符合題意；

B.(-a2)5=-a'°,故選項錯誤，不符合題意；

C.(o+l)(a-l)=o2-l,故選項正確，符合題意；

D./與/不是同類項，不能合并，故選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

4.遼寧艦是中國人民海軍第一艘可以搭載固定翼飛機的航空母艦，滿載排水量為67500噸，這個數(shù)據(jù)用科

學記數(shù)法表示為()

A.6.75x103噸B.6.75x104噸C.0.675'1。5噸D.67.5'1()3噸

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中i<|a|<io,n為整數(shù).確定n的值是易錯點，由于67500

有5位，所以可以確定n=5-l=4.

【詳解】67500=6.75x104.

故選B.

【點睛】考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中i<|a|<io,n

為整數(shù)，其中解題關鍵是確定a與n值是關鍵.

5.樺卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結構方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫樟，

凹進部分叫卯，下圖是某個部件“卯”的實物圖，它的主視圖是()

____________

/

主視方向

A.；；B.；；C.-------「D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)主視圖是從前向后觀察到的圖形，進行判斷即可.

【詳解】解：由題意，得：“卯”的主視圖為：

故選C.

【點睛】本題考查三視圖，熟練掌握三視圖的畫法，是解題的關鍵.

6.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點尸，點

少為焦點.若Nl=155°,N2=30。，則N3的度數(shù)為（）

D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】利用平行線的性質及二角形外角的性質即可求解.

【詳解】解：

/.Nl+Z5m=180°,

，ZRFO=180°—155。=25°,

,ZZPOF=Z2=30°，

Z3=ZPOF+ZBFO=300+25°=55°；

A

故選：c.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質等知識，掌握這兩個知識點是關鍵.

7.下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩人10次測試成績的方差分別是“2=4,=14,則乙的成績更穩(wěn)定

B.某獎券的中獎率為「一，買100張獎券，一定會中獎1次

100

C.要了解神舟飛船零件質量情況，適合采用抽樣調(diào)查

D.》=3是不等式2（》-1）＞3的解，這是一個必然事件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)方差的意義，概率的意義，抽樣調(diào)查與普查，不等式的解與必然事件的定義逐項分析判斷

【詳解】解：A.甲、乙兩人10次測試成績的方差分別是S『=4,S/=14,則甲的成績更穩(wěn)定，故該選項

不正確，不符合題意；

B.某獎券的中獎率為二一，買100張獎券，可能會中獎1次，故該選項不正確，不符合題意；

100

C.要了解神舟飛船零件質量情況，適合采用全面調(diào)查

D.解：2（x-l）＞3,

2x＞5,

解得：x＞—,

2

???X=3是不等式2（》-1）＞3的解，這是一個必然事件，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了方差的意義，概率的意義，抽樣調(diào)查與普查，不等式的解與必然事件的定義，熟練掌

握以上知識是解題的關鍵.

8.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯

文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可

乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（）

x-2x八

D.-------=-+9

32

【答案】B

【解析】

【分析】設有x人，根據(jù)車的輛數(shù)不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解.

【詳解】解：設有X人，根據(jù)車的輛數(shù)不變列出等量關系，

Y

每3人共乘一車，最終剩余2輛車，則車輛數(shù)為：一+2,

3

Y—9

每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，則車輛數(shù)為：——，

2

xx—9

列出方程為：-+2=——.

32

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關

鍵.

9.如圖，已知拋物線>；="2+區(qū)-2的對稱軸是直線x=-l,直線/〃x軸，且交拋物線于點尸（國,必）,

。（馬，%），下列結論錯誤的是（）

A.Z?2+8?>0B.3a>2

C.若實數(shù)加大-1,則。-6〈。加之+人機D.當y〉一2時，Xj-x2<0

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質，數(shù)形結合思想等知識，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題關

鍵.

