專題18 圓的相關(guān)性質(zhì)及計(jì)算證明（34題）2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（解析版）

第第頁專題18圓的相關(guān)性質(zhì)及計(jì)算證明（34題）一、單選題1．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：圓錐的側(cè)面積底面半徑母線長(zhǎng)．【詳解】解：，故選：B．2．（2024·甘肅·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，計(jì)算即可．本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴．故選A．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，則的半徑長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．4．（2024·山東泰安·中考真題）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運(yùn)用、三角形的面積公式的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握扇形的面積公式是關(guān)鍵．如圖：連接，作于點(diǎn)B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據(jù)，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點(diǎn)B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．6．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，作于G，

∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即它的內(nèi)切圓半徑為，故選：D．7．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，的周長(zhǎng)為，正六邊形內(nèi)接于．則的面積為（

）

A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)半徑為，由題意得，，解得，∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所對(duì)應(yīng)的弦心距為，∴．故選：B．8．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．9．（2024·重慶·中考真題）如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理求出，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出，等邊對(duì)等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故選：B．10．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接，先證明，，再進(jìn)一步的利用勾股定理計(jì)算即可；【詳解】解：如圖，連接，∵為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，，∴，，設(shè)拱門所在圓的半徑為，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱門所在圓的半徑為；故選B11．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，合理作輔助線為解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則三點(diǎn)共線，如圖所示∴，∵由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴．故選：A二、多選題12．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，是的外接圓，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)．直線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．四邊形為菱形【答案】ABD【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理證明，證明即可證明四邊形為菱形，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判定即可．【詳解】解：令交于點(diǎn)，由題意得：是的垂直平分線，，，選項(xiàng)A正確；故四邊形為菱形，選項(xiàng)D正確；，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，，選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選ABD．三、填空題13．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．【答案】【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴；故答案為：．14．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個(gè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為的圓雉的側(cè)面，那么這個(gè)扇形紙片的面積是（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵底面半徑為，∴圓錐底面圓的周長(zhǎng)為，即扇形紙片的弧長(zhǎng)為，∵母線長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積．故答案為：15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）半徑為4，圓心角為的扇形的面積為（結(jié)果保留）．【答案】【分析】本題考查扇形的面積公式，根據(jù)扇形的面積公式（n為圓心角的度數(shù)，r為半徑）求解即可．【詳解】解：由題意，半徑為4，圓心角為的扇形的面積為，故答案為：．16．（2024·甘肅蘭州·中考真題）“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)，則．【答案】108【分析】本題主要考查了求弧長(zhǎng)．先求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，∴，解得：．故答案為：10817．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，連接，則．

【答案】50【分析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)圓周角定理計(jì)算出，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】解：，，，，，，故答案為：50．18．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，是圓的直徑，、、、的頂點(diǎn)均在上方的圓弧上，、的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，則．

【答案】90【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行求解即可．【詳解】∵是圓的直徑，∴所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)圓心角的度數(shù)為，∵、、、所對(duì)的弧的和為半圓，∴，故答案為：90．19．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，再以為直徑作半圓，與交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分的面積．設(shè)弓形，連接，，由題意知，即為等邊三角形，，即可得出陰影部分面積為，代入數(shù)值即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，，，∴，∴以為直徑作半圓時(shí)，圓心為點(diǎn)，設(shè)弓形，連接，，即，如圖：∴為等邊三角形，∴，故陰影部分面積為，代入數(shù)值可得，故答案為．20．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點(diǎn)，，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為，則它的面積是．【答案】【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果周長(zhǎng)為，則其中的一段弧長(zhǎng)就是，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，即正三角形的邊長(zhǎng)為．那么曲邊三角形的面積=三角形的面積+三個(gè)弓形的面積，從而可得答案．【詳解】解：曲邊三角形的周長(zhǎng)為，為等邊三角形，曲邊三角形的面積為：故答案為：．21．（2024·重慶·中考真題）如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)度是；的長(zhǎng)度是．【答案】//【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，根據(jù)勾股定理求出，則，由切線的性質(zhì)得到，則可證明，解直角三角形即可求出；連接，由平行線的性質(zhì)得到，再由，，推出，得到，則．【詳解】解：∵是的直徑，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，在中，；如圖所示，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明是解題的關(guān)鍵．22．（2024·山東·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，，則．【答案】/40度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用圓周角定理求出的度數(shù)，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求解．【詳解】解∶連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．23．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．先證可得從而得到，求得，再運(yùn)用勾股定理可得，再根據(jù)圓周角定理以及角的和差可得，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．24．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則的度數(shù)是．【答案】60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠AOC＝∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＋∠ABC＝180°，計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形OABC為菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圓周角定理得：∠ADC＝∠AOC，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．25．（2024·重慶·中考真題）如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)，以為邊作平行四邊形，點(diǎn)D、E均在上，與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接．若，則．．【答案】8/【分析】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，根據(jù)四邊形為平行四邊形，得出，，證明，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理得出，求出；證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，證明，得出，求出．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，如圖所示：∵以為直徑的與相切于點(diǎn)A，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：8；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．四、解答題26．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，是直徑，是弦，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：（1）圓周角定理推出，根據(jù)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，推出，即即可得證；（2）連接，易得，直徑得到在中，勾股定理求出的長(zhǎng)，三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：．

