高考數(shù)學專題講座 第1講 選擇題解法探討

【備戰(zhàn)高考數(shù)學專題講座】第1講：選擇題解法探討選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，知識容量大，覆蓋面廣，一般不拘泥于具體的知識點，而是將數(shù)學知識、方法等原理融于一體，突出對數(shù)學思想方法的考查，可以比較全面地考察學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，還能考查學生的思維敏捷性，是高考數(shù)學中的一種重要題型。近年來，高考數(shù)學試題推出了一些思路開闊、情景新穎脫俗的選擇題，解決這類問題主要注意三個方面：一是提高總體能力；二是要跳出傳統(tǒng)思維定式，學會數(shù)學的合情推理；三是要熟練地進行數(shù)學圖形、符號、文字三種語言的轉(zhuǎn)換。在全國各地高考數(shù)學試卷中，選擇題約占總分的30％～40％，因此掌握選擇題的解法，快速、準確地解答好選擇題是奪取高分的關(guān)鍵之一。選擇題由題干和選項兩部分組成，題干可以是由一個問句或一個半陳述句構(gòu)成，選項中有四個答案，至少有一個正確的答案，這個正確的答案可叫優(yōu)支，而不正確的答案可叫干擾支或惑支。目前在高考數(shù)學試卷中，如果沒有特別說明，都是“四選一”的選擇題，即單項選擇題。選擇題要求解題者從若干個選項中選出正確答案，并按題目的要求，把正確答案的字母代號填入指定位置。筆者將選擇題的解法歸納為應用概念法、由因?qū)Ч?、?zhí)果索因法、代入檢驗法、特殊元素法、篩選排除法、圖象解析法、待定系數(shù)法、分類討論法、探索規(guī)律法十種，下面通過年全國各地高考的實例探討這十種方法。一、應用概念法：應用概念法是解選擇題的一種常用方法，也是一種基本方法。根據(jù)選擇題的題設條件，通過應用定義、公理、定理等概念直接得出正確的結(jié)論。使用應用概念法解題，要求學生熟記相關(guān)定義、公理、定理等基本概念，準確應用。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為【】 【答案】?！究键c】由三視圖判斷幾何體。【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為。因此此幾何體的體積為：。故選。例2：（年全國課標卷文5分）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=eq\f(1,2)x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為【】（A）－1（B）0（C）eq\f(1,2)（D）1【答案】D。【考點】樣本相關(guān)系數(shù)?！窘馕觥扛鶕?jù)樣本相關(guān)系數(shù)的概念，因為所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=eq\f(1,2)x+1上，即兩變量為完全線性相關(guān)，且完全正相關(guān)，因此這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1。故選D。例3：（年廣東省理5分）設集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}則【】A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}【答案】C?！究键c】補集的運算。【解析】∵集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴{3,5,6}。故選C。例4：（年北京市理5分）如圖.∠ACB=90o。CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E.則【】A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD2【答案】C?！究键c】射影定理?！窘馕觥坑缮溆岸ɡ砜傻肁D·AB=CD2。故選C。例5：（年安徽省理5分）設平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，則“”是“”的【】 充分不必要條件必要不充分條件充要條件 即不充分不必要條件【答案】?！究键c】充分和必要條件，兩直線垂直的判定和性質(zhì)?！窘馕觥俊?，∴“”是“”的充分條件?！呷绻?，則與條件相同，∴“”是“”的不必要條件。故選。例6：（年安徽省文5分）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象【】向左平移1個單位向右平移1個單位向左平移個單位向右平移個單位【答案】?！究键c】函數(shù)圖象平移的性質(zhì)?！窘馕觥俊撸嘀灰獙⒑瘮?shù)的圖象向左平移個單位即可得到函數(shù)的圖象。故選。例7：（年北京市理5分）設a，b∈R.“a=0”是‘復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的【】A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B。【考點】復數(shù)的概念，純虛數(shù)的定義，充分必要條件的判定?！窘馕觥繌蛿?shù)a+bi是純虛數(shù)必須滿足a=0，b≠0同時成立。當a=0時，如果b=0，此時a+bi是實數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件：而如果a+bi已經(jīng)為純虛數(shù)，由定義實部為零，虛部不為零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件。故選B。例8：（年湖南省理5分）命題“若，則”的逆否命題是【】A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C?！究键c】四種命題?！窘馕觥恳驗椤叭簦瑒t”的逆否命題為“若，則”，所以“若，則”的逆否命題是“若，則”。故選C。例9：（年遼寧省理5分）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是【】(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0【答案】C?！