2025年江蘇無錫市中考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2025年江蘇無錫市中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共計30分.在每小題所給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的答案涂黑.）

1.（3分）-7的倒數(shù)是（）

11

A.-4B.-C.-7D.7

77

2.（3分）下列圖形中，中心對稱圖形的是（）

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.2V2+3V2=5V2C.V2xV3=V5D.2V2x3V2=6V2

4.（3分）如圖，直線48,CD相交于點O,OE±AB,/BOD=20°,則/COE等于（）

A.70°B.60°C.40°D.20°

5.（3分）在口/BCD中，對角線/C、AD的長分別為4、6,則邊8c的長可能為（）

A.4B.5C.6D.7

6.（3分）把，-6x+9分解因式，正確的結(jié)果是（）

A.x（x-6）+9B.（%-3）2C.（x+3）（x-3）D.3（x-1）2

7.（3分）某校九年級有9名同學參加知識競賽,預賽成績各不相同，要取前5名參加決賽.小

蘭已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，還需要知道這9名同學成績的

（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

8.（3分）點4（xi,yi）,B（X2,"）在反比例函數(shù)y='的圖象上，下列推斷正確的是

（）

A.若X1<X2,則歹1<"B.若Xl<X2,則”>歹2

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C.若xi+x2=0,貝!Jyi+y2=0D.存在xi=x2使得yiW?2

9.（3分）我國南朝的數(shù)學家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不

斷增加，它的周長越來越接近圓的周長），在公元5世紀又進一步求得圓周率的值在

3.1415926和3.1415927之間，是第一個將圓周率的計算精確到小數(shù)點后7位的人，使中

國對圓周率的計算在世界上領先一千多年.依據(jù)“割圓術”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓

周率的近似值是（）

（劉徽）（祖沖之）

A.2.9B.3C.3.1D.3.14

10.（3分）如圖，△48C和△DM都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊3C,昉在同一

條直線/上，點C,￡重合.現(xiàn)將△/BC沿直線/向右移動，直至點2與尸重合時停止移

動.在此過程中，設點C移動的距離為x,AF?為y,則下列結(jié)論：

@y始終隨x的增大而減??；②y的最小值為3；

③函數(shù)y的圖象關于直線x=3對稱；④當x取不同的數(shù)值時，y也取不同的數(shù)值.

其中，正確的是（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接

填寫在答題卡相應位置上）

11.（3分）回=.

12.（3分）光速是每秒30萬公里，每小時1080000000公里.用科學記數(shù)法表示1080000000

是.

13.（3分）若一個常見幾何體模型共有8條棱，則該幾何體的名稱是.

14.（3分）用一個。的值說明命題“如果次》1,那么是錯誤的，這個值可以是a

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15.（3分）以坐標原點。為位似中心，相似比為2,將△NBC放大得到△￡）￡凡點C（2,

3）的對應點尸在第一象限，則點下的坐標為.

16.（3分）下列命題的逆命題成立的是.

①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

②等邊三角形是銳角三角形

③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等

④全等三角形的三條對應邊相等

17.（3分）某店家進一批應季時裝共400件，要在六周內(nèi)賣完，每件時裝成本500元.前

兩周每件按1000元標價出售，每周只賣出20件.為了將時裝盡快銷售完，店家進行了

一次調(diào)查并得出每周時裝銷售數(shù)量與時裝價格折扣的關系如下：

價格折扣原價9折8折7折6折5折

每周銷售數(shù)量（單位：件）20254090100150

為盈利最大，店家選擇將時裝打折銷售，后四周最多盈利元.

18.（3分）葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積.在

研究水稻等農(nóng)作物的生長時，經(jīng)常用一個簡潔的經(jīng)驗公式5=與來估算葉面的面積，其

中。，6分別是稻葉的長和寬（如圖1）,左是常數(shù)，則由圖1可知左1（填“>”

“=”或“<”）.試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發(fā)現(xiàn)絕大部分稻葉的形

一4

狀比較狹長（如圖2）,大致都在稻葉的1處“收尖”.根據(jù)圖2進行估算，對于此品種的

稻葉，經(jīng)驗公式中左的值約為（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

19.計算：

（1）2tan45°-（V2—1）°+（―i）2；（2）（a+2b）2-（a+Z?）（a-b）.

