知識(shí)1 實(shí)數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖表）-2023年中考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)

知識(shí)必備01數(shù)與式（公式、定理、結(jié)論圖表）

匚思維導(dǎo)圖

實(shí)數(shù)化筒計(jì)笄

實(shí)際問題

分式

數(shù)的開方化簡(jiǎn)計(jì)算

］、知識(shí)梳理

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)及其分類

實(shí)數(shù)可以按照下面的方法分類：

f正整數(shù)

，整數(shù)零

負(fù)

數(shù)

I整

有

數(shù)

理

正

數(shù)

分

分?jǐn)?shù)r

數(shù)

負(fù)

分

實(shí)

數(shù)i

無理數(shù)｛正無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

實(shí)數(shù)還可以按照下面的方法分類:

正有理數(shù)J正整數(shù)

I定分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

實(shí)數(shù)《零

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)｛

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

典例1：實(shí)數(shù)—2,0.3,,-兀中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是()

7

A.2B.3C.4D.5

【思路點(diǎn)撥】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：

7171

(1)字母型：如五是無理數(shù)，一、一等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；

24

(2)構(gòu)造型：如2.10100100010000…(每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0)就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；

(3)根式型：五氐娠…都是一些開方開不盡的數(shù)；

(4)三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.

【答案】A；

【解析】本題主要考查無理數(shù)的概念.無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，、回，-兀都是無限不循環(huán)小數(shù)，

故共有2個(gè)無理數(shù).

【總結(jié)升華】無理數(shù)通常有以下幾類：①開方開不盡的數(shù)；②含乃的數(shù)；③看似循環(huán)但實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)；

④三角函數(shù)型：sin35°、tan27。、cos290等.抓住這幾類無理數(shù)特征，則可以輕松解決有關(guān)無理

數(shù)的相關(guān)試題.

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來,

數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

3.相反數(shù)

實(shí)數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù).零的相反數(shù)是零.

一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩旁，并且離原點(diǎn)的距離相等.

4.絕對(duì)值

一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零，即

如果a>0,那么|a|=a；

如果a<0,那么|a|=-a；

如果a=0,那么|a|=0.

典例2：閱讀下面的材料，回答問題：

點(diǎn)48在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,46兩點(diǎn)之間的距離表示為.當(dāng)人6兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原

點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)/在原點(diǎn)，如圖IT,|A5|=|O同=網(wǎng)=|a—小當(dāng)/、6兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí):

(1)如圖「2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|=網(wǎng)—問=/?一a=

O(A)B

-----------------------------1----------------------------?

0b

圖1-1

04B

______________L_1_____________1____________?

0ab

圖1-2

(2)如圖1-3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|4同=|。國(guó)—|Q4m—同=—/?—(―a)=a—b—\a

(3)如圖1-4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|=|OA|+|OB|=同+網(wǎng)=a+(—A)—a—b=|t7—Z?|.

B0A

1-J---------------1------------------A

b0a

圖1-3

綜上，數(shù)軸上48兩點(diǎn)之間的距離|A同=|a-q.

回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示一2和一5的兩點(diǎn)之間的距離

是；數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是.

(2)數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是.如果|4耳=2,那么下.

【答案】(1)3,3,4；(2)x=l或x=—3.

依據(jù)閱讀材料，所獲得的結(jié)論為|A4=|a-耳，結(jié)合各問題分別代入求解.

(1)|2-5|=3,|-2-(-5)|=3,|1-(-3)|=4；(2)|AB|=|x-(-l)|=|x+l|；

因?yàn)閨AB|=2,所以|X+1|=2,所以x+l=2或x+l=—2.所以無=1或x=—3.

5.實(shí)數(shù)大小的比較

(1)在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.

(2)正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的那個(gè)負(fù)數(shù)反而小.

(3)對(duì)于實(shí)數(shù)。、b,a-b>0od>b\a-b=0<^>a=b；a-b<0oa<b.

常用方法：①數(shù)軸圖示法；②作差法；③作商法；④平方法等.

6.有理數(shù)的運(yùn)算

運(yùn)算律：

加法交換律a+b=b+a；

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交換律ab=ba；

乘法結(jié)合律(ab)c-a,(be)；

分配律a(b+c)=ab+ac.