究键c】含有量詞的命題的否定?！窘馕觥棵}p為全稱命題，所以其否定p應是特稱命題，所以(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定為(f(x2)f(x1))(x2x1)<0。故選C。二、由因?qū)Чǎ河梢驅(qū)Ч?，又稱綜合法，直接推演法，是解選擇題的一種常用方法，也是一種基本方法。它的解題方法是根據(jù)選擇題的題設條件，通過應用定義、公理、公式、定理等經(jīng)過計算、推理或判斷，得出正確的結(jié)論，再從四個選項中選出與已得結(jié)論一致的正確答案。由因?qū)Чń忸}自然，不受選項的影響，運用數(shù)學知識，通過綜合法，直接得出正確答案。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）已知集合；,則中所含元素的個數(shù)為【】 【答案】?！究键c】集合的運算?！窘馕觥坑?，得：；；；，所以中所含元素的個數(shù)為。故選。例2：（年全國課標卷理5分）設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為【】 【答案】?！究键c】橢圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥俊呤菣E圓的左、右焦點，∴。∵是底角為的等腰三角形，∴?！邽橹本€上一點，∴。∴。又∵，即。∴。故選。例3：（年全國課標卷文5分）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為【】（A）eq\r(6)π（B）4eq\r(3)π（C）4eq\r(6)π（D）6eq\r(3)π【答案】B?！究键c】點到平面的距離，勾股定理，球的體積公式?！窘馕觥坑晒垂啥ɡ砜傻们虻陌霃綖閑q\r(3)，從而根據(jù)球的體積公式可求得該球的體積為：。故選B。例4：（年全國大綱卷理5分）已知為雙曲線的左右焦點，點在上，，則【】A．B．C．D．【答案】C?！究键c】雙曲線的定義和性質(zhì)的運用，余弦定理的運用。【解析】首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可。由可知，，∴。∴。設，則。∴根據(jù)雙曲線的定義，得?！唷Ｔ谥校瑧糜糜嘞叶ɡ淼?。故選C。例5：（年全國大綱卷文5分））已知正四棱柱中，為的中點，則直線與平面的距離為【】A．2B．C．D．1【答案】D?！究键c】正四棱柱的性質(zhì)，點到面的距離，線面平行的距離，勾股定理?！窘馕觥窟B接，和交于點，則在中，∵是正方形，∴，又∵為的中點，∴?！鄤t點到平面的距離等于到平面的距離。過點作于點，則即為所求。∵是正方形，，∴根據(jù)勾股定理，得?！邽榈闹悬c，，∴。∴。在中，利用等面積法得，即?！?。故選D。例6：（年安徽省文5分）【】【答案】?！究键c】對數(shù)的計算?！窘馕觥?。故選。例7：（年廣東省理5分）設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)=【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c】復數(shù)的計算?！窘馕觥?。故選D。三、執(zhí)果索因法：執(zhí)果索因法，又稱分析法，它與由因?qū)Чǖ慕忸}思路相反。它的解題方法是從要求解的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，根據(jù)定義、公理、定理等，把要求解的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件——四個選項之一。典型例題：例1：（年北京市理5分）某棵果樹前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為【】A.5B.7C【答案】C。【考點】直線斜率的幾何意義。【解析】據(jù)圖像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導數(shù)來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實際上，前n年的年平均產(chǎn)量就是前n年的總產(chǎn)量S與n的商：，在圖象上體現(xiàn)為這一點的縱坐標與橫坐標之比。因此，要使前m年的年平均產(chǎn)量最高就是要這一點的縱坐標與橫坐標之比最大，即這一點與坐標原點連線的傾斜角最大。圖中可見。當n=9時，傾斜角最大。從而m值為9。故選C。例2：（年北京市文5分）函數(shù)的零點個數(shù)為【】A.0B.1C【答案】B?！究键c】冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象。【解析】函數(shù)的零點個數(shù)就是（即）解的個數(shù)，即函數(shù)和的交點個數(shù)。如圖，作出圖象，即可得到二者交點是1個。所以函數(shù)的零點個數(shù)為1。故選B。例3：（年湖北省文5分）過點的直線，將圓形區(qū)域分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】分析法的應用，垂徑定理，兩直線垂直的性質(zhì)，由點斜式求直線方程?！窘馕觥恳怪本€將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線垂直即可。又已知點，則。故所求直線的斜率為-1。又所求直線過點，故由點斜式得，所求直線的方程為，即。故選A。例4：（年四川省理5分）設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是【】A、B、C、D、且【答案】C?！究键c】充分條件?！窘馕觥咳羰钩闪?，即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選C。四、代入檢驗法：代入檢驗法的解題方法是將四個選項分別代入題設中或?qū)㈩}設代入選項中檢驗，從而確定答案。當遇到定量命題時，常用此法。典型例題：例1：（年全國大綱卷理5分）已知集合，則【】A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B。