根據(jù)函數(shù)圖象可知a>0,由此可判斷出A；根據(jù)拋物線的對稱軸可得出b=2a,也可得出函數(shù)的最小值,

在x=-1處取到，由此可判斷C；令x=0,則歹=-2,即拋物線與了軸交于點（0,-2）,根據(jù)函數(shù)圖象可

直接判斷D；C沒有直接條件判斷.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知a>0,根據(jù)拋物線的對稱軸公式可得x=-2=-1,

2a

..b—2。，

:,b2〉0,-8。<0,

b1>-Sa，+8^z>0?故A正確，不符合題意；

???函數(shù)的最小值在x=-1處取到，

,若實數(shù)加。一1,則〃一b-2<〃加2+6加一2，即若實數(shù)加。一1,則〃一6<。加2+/?加.故C正確，不

符合題意；

■:/〃％軸，

?>-Ji=%，

令x=0,則y=—2,即拋物線與歹軸交于點（0,—2）,

當必二%〉一2時，石<0,%2>0.

工當M二%〉-2時，再?％2<0.故D正確，不符合題意；

,/?>0,

3a>0,沒有條件可以證明3a>2.故B錯誤，符合題意；

故選：B.

10.如圖，矩形48c。中，AB=3,BC=4,以點2為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BC,BD于

點、E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于工￡尸長為半徑畫弧交于點P,作射線AP,過點C作AP的垂

2

線分別交AD,AD于點M,N,則CN的長為（）

A.屈B.VT1c.2A/3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由作圖可知AP平分NC8。，設AP與CN交于點。，與C。交于點R,作于點°,

根據(jù)角平分線的性質可知RQ=RC,進而證明RtABCR之RtA80R,推出5c=80=4,設

4

RQ=RC=x,則。R=C?！狢R=3—x,解R^DQ?求出。R=CR=5.利用三角形面積法求出

0C,再證△OCRSADCN,根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出CN.

【詳解】解：如圖，設AP與CN交于點。，與CD交于點R,作于點。，

B—m。

???矩形Z8C。中，AB=3,8C=4,

CD=AB=3,

BD=yjBC2+CD2=5-

由作圖過程可知，BP平分NCBD,

???四邊形48CZ)是矩形，

???CD1BC,

又RQLBD,

RQ=RC,

在Rt^BCR和RtqQR中,

RQ=RC

BR=BR'

RtABCR^Rt^BQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=BD_BQ=5_4=\,

設RQ=RC=x,則=CR=3—x,

在RtA。/中，由勾股定理得。氏2=。。2+R。2,

即（3—X『=12+x2,

4

解得x=-,

3

4

CR=-.

3

BR=J5c2+CR2=-ViO.

3

S、BCR=-CRBC=-BROC,

22

4X4

：.oc=雪生J_=>?

BRd麗

3

ACOR=ZCDN=90°,/OCR=ZDCN,

AOCRSADCN,

24

OCCRnn-Vio

--------，即53，

DCCN~

3CN

解得CN=麗.

故選A.

【點睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股

定理，相似三角形的判定與性質等，涉及知識點較多，有一定難度，解題的關鍵是根據(jù)作圖過程判斷出

BP平分NCBD,通過勾股定理解直角三角形求出CR.

二、填空題(本大題共8個小題，每小題3分，共24分；請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi))

11.因式分解：/_4。=.

【答案】a{a+2)((7-2)

【解析】

【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.

［詳解］解：a?—4。==a(q+2)(。一2)

【點睛】本題考查因式分解，掌握因式分解方法是關鍵.

12.在“慶五四?展風采”的演講比賽中，7位同學參加決賽，演講成績依次為：77,80,79,77,80,

79,80.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

【答案】80

【解析】

【分析】本題考查了眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

根據(jù)眾數(shù)的概念求解即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是：80,

故眾數(shù)是80.

故答案為：80.

2x-4>2,

13.不等式組<的解集為____________

3x—7<8

【答案】3Wx<5

【解析】

【分析】分別解兩個不等式，再取兩個解集的公共部分即可.

2x-4>2?

【詳解】解:[3x-7<8②

由①得：x>3,

由②得：x<5,

...不等式組的解集為：34x<5；

故答案為：3<x<5

【點睛】本題考查的是一次不等式組的解法，掌握一元一次不等式組的解法步驟與方法是解本題的關鍵.

14.拋物線y=—2（x—3>+4的頂點坐標是

【答案】（3,4）

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，熟記y=a（x-人）2+左的頂點坐標為（〃#）是解題的關鍵.根據(jù)二次函

數(shù)頂點式的性質，即可得出答案.