(3)運(yùn)算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運(yùn)算中，力口、減是第一級(jí)運(yùn)算，乘、除是第二級(jí)

運(yùn)算，乘方、開方是第三級(jí)運(yùn)算.在沒有括號(hào)的算式中，首先進(jìn)行第三級(jí)運(yùn)算，然后進(jìn)行第二級(jí)運(yùn)算，最后

進(jìn)行第一級(jí)運(yùn)算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減.

算式里如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

如果只有同一級(jí)運(yùn)算，從左到右依次運(yùn)算.

典例3：t+B1口X(—2.4)；

517、2

【答案】—1+——+—x(-2.4)=——1.5+0.4-1.4=-1.5-1.4=-2.9

8612J5

7.平方根

如果x2=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).

8.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.零的算術(shù)平方根是零.

9.近似數(shù)及有效數(shù)字

近似地表示某一個(gè)量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個(gè)量準(zhǔn)確值的近似數(shù).一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說

這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)

數(shù)的有效數(shù)字.

10.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)記成土aX10"的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法

表示這個(gè)數(shù).

考點(diǎn)二、二次根式、分式的相關(guān)概念、性質(zhì)

1.二次根式的概念

形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式.

2.最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念

最簡(jiǎn)二次根式是指滿足下列條件的二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

3.二次根式的主要性質(zhì)

(1)4a>0(tz>0)；

(2)(G)=a(a20)；

/—r[a(a>0)

(3)yja=|a|=s；

[-a(a<0)

(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：4ab=4a-4b{a>Q,b>0)；

[a_4a

(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):(a>0,Z?>0).

y/b

4.二次根式的運(yùn)算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并.

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

典例4：(1)705-V24+2J1+V0.125-V6；

【思路點(diǎn)撥】

在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，一般先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式.在進(jìn)行二次根式的

乘除運(yùn)算時(shí)，一般先進(jìn)行乘除運(yùn)算，再化成最簡(jiǎn)二次根式.無論進(jìn)行何種運(yùn)算，最后結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二

次根式的形式.

【答案與解析】

⑴后—4+—#=*2祈+孚+亨—新=孚+子—3人

【總結(jié)升華】

在二次根式運(yùn)算中，要注意根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).能夠運(yùn)用乘法公式使運(yùn)算簡(jiǎn)捷

一些的，可以應(yīng)用乘法公式.

5.代數(shù)式的有關(guān)概念

(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代

數(shù)式.

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的分類：

整式［單項(xiàng)式

f有理式多項(xiàng)式

代數(shù)式I分式

I無理式

(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算(包含數(shù)字開方運(yùn)算)的代數(shù)式，叫做有理式.

(3)整式：沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算但除式里不含字母的有理式叫做整式.

整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義.

6.整式的運(yùn)算

(1)整式的加減：整式的加減運(yùn)算，實(shí)際上就是合并同類項(xiàng).在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法

則，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

(2)整式的乘法：

①正整數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：

cT?an=a",+"；

(ab)m=am.bm；

gwo,m>n).

其中m、n都是正整數(shù).

②整式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同字母，用它們的指數(shù)的和

作為積里這個(gè)字母的指數(shù)，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

③乘法公式：

(a+6)(?！猙)—ci~-b~；

(a+b)2—a2+2ab+b1.

④零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在。"+a"=a""(aWO,m,n都是正整數(shù))中，當(dāng)m=n時(shí)，規(guī)定a°=l；

當(dāng)m<n時(shí)，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定

ap

7.因式分解

(1)因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解.

在因式分解時(shí)，應(yīng)注意：

①在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定

數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.

②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成舞的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn).

(2)因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

②運(yùn)用公式法：cr-b2-(?+/?)(?-/?)；a1±2ab+b2-(a+Z?)2；

③十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

④運(yùn)用求根公式法：若+/^+。=0(。彳0)的兩個(gè)根是七、x2,

2

則有：ax+bx+c-a{x-xl)(x-x2)

(3)因式分解的步驟

①多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式;

②考慮所給多項(xiàng)式是否能用公式法分解.

8.分式

(1)分式的概念

A

形如一的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.

B

(2)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.

AAxMAA-M

-=——.(其中M是不等于零的整式)

~B~BxMBB+M

(3)分式的運(yùn)算

、4工a、ba+ba,cad+bc

①加減法：一±—=-----,一±-=-------

cccbdbd

ad

be

(2n

④乘方:—(n為正整數(shù)).

解分式方程的注意事項(xiàng)：

(1)去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；

(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)