【考點】集合的概念和并集運算，集合的關(guān)系的運用，元素與集合的關(guān)系的綜合運用?！窘馕觥慨?時，；當時，；當3時，。∴或。故選B。例2：（年安徽省理5分）下列函數(shù)中，不滿足：的是【】 【答案】?！究键c】求函數(shù)值。【解析】分別求出各函數(shù)的值，與比較，即可得出結(jié)果：對于有，結(jié)論成立；對于有，結(jié)論成立；對于有，∴，結(jié)論不成立；對于有，結(jié)論成立。因此，不滿足的是，故選。例3：（年廣東省理5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是【】A．B．C．y=D．【答案】A。【考點】函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！窘馕觥坷脤?shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷A正確；利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷B錯誤；利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷C正確；利用“對勾”函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷D的單調(diào)性：A.在（-2，+∞）上為增函數(shù)，故在（0，+∞）上為增函數(shù)，A正確；B.在[-1，+∞）上為減函數(shù)，排除B；C.y=在R上為減函數(shù)；排除C；D.在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，排除D。故選A。例4：（年陜西省理5分）已知圓，過點的直線，則【】A.與相交B.與相切C.與相離D.以上三個選項均有可能【答案】A。【考點】直線與圓的位置關(guān)系。【解析】∵，∴點在圓C內(nèi)部。故選A。例5：（年湖北省理5分）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①；②；③；④。則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為【】A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C。【考點】等比數(shù)列的判定，新定義?！窘馕觥恐鹨粰z驗：令等比數(shù)列的公比為，①對，∵，∴是等比數(shù)列；②對，∵不一定是常數(shù)，∴不一定是等比數(shù)列；③對，∵，∴是等比數(shù)列；④對，舉個特例，令是等差數(shù)列不是等比數(shù)列。從而是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為①③，故選C。例6：（年湖北省理5分）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式。人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)=3.14159…..判斷，下列近似公式中最精確的一個是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c】球的體積公式以及估算?！窘馕觥坑汕虻捏w積公式得，由此得。對選項逐一驗證：對于A.有，即；對于B.有，即；對于C.有，即；對于D.有，即；∴中的數(shù)值最接近。故選D。例7：（年遼寧省文5分）將圓平分的直線是【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考點】直線和圓的方程，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系?！窘馕觥俊撸鄨A的圓心坐標為（1，2）。∵將圓平分的直線必經(jīng)過圓心，∴逐一檢驗，得過（1，2）。故選C。例8：（年福建省文5分）函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的一條對稱軸是【】A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)【答案】C?！究键c】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。【解析】因為三角函數(shù)圖象的對稱軸經(jīng)過最高點或最低點，所以可以把四個選項代入驗證，知只有當x＝－eq\f(π,4)時，函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1取得最值。故選C。五、特殊元素法：特殊元素法的解題方法是在有些選擇題所涉及的數(shù)學命題與字母的取值范圍有關(guān)，在解決這類解答題，可以考慮從取值范圍內(nèi)選取某一個特殊的值，代入原命題進行驗證，從而確定答案。典型例題：例1：（年湖北省文5分）已知定義在區(qū)間（0.2）上的函數(shù)的圖像如圖所示，則的圖像為【】【答案】B?！究键c】特殊值法的應用，求函數(shù)值?！窘馕觥咳√厥庵担寒敃r，；當時，。符合以上結(jié)果的只有選項B。故選B。例2：（年陜西省理5分）如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】異面直線間的角的求法，特殊元素法的應用?！窘馕觥吭O，則，∴。又∵直線與直線夾角為銳角，∴余弦值為。選A。例3：（年全國課標卷理5分）已知函數(shù)；則的圖像大致為【】【答案】?！究键c】函數(shù)的圖象。【解析】當時，；當時，。因此排除。故選。例4：（年福建省理5分）下列命題中，真命題是【】A．?x0∈，≤0B．?x∈，2x＞x2C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件【答案】D。【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應用?！窘馕觥繉τ贏，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不存在x0，使得≤0，因此A是假命題。對于B，當x＝2時，2x＝x2，因此B是假命題。對于C，當a＋b＝0時，eq\f(a,b)不存在，因此C是假命題。