【詳解】解：^=—2（》—3）2+4的頂點坐標為（3,4）.

故答案為：（3,4）.

15.如圖，內(nèi)接于4B是OO的直徑，點。是上一點，ZCDB=55°,貝=

【答案】35

【解析】

［分析］由同弧所對的圓周角相等，得N4=ZCDB=55°,再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得/ACB=90°，

然后由直角三角形的性質即可得出結果.

【詳解】解：QN4NCD8是病所對的圓周角,

/Z=ZCDB=55°,

是的直徑，

■：ZACB=90°,

在RtZUCB中，ZABC=90°-=90°-55°=35°,

故答案為：35.

【點睛】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質，利用了轉化的思想，熟練掌握圓周角定理是解

本題的關鍵.

16.用半徑為21cm,圓心角為120。的扇形紙片，圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓的半徑為

【答案】7

【解析】

【分析】本題考查了扇形的弧長和圍成圓錐的底面圓的周長的關系，熟知扇形的弧長等于底面圓的周長是

解本題的關鍵.

設底面圓的半徑為心根據(jù)扇形的弧長等于底面圓的周長列出方程，進而得出底面圓半徑.

【詳解】解：設底面圓的半徑為「，

120x21x乃

根據(jù)題意可得:=17ir,

180

解得：r=7,

...底面圓的半徑為7cm,

故答案為：7.

/\k

17.如圖，點幺(2,2)在雙曲線夕=—@>0)上，將直線0Z向上平移若干個單位長度交V軸于點B,交雙

【答案】(72,272)

【解析】

4

【分析】求出反比例函數(shù)解析式歹=—(x>0),證明/。。4=45°,過點A作x軸的垂線段交x軸于點

E,過點C作了軸的垂線段交V軸于點。，通過平行線的性質得到ND8C=45°,解直角三角形求點C

的橫坐標，結合反比例函數(shù)解析式求出。的坐標，即可解答.

【詳解】解：把幺(2,2)代入廣々工>0),可得2=[,解得左=4,

x2

4

，反比例函數(shù)解析式歹=—(x>0),

X

如圖，過點A作X軸的垂線段交X軸于點E,過點c作了軸的垂線段交了軸于點。，

???/（2,2）,

AE=OE,

ZAOE=45°,

ZAOD=90°—NAOE=45°,

將直線0A向上平移若干個單位長度交丁軸于點B,

480=45°,

2=,也45。=也

在Rt^CBD中,

CB2

:.CD=—CB=s/2,

2

即點C的橫坐標為行，

把》=四代入^=3（》＞0），可得^=2啦，

X

.?.C（V2,2V2）,

故答案為：（、歷,20）.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，一次函數(shù)的平移，解直角三角形，熟練求得點。的橫坐標

是解題的關鍵.

18.如圖，在直角坐標系中，。為坐標原點，矩形48c。，3點坐標為（4,2）,4、C分別在＞軸、x軸

上；若。點坐標為（1,0）,連結40,點￡、點廠分別從/點、8點出發(fā)，在48上相向而行，速度均為

1個單位/每秒，當E、尸兩點相遇時，兩點停止運動；過E點作EG〃幺。交x軸于〃點，交y軸于G

點，連結FG、FH,在運動過程中，AFG〃的最大面積為.

9

【答案】三

2

【解析】

A-2

【分析】先求直線的解析式，進而設直線EG的解析式為y=-2x+b,得出BF=NE=',即

117

EF=6-b,利用S.FGH=S.EFG+S.EFH=萬所?OG得出S刖=一/伍一3）一+4.5,根據(jù)二次函數(shù)求

最值的方法求解即可.

【詳解】解：,??矩形48c。，8點坐標為(4,2),

OA=BC=2,

二2(0,2),

設直線AD的解析式為y^kx+2,

把D點坐標為(1,0)代入，得0=(+2,

解得左=—2,

直線AD的解析式為y=—2x+2,

EG//AD,

/.設直線EG的解析式為y^-2x+b,

：.G（0,b）,

h-2

當＞=2時，x=——

2

I

:.E

AE=^^,

2

b-2

BF=AE=------,

2

b-2

:.EF=4-2x--=6-b,

2

/.STT=S+SFFH=—EF-OG,

AJFPCCJ/IAZirCjAFFC4口ttiA?