，．

即．又∵為半徑，

是的切線．（2）解：連接．∴．

是直徑，．

在中，．

．

又是直徑的半徑長(zhǎng)為．

27．（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，，在的延長(zhǎng)線上，．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，則，故，由，得到，而，則，由，得，因此，故，則是的切線；（2）連接，可得，則，故，由，得，那么長(zhǎng)為．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：連接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．28．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等可得出，再由等邊對(duì)等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．（2）連接，由直徑所對(duì)的圓周角等于得出，設(shè)，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值，進(jìn)一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵∴，∵，∴，∴，又∵∴，（2）連接，如下圖：∵為直徑，∴，設(shè)，∴，由（1）知：∴，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，解得：29．（2024·山東濰坊·中考真題）【問題提出】在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為的正方形草坪（如圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案．說明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面．噴灑覆蓋率，為待噴灑區(qū)域面積，為待噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積．【數(shù)學(xué)建模】這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率______．（2）如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4，設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為3m的自動(dòng)噴灑裝置；，以此類推，如圖5，設(shè)計(jì)安裝個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置．與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由．（3）如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．已知，設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)取得最小值時(shí)的值．【問題解決】（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率？（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）；當(dāng)取得最小值時(shí)；（4）【分析】（1）根據(jù)定義，分別計(jì)算圓的面積與正方形的面積，即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；（3）根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論可得當(dāng)圓為正方形的外接圓時(shí)，面積最小，則求得半徑為的圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而將草坪分為個(gè)正方形，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)噴灑半徑為時(shí)，噴灑的圓面積．正方形草坪的面積．故噴灑覆蓋率．（2）對(duì)于任意的，噴灑面積，而草坪面積始終為．因此，無論取何值，噴灑覆蓋率始終為．這說明增加裝置個(gè)數(shù)同時(shí)減小噴灑半徑，對(duì)提高噴灑覆蓋率不起作用．（3）如圖所示，連接，要使噴灑覆蓋率，即要求，其中為草坪面積，為噴灑面積．∴都經(jīng)過正方形的中心點(diǎn)，在中，，，∵∴，在中，∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)解得：（4）由（3）可得，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，此時(shí)圓為邊長(zhǎng)為的正方形的外接圓，則當(dāng)時(shí)，圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為而草坪的邊長(zhǎng)為，，即將草坪分為個(gè)正方形，將半徑為的自動(dòng)噴灑裝置放置于9個(gè)正方形的中心，此時(shí)所用裝置個(gè)數(shù)最少，∴至少安裝個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數(shù)的應(yīng)用；本題要求我們先理解和計(jì)算噴灑覆蓋率，然后通過調(diào)整噴灑裝置的數(shù)量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個(gè)特定的條件下找出噴灑面積和噴灑半徑之間的函數(shù)關(guān)系．解決此類問題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如何將噴灑覆蓋率的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算和函數(shù)求解問題．同時(shí)，在解決具體問題時(shí)，需要靈活運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等．最后，還需要注意將數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果還原為實(shí)際問題的解決方案．30．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)題意可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）在中，勾股定理求得,證明，設(shè)的半徑為r，則，，在中，，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為切線，∴，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴．（2）解：在中，，∵，在和中，，，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，，在中，，解得，∴半徑的長(zhǎng)為3【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．31．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，過點(diǎn)B作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則，由切線的性質(zhì)推出，則，再由同弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角得到，，據(jù)此即可證明；（2）由勾股定理得，利用等面積法求出，則，同理可得，則，進(jìn)而得到；如圖所示，過點(diǎn)C作于H，則，證明，求出，則；設(shè)，則，證明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∴；∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，同理可得，∴，∴；如圖所示，過點(diǎn)C作于H，則，由（1）可得，∴，∴，即，∴，∴；設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．32．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進(jìn)而可得，即得，即可求證；（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進(jìn)而可得，再根據(jù)，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴∵，，∴，∵，，，∴∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，即的直徑為．33．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請(qǐng)你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長(zhǎng)滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長(zhǎng)．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②見解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和切線長(zhǎng)定理可得：有外接圓的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；有內(nèi)切圓的四邊形的對(duì)邊之和相等，結(jié)合題中定義，根據(jù)對(duì)角不互補(bǔ)，對(duì)邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，進(jìn)而可判斷①；根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷③；（2）①根據(jù)已知結(jié)合題中定義可得結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結(jié)論；（3）①連接、、、、，根據(jù)四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理可推導(dǎo)出，，，進(jìn)而可得，，然后利用圓周角定理可推導(dǎo)出，即可證得結(jié)論；②連接、、、，根據(jù)已知條件證明，進(jìn)而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【詳解】（1）解：由題干條件可得：有外接