對于D，a＞1，b＞1時ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，因此C是真命題。故選D。例5：（年山東省理5分）設函數(shù)，若的圖像與圖像有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1）,B(x2，y2),則下列判斷正確的是【】A.當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0B.當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0C.當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0D.當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0【答案】B?！究键c】導數(shù)的應用?！窘馕觥苛?，則。設，。令，則要使的圖像與圖像有且僅有兩個不同的公共點必須：，整理得。取值討論：可取來研究。當時，，解得，此時，此時；當時，，解得，此時，此時。故選B。例6：（年浙江省理5分）把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是【】【答案】A?！究键c】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換?！窘馕觥堪押瘮?shù)y＝cos2x＋1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得：y1＝cosx＋1，向左平移1個單位長度得：y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1個單位長度得：y3＝cos(x＋1)。取特殊值進行判斷：令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0。比對所給選項即得答案。故選A。例7：（年浙江省理5分）設是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題錯誤的是【】A．若，則數(shù)列有最大項B．若數(shù)列有最大項，則C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D．若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C?！究键c】命題的真假判斷與應用，數(shù)列的函數(shù)特性。【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…，滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是Sn＞0不成立。故選C。例8：（年江西省理5分）下列命題中，假命題為【】A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．為實數(shù)的充分必要條件是互為共軛復數(shù)C．若，且則至少有一個大于D．對于任意都是偶數(shù)【答案】B。【考點】真假命題的判定，特稱命題和全稱命題，充要條件，共軛復數(shù)，不等式的基本性質(zhì)，二項式定理?！窘馕觥繉τ贏項，通過特例判斷：例如菱形，滿足四邊相等的四邊形不是正方形，所以A為真命題；對于B項，通過特例判斷：令,顯然，但不互為共軛復數(shù)，所以B為假命題；對于C項，通過不等式的基本性質(zhì)判斷：顯然正確（可用它的逆否命題證明），所以C為真命題；對于D項，通過二項式定理系數(shù)的特例判斷：根據(jù)二項式定理，對于任意有為偶數(shù)，所以D為真命題。綜上所述，假命題為B項。故選B。例9：（年江西省理5分）在直角三角形中，點是斜邊的中點，點為線段的中點，則【】A．2B．4C．5D．10【答案】D?！究键c】兩點間的距離公式?！窘馕觥繉τ诜翘厥獾囊话銏D形求解長度問題，由于是選擇題，不妨將圖形特殊化，用特殊元素法以方便求解各長度：不妨令，則，，，?！?。故選D。六、篩選排除法：篩選排除法是解選擇題的一種常用方法，使用排除法的前提條件是答案唯一，它的解題方法是根據(jù)題設條件，結(jié)合選項，通過觀察、比較、猜想推理和計算，進行排查，從四個選項中把不正確的答案一一淘汰，最后得出正確答案的方法。篩選排除法可通過觀察、比較、分析和判斷，進行簡單的推理和計算選出正確的答案，特別對用由因?qū)Чń庵^困難而答案又模棱兩可者更有用。典型例題：例1：（年北京市文5分）已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是【】A.B.C.若a1=a3，則a1=a2D.若a3＞a1，則a4＞a2【答案】B。【考點】等比數(shù)列的基本概念，均值不等式?！窘馕觥勘绢}易用排除法求解：設等比數(shù)列的公比為，則A，當時，，此時，選項錯誤。B.根據(jù)均值不等式，有，選項正確。C.當時，a1=a3，但a1=a2，選項錯誤。D.當時，，選項錯誤。故選B。例2：（年天津市文5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為【】（A）（B），且≠0（C）（D）【答案】B?！究键c】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷?！痉治觥坷煤瘮?shù)奇偶性的定義可排除C，D，再由“在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)”可排除A，從而可得答案：對于A，令，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1，2）中，所以在區(qū)間（1，2）內(nèi)不全是增函數(shù)，故排除A。對于B，函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，函數(shù)為增函數(shù)，所以在上也為增函數(shù)，故B滿足題意。對于C，令，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)為奇函數(shù)，故可排除C對于D，為非奇非偶函數(shù)，可排除D。故選B。