119

=-（6-Z?）-Z）=--（6-3y+4.5,

2

...AEG〃的最大面積為4.5,

故答案為：4.5.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，矩形的性質，二次函

數(shù)的最值，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共66分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程)

19.計算：2sin30。一我+(2—乃)°+(—1『°24

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，立方根.根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，立

方根的性質計算即可.

【詳解】解：2sin30。一般+（2—乃）°+（—1）2°24

=2x4-2+1+1

2

=1—2+1+1

=1.

V—1

20.先化簡，再求值:其中x=3.

x"—2x+1

3

【答案】

4

【解析】

xX

【分析】本題考查了分式化簡求值，先通分括號內(nèi)，再運算除法,然后化簡得出一，最后把x=3代入一

x+lX+1

進行計算，即可作答.

【詳解】解：（1+工式―1

IX—1X?—2x+1

%一］（X-1）2

Xx-1

=---------X----------

x-1X+1

X

X+1

1=3,

21.指向五育并舉的過程性評價是新時代教育改革與發(fā)展的重大命題.黨的二十大報告指出：“全面貫徹黨

的教育方針，落實立德樹人根本任務，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人.某初中學校

為加強勞動教育，開設了勞動技能培訓課程.為了解培訓效果，學校對七年級320名學生在培訓前和培訓

后各進行一次勞動技能檢測，兩次檢測項目相同，評委依據(jù)同一標準進行現(xiàn)場評估，分成“合格”、“良

好”、“優(yōu)秀”3個等級，依次記為2分、6分、8分（比如，某同學檢測等級為“優(yōu)秀”，即得8分）.學

校隨機抽取32名學生的2次檢測等級作為樣本，繪制成下面的條形統(tǒng)計圖：

(2)求這32名學生培訓后比培訓前的平均分提高了多少？

(3)利用樣本估計該校七年級學生中，培訓后檢測等級為“良好”與“優(yōu)秀”的學生人數(shù)之和是多少？

【答案】(1)合格(2)這32名學生培訓后比培訓前的平均分提高了2.5分

(3)培訓后檢測等級為“良好”與“優(yōu)秀”的學生人數(shù)之和是240

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關

鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

(1)中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)

為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個數(shù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(2)根據(jù)條形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)計算即可.

(3)用樣本估計總體即可.

【小問1詳解】

由題意得，這32名學生在培訓前得分的中位數(shù)對應等級應為合格.

故答案為：合格.

【小問2詳解】

培訓前的平均分：(25x2+5x6+2x8)+32=3(分)；

培訓后的平均分：(8x2+16x6+8x8)+32=5.5(分)；

培訓后比培訓前的平均分提高了2.5分.

【小問3詳解】

竺

樣本中培訓后“良好”的比例為:

382

樣本中培訓后“優(yōu)秀”的比例為:

32

，培訓后檢測等級為“良好”與“優(yōu)秀”的學生人數(shù)之和是320x(0.50+0.25)=240.

22.2022年7月19日亞奧理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運會，吉祥

物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，如圖，某校準備舉行“第19屆亞運會”知識競賽活動，擬購買30套吉

祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎品.某商店有甲，乙兩種規(guī)格，其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套

貴20元.

斜

%力

宸宸琮琮萼蓮,

ChenChenCongCongLianLian

（1）若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價格;

（2）在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費用最少？

【答案】（1）甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元

（2）乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費用最少

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等量關系：700元購買甲規(guī)格數(shù)量=900元購買乙規(guī)格的數(shù)量，列出方程求解即可;

（2）設乙規(guī)格購買。套，根據(jù)題意列出總費用與。所滿足的關系式為一次函數(shù)，再求出。的取值范圍，用

一次函數(shù)的增減性可求解.

【小問1詳解】

解：設甲規(guī)格吉祥物每套價格X元，則乙規(guī)格每套價格為（X+20）元,

根據(jù)題意，得迎

xx+20

解得x=70.

經(jīng)檢驗，x=70是所列方程的根，且符合實際意義.

x+20=70+20=90.

答：甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元.

【小問2詳解】

解：設乙規(guī)格購買。套，甲規(guī)格購買（30-a）套，總費用為少元

根據(jù)題意，得

30—。（2〃，

解得a210，

沙=90。+70(30-a)=20。+2100,

?/20>0,

沙隨。的增大而增大.

，當a=10時，沙最小值.

故乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費用最少.

【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式及一次函數(shù)的應用，根據(jù)實際意義找出所含的等量

關系，并正確列出分式方程及一次函數(shù)是解題的關鍵.

23.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)^=ax+6(a<0)與反比例函數(shù)y=&(kwO)交于

X

A(-m,3m),8(4,-3)兩點，與y軸交于點C,連接。4,OB.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)求08的面積；

(3)請根據(jù)圖象直接寫出不等式￡<ax+b的解集.

X

123

【答案】(1)y=-----，y=——x+3；

x2

(2)9；(3)—2或0<x<4.

【解析】

【分析】(1)把點8代入反比例函數(shù)歹=&化/0),即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點/代入反比例函

JC

數(shù)，即可求得點/的坐標；把點/、8的坐標代入一次函數(shù)一次函數(shù)〉="+〃。<0)即可求得。、6的值,

從而得到一次函數(shù)的解析式；

(2)&4O8的面積是AZOC和的面積之和，利用面積公式求解即可；

(3)利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對應的x%范圍，直接得出結論.

【小問1詳解】

?.?點8（4,-3）在反比例函數(shù)＞=（的圖象上,

解得：k=—12

反比例函數(shù)的表達式為y=--.

X

12

4（—加,3加）在反比例函數(shù)y=-----的圖象上，

x

3rm=----1-2-,

—m

解得加i=2,m2=-2（舍去）.

?,?點4的坐標為（-2,6）.

???點8在一次函數(shù)y=〃％+人的圖象上，

/\/\—2a+Z?—6

把點z（-2,6）,8（4,-3）分別代入，得%+6=_3

3

解得彳2,

b=3

3

...一次函數(shù)的表達式為y=--x+3；

【小問2詳解】

,/點C為直線28與y軸的交點，

3

...把x=0代入函數(shù)y=—萬》+3,得y=3

點C的坐標為（0,3）

/.OC=3,

?C—CIC

,?Q"OB-2"OC丁U&BOC

=^-OC-\xA\+^-OC-\xB\

=—x3x2+—x3x4

22

=9.

【小問3詳解】

k

由圖象可得，不等式一<ax+6的解集是x<—2或0<x<4.

【點睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)

函數(shù)與不等式的關系，求出兩個函數(shù)解析式是解本題的關鍵.

24.脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面

示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線.為了測量房屋的高度，在地面上C點

測得屋頂A的仰角為35。，此時地面上C點、屋檐上￡點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向

走8加到達點。時，又測得屋檐E點的仰角為60。，房屋的頂層橫梁跖=12切，EF//CB,AB交EF

于點G（點C,D,8在同一水平線上）.（參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.6,cos35°?0.8,tan350~0.7,

V3?1.7）

（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離幺G；

（2）求房屋的高4s（結果精確到加）.

【答案】（1）4.2米；（2）14米

4G

【分析】（1）EF//CB可得NAEG=ZACB=35°,在R/A4GE中由tan/ZEG=——即可求/G；

EG

（2）設EH=x,利用三角函數(shù)由x表示DH、CH,由DH-CH=S列方程即可求解.

【詳解】解：（1）???房屋的側面示意圖是軸對稱圖形，48所在直線是對稱軸，EF//CB,

.■.AGVEF,EG=-EF=6,ZAEG=ZACB=35°.

2

在R/ZUGE中，ZAGE=90°,ZAEG=35°,

AQ

tan/AEG=----,EG=6,tan35°?0.7.

EG

.??4G=6tan35°a42（米）

答：屋頂?shù)綑M梁的距離NG約是4.2米.

(2)過點E作J.C8于點“，設EH=x,

在RtAEDH中,ZEHD=90°,ZEDH=60°,

FHx

???tanNEDH=——,DH=------,

DHtan60°

在及AECH■中，ZEHC=90°,ZECH=35°,

FHx

???tanAECH=——,：.CH=------

CHtan35°

■■CH-DH=CD=8,

^=8,

tan35°tan60°

??,tan35°~0.7,^3?1.7,

解得xa9.52.