例3：（年全國課標卷理5分）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則的取值范圍是【】 【答案】?！究键c】三角函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥扛鶕?jù)三角函數(shù)的性質(zhì)利用排它法逐項判斷：∵時，，不合題意，∴排除。∵時，，合題意，∴排除。故選。例4：（年浙江省理5分）設，是兩個非零向量【】A．若，則B．若，則C．若，則存在實數(shù)，使得D．若存在實數(shù)，使得，則【答案】C。【考點】平面向量的綜合題?！窘馕觥坷门懦傻眠x項C是正確的：∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實數(shù)λ，使得a＝λb，∴選項A：|a＋b|＝|a|－|b|時，a，b可為異向的共線向量，不正確；選項B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正確；選項D：若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時顯然|a＋b|＝|a|－|b|，不正確。故選C。例5：（年湖南省理5分）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【】【答案】D?！究键c】組合體的三視圖?！窘馕觥坑蓭缀误w的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為如圖的矩形。故選D。例6：（年江西省理5分）下列函數(shù)中，與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為【】A．B.C.D.【答案】D?！究键c】函數(shù)的定義域?！窘馕觥壳蠛瘮?shù)的定義域的依據(jù)就是要使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍。其求解根據(jù)一般有:(1)分式中，分母不為零;(2)偶次根式中，被開方數(shù)非負；(3)對數(shù)的真數(shù)大于0：（4）實際問題還需要考慮使題目本身有意義。由函數(shù)的意義可求得其定義域為，于是對各選項逐一判斷即可得答案：對于A，的其定義域為，故A不滿足；對于B，的定義域為，故B不滿足；對于C，的定義域為，故C不滿足；對于D，的定義域為，故D滿足。綜上所述，與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為：。故選D。例7：（年四川省理5分）下列命題正確的是【】A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C。【考點】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)?！窘馕觥坎捎门懦ǎ喝魞蓷l直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。例8：（年四川省理5分）函數(shù)的圖象可能是【】A、B、C、D、【答案】D?！究键c】函數(shù)圖像?！窘馕觥坎捎门懦ǎ汉瘮?shù)恒過（－1,0），選項只有D符合，故選D。例9：（年江西省理5分）如下圖，已知正四棱錐所有棱長都為1，點是側(cè)棱上一動點，過點垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為【】【答案】A?！究键c】棱錐的體積公式，線面垂直，函數(shù)的思想。【解析】對于函數(shù)圖象的識別問題，若函數(shù)的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，可采用定性排它法：觀察圖形可知，當時，隨著的增大，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越快，不是的線性函數(shù)，可排除C，D。當時，隨著的增大，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計算復雜，很容易出現(xiàn)某一步的計算錯誤而造成前功盡棄，并且作為選擇題也沒有太多的時間去解答。我們也解答如下：連接AC，BD，二者交于點O，連接SO，過點E作底面的垂線EH。當E為SC中點時，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE?！郤E⊥面BDE?！喈敃r，截面為三角形EBD，截面下面部分錐體的底為BCD。又∵SA＝SC＝1，AC＝eq\r(,2)，SO＝eq\f(\r(,2),2)。此時?！?。當時，截面與AD和AB相交，分別交于點F、D，設FG與AC相交于點I，則易得。由EH∥SO，得，即。由EI∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即?！??！?。當時，截面與DC和BC相交，分別交于點M、N，設MN與AC相交于點J，則易得。由EH∥SO，得，即。由EJ∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即?！?。∴。綜上所述，。結(jié)合微積分知識，可判定A正確。例10：（年江西省文5分）如下圖，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m),OA與OB的夾角為，以A為圓心，AB為半徑作圓弧與線段OA延長線交與點C.甲。乙兩質(zhì)點同時從點O出發(fā)，甲先以速度1（單位:ms）沿線段OB行至點B，再以速度3（單位：m/s）沿圓弧行至點C后停止，乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至A點后停止。設t時刻甲、乙所到的兩點連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為，則函數(shù)的圖像大致是【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】函數(shù)的圖象?！