AB=AG+BG=4.2+9.52=13.72a14(米)

答：房屋的高48約是14米.

【點睛】本題主要考查了仰角的定義及其解直角三角形的應用，解題時首先正確理解仰角的定義，然后構

造直角三角形利用三角函數(shù)和已知條件列方程解決問題.

25.如圖，在OO中，43是一條不過圓心。的弦，點C,。是筋的三等分點，直徑CE交4B于點、F,

連結交C戶于點G,連結ZC,過點。的切線交比1的延長線于點X.

E

(1)求證：AD//HC；

(2)若竺=2,求tanNE4G的值；

GC

(3)連結BC交/。于點N,若OO的半徑為5.

①若4H=廂,求ZN的長;

②若HF-AB=88,求△8HC的面積.

【答案】(1)見解析(2)"

5

<->13…128

（3）①了②丁

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得就=而=房，再由HC是。。的切線，即可求證.

(2)先證明AG4G44G(ASA),設出CG,根據(jù)勾股定理即可求解.

(3)①根據(jù)題意可得密=①=麗，再由勾股定理及相似三角形的性質即可求解；

②作出輔助線，設出CG,利用勾股定理及相似三角形的性質可得方程10x+M5-2x)=22,進而可求得

SACHA=8,再證明即可解答?

【小問1詳解】

證明：???點C,。是筋的三等分點，

,^?=麗=房,

???CE是。。的直徑，

CEVAD,

??,HC是。。的切線，

HC1CE,

AD//HC；

【小問2詳解】

如圖，連接。4,

E

HC

圖1

■.-BD=CD>

ZBAD=ACAD,

CE1AD,

ZAGCZAGF=9Q°,

---AG=AG,

.-.ACAG^AFAG(ASA)

CG=FG,

設CG=a,則FG=a,

OG-

----=2,

CG

OG=2a,AO=CO=3Q

在RtAAOG中，AO2=AG2+OG2

/.(3a)2=AG2+(2a)2,

AG=y/~5a,

tanZFAG=—=—

AG5

【小問3詳解】

①如圖2,連接CD,

E

圖2

???AD//HC,FG=CG,

AH=AF,

?：AHCF=90°,

AC=AH=AF=V10,

設CG=x，則EG=x,OG=5-x,

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2.

25-(5-X)2=10-X2,

解得x=l,

.-.AG=3,AD=2AG=6,

?：AC=CD=DB'

ZDAC=/BCD,CD=AC=V10,

???ZCDN=NADC,

:.ACDNsAADC,

NDCD

"CD~AD，

」.ND旦三

AD3

13

/.AN=AD-DN=—

3

②如圖3,過點。作于點則2河="3=<48,

圖3

設CG=x，則EG=x,OG=5—x,09=5—2x,

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x

AD//HC,FG=CG,

AH=AF=^HF,

:.AG=；HC,

AF-AM=-HF--AB=-HF-AB=-x88=22,

2244

ZAGF=ZOMF=90°,ZAFG=ZOFM,

:AAFGSAOFM,

,AF_GF

"OF~FM，

AF-FM=OF-GF,

AF-AM=AF\AF+FM)=AF~+AF-FM=AF2+OF-GF=22,

/.10x+x(5-2x)=22,

解得再=2，12=5.5(舍去),

CG=FG=2,

/.OG=3,

.\AG=4,

:.HC=8,AH=AF=2下,

S=-/fC-CG=8,

ALHA2

vAD//HC,

ACAD=ZACH,

vAC=CD^

NB=ACAD,

ZB=ZACH,

NH=ZH,

:ACHASABHC,

-SgHC=

【點睛】本題考查了圓的綜合應用，涉及相似三角形的性質和判定，圓周角定理及其推論，全等三角形的

性質和判定，勾股定理，三角函數(shù)等知識點，解題的關鍵是作出輔助線，構造相似三角形解答.

26.定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標等于它的橫坐標的三倍，則稱該點為“縱三倍

點”.例如(1,3),(—2,—6),(、歷,3夜)都是“縱三倍點”.

(1)下列函數(shù)圖象上只有一個“縱三倍點”的是；(填序號)

21

@y=-2x+l；?y=一；?y=x1+x+\.

x

(2)已知拋物線y=x?+