窘馕觥坑深}設知，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m)，兩者行一秒后，甲行到B停止，乙此時行到A，故在第一秒內(nèi)，甲、乙所到的兩點連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為的值增加得越來越快，一秒鐘后，隨著甲的運動，所圍成的面積增加值是扇形中AB所掃過的面積，由于點B是勻速運動，故一秒鐘后，面積的增加是勻速的，且當甲行走到C后，即B與C重合后，面積不再隨著時間的增加而改變，故函數(shù)隨著時間t的增加先是增加得越來越快，然后轉(zhuǎn)化成勻速增加，然后面積不再變化，考察四個選項，只有A符合題意。故選A。七、圖象解析法：圖象解析法的解題方法解選擇題的一種常用方法，它是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的原理,先畫出示意圖,再觀察圖象的特征作出選擇的方法。對于一些具有幾何背景的數(shù)學題，如能構(gòu)造出與之相應的圖形進行分析，則能在數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)中獲得形象直觀的解法。典型例題：例1：（年全國課標卷文5分）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是【】（A）(1－eq\r(3)，2)（B）(0，2)（C）(eq\r(3)－1，2)（D）(0，1+eq\r(3))【答案】A?！究键c】簡單線性規(guī)劃，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理?！窘馕觥壳髗=－x+y的取值范圍，則求出z=－x+y在正三角形ABC邊際及內(nèi)的區(qū)域的最大值和最小值即可。由A(1,1)，B(1,3)，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可求C在第一象限的坐標為（1+eq\r(3)，2）。作圖，可知約束條件對應正三角形ABC內(nèi)的區(qū)域：A(1,1)，B(1,3)，C（1+eq\r(3)，2）。當x=1，y=3時，z=－x+y取得最大值2；當1+eq\r(3)，y=2時，z=－x+y取得最小值1－eq\r(3)?！鄗=－x+y的取值范圍為(1－eq\r(3)，2)。故選A。例2：（年全國課標卷文5分）當時，，則a的取值范圍是【】（A）(0，eq\f(\r(2),2))（B）(eq\f(\r(2),2)，1)（C）(1，eq\r(2))（D）(eq\r(2)，2)【答案】B?！究键c】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥吭O,作圖?！弋敃r，,∴在時,的圖象在的圖象上方。根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，?！鄦握{(diào)遞減?！嘤蓵r，得，解得?！嘁箷r，，必須。∴a的取值范圍是(eq\f(\r(2),2)，1)。故選B。例3：（年全國大綱卷理5分）已知函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則【】A．或2B．或3C．或1D．或1【答案】A【考點】導數(shù)的應用?！窘馕觥咳艉瘮?shù)圖像與軸有兩個不同的交點，則需要滿足其中一個為零即可。因為三次函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，結(jié)合該函數(shù)的圖像，可知只有在極大值點或者極小值點有一點在軸時滿足要求（如圖所示）。∵，∴?！喈敃r，函數(shù)取得極值。由或可得或，即。故選A。例4：（年北京市理5分）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點。則此點到坐標原點的距離大于2的概率是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c】幾何概率?！窘馕觥坎坏仁浇M表示的平面區(qū)域D是一個邊長為2的正方形，如畫圖可知，區(qū)域內(nèi)到坐標原點的距離大于2的點為紅色區(qū)域，它的面積為正方形的面積減四分之一圓的面積：?！啻它c到坐標原點的距離大于2的概率是。故選D。例5：（年全國大綱卷理5分）正方形的邊長為1，點在邊上，點在邊上，，動點從出發(fā)沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角。當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【】A．16B．14C【答案】A?！究键c】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)?！窘馕觥拷Y(jié)合已知中的點,的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點時，需要碰撞14次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計算，將正方形的邊長擴大7倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！啵?；；；；?！嘟?jīng)過7次碰撞，到達與點成軸對稱的點處，根據(jù)正方形的對稱性，再經(jīng)過7次碰撞，到達點，共14次碰撞。故選A。例6：（年湖南省理5分）已知兩條直線：和：，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點A，B，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為,,當m變化時，的最小值為【】A．B.C.D.【答案】B。【考點】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的圖象，基本不等式的應用?！窘馕觥咳鐖D，在同一坐標系中作出，，圖像，由，得，由，得。根據(jù)題意得。∵，∴。故選B。例7：（年江西省理5分）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為【】A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【答案】B?！究键c】建模的思想方法，線性規(guī)劃知識在實際問題中的應用?！窘馕觥吭O黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為.線性約束條件為

，即。如圖，作出不等式組表示的可行域,易求得點。平移直線，可知當直線經(jīng)過點,即時,z取得最大值,且（萬元）。故選B。八、待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學方法，對于某些數(shù)學問題，如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引進一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果，通過已知條件建立起給定的算式和結(jié)果之間的恒等式，得到以待定系數(shù)為元的方程（組）或不等式（組），解之即得待定的系數(shù)。對于待定系數(shù)法方法的使用，筆者將另文詳細解析。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為【】 【答案】。【考點】雙曲線和拋物線的性質(zhì)?！窘馕觥康臏示€?！吲c拋物線的準線交于兩點，，∴，。設，則，得，。故選。例2：（年全國大綱卷理5分）已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前100項和為【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c】等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的運用，裂項求和的綜合運用?！窘馕觥客ㄟ^已知，列式求解，得到公差與首項，從而得的通項公式，進一步裂項求和：設等差數(shù)列的公差為，則由可得?！??！?。故選A。例3：（年湖北省理5分）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為【】A.B.C.D.【答案】B?！究键c】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，定積分在求面積中的應用?！窘馕觥肯雀鶕?jù)函數(shù)的圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，然后利用定積分表示所求面積，最后根據(jù)定積分運算法則求出所求：根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)圖象過點（－1，0），（1，0），（0，1），用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為。設二次函數(shù)的圖像與軸所圍圖形的面積為，則。故選B。例4：（年湖北省理5分）設是正數(shù)，且，則【】A.B.C.D.【答案】C。【考點】柯西不等式不等式的應用，待定系數(shù)法的應用?！窘馕觥坑煽挛鞑坏仁街?，而此時恰好滿足取等條件。令，則。代入到中得，再將代入得?！?，∴?！?。故選C。例5：（年四川省文5分）已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則【】A、B、C、D、【答案】B?！究键c】拋物線的定義?！窘馕觥吭O拋物線方程為,則焦點坐標為（），準線方程為?！唿c在該拋物線上，∴點到該拋物線焦點的距離等于到準線的距離，即，解得，?！??！?。故選B。九、分類討論法：在解答某些問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納，綜合得出結(jié)論。對于分類討論法方法的使用，筆者將另文詳細解析。典型例題：例1：（年全國課標卷理5分）已知為等比數(shù)列，，，則【】 【答案】。【考點】等比數(shù)列?！窘馕觥俊邽榈缺葦?shù)列，，，∴或。由得，即；由得，即。故選。例2：（年全國課標卷文5分）數(shù)列滿足，則的前60項和為【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），數(shù)列?！窘馕觥壳蟪龅耐棧河傻?，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；······當時，；當時，；當時，；當時，（）?！撸嗟乃捻椫蜑椋ǎ?。設（）。則的前項和等于的前15項和，而是首項為10，公差為16的等差數(shù)列，∴的前項和=的前15項和=。故選D。例3：（年全國大綱卷文5分）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有【】A.240種B.360種C.480種D.720種【答案】C?！究键c】排列組合的應用?！窘馕觥扛鶕?jù)特殊元素優(yōu)先的原則，選手甲不在第一個也不在最后一個演講，在其余4個次序演講有種組合，則其余5位選手進行全排列。因此，不同的演講次序共有種。故選C。例4：（年北京市理5分）從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為【】A.24B.18C.12D.6【答案】B。【考點】排列組合問題。【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后百位（2種情況），共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是O，一種倩況），共6種。因此總共有12+6=18種情況。故選B。例5：（年重慶市理5分）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是【】（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值【答案】D?！究键c】函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)的圖象?！痉治觥坑蓤D象知，與軸有三個交點，－2，1，2，∴。由此得到，，，和在上的情況：－212＋0－0＋0－＋＋＋0－－－＋0－－－0＋↗極大值↘非極值↘極小值↗∴的極大值為，的極小值為。故選D。例6：（年浙江省理5分）若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有【】A．60種B．63種C．65種D．66種【答案】D?！究键c】分類討論，計數(shù)原理的應用