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3—%1+1<J

2o.m解方程：0+0=1；&）解不等式組:

,1-5(%+1)<6

21.如圖，△ABC和△/￡>￡中，AB=4C,4D=AE,點。在8C上，/BAC=NDAE.

（1）求證：LABD冬4ACE；

（2）當?shù)扔诙嗌俣葧r，AB//EC1證明你的結(jié)論.

22.某中學隨機抽取了30名初二男生，測得他們的身高（單位：c機）如下:

153162165157158170168163158172

166169159171160155157159161160

168154164162160159163164156163

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）這30個數(shù)據(jù)的極差等于；

（2）將這30個數(shù)據(jù)分組，組距取4c〃z,可將數(shù)據(jù)分成個組；

（3）該校初二年級共有男生270名，估計其中有多少名男生的身高在161?165cm（含

161cm,不含165cm）范圍內(nèi)？

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23.某校共有2名男生和2名女生競選學校學生會主席，現(xiàn)抽簽決定演說順序.

(1)第一個演說的是男生的概率是;

(2)求第一個和第二個演說的都是女生的概率.(請用畫樹狀圖或列表的形式給出分析

過程)

24.如圖，AB為的直徑，C為上一點，過點C作。O的切線CE,過點2作8。，

CE于點、D.

(1)求證：ZABC=ZDBC；

(2)若CD=6,sinZABC=求A8的長.

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25.如圖，在△/2C中，點。是的中點，AC<BC.

（1）試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在8C上作一點￡,使得直線瓦）平分△N5C的周長;

（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若/5=10,AC=2EC,求NE的長.

26.如圖，有兩只大小不等的圓柱形無蓋空水杯（壁厚忽略不計），將小水杯放在大水杯中.現(xiàn)

沿著大水杯杯壁勻速向杯中注水，直至將大水杯注滿.大水杯中水的高度>（厘米）與注

水時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示.根據(jù)圖象，解答下列問題：

（2）若小水杯的底面積為30平方厘米，求大水杯的底面積.

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27.如圖，拋物線y=ax2+6x+c(a為常數(shù)，且a<0)與x軸相交于N(-1,0),B(3,0)

兩點，與y軸相交于點C,頂點為D,直線AD與y軸相交于點￡.

1

(1)求證。C=^O￡；

(2)M為線段08上一點，N為線段上一點，當時，求△CW的周長的最小

值；

(3)若。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當點。與點。重合時，四邊形/80C

的面積取得最大值.請判斷小林猜想是否正確，并說理由.

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28.如圖，矩形/BCD中，AB=2同3C=6,點。是2C中點，點E從點3出發(fā)，以每秒

1個單位長度的速度沿射線3C勻速運動；點尸從點。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速

度沿射線。C勻速運動.E,尸兩點同時出發(fā)，運動時間為/秒在兩點運動

過程中，以跖為邊作等邊三角形跖G,使和矩形42。在射線的同

(1)若點G落在邊上，求/的值;

(2)若f=2,求△EFG和矩形/BCD重疊部分的周長；

(3)在整個運動過程中，設和矩形/8CO重疊部分的面積為S,試求出S與f之

間的函數(shù)表達式.

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2025年江蘇無錫市中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共計30分.在每小題所給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的答案涂黑.）

1.（3分）-7的倒數(shù)是（）

11

A.-4B.-C.-7D.7

77

解：：-7X=1,-7的倒數(shù)是：一意故選：A.

2.（3分）下列圖形中，中心對稱圖形的是（）

解：選項/、3、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完

全重合，所以不是中心對稱圖形，

選項。能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是

中心對稱圖形，

故選：D.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.2V2+3V2=5V2C.V2xV3=V5D.2V2x3V2=642

解：4夜+百無法合并，故此選項不合題意；

5.2V2+3V2=5V2,故此選項符合題意；

C.V2xV3=V6,故此選項不合題意；

D.2V2X3V2=12,故此選項不合題意；

故選：B.

4.（3分）如圖，直線N3,CD相交于點O,OELAB,NBOD=20°,則等于（）

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A.70°B.60°C.40°D.20°

解：*：OEA.AB,

：.ZEOA=90°,

*：ZCOA=ZBOD=20°,

：.ZCOE=70°,

故選：A.

5.(3分)在IZL4BCD中,對角線4C、5。的長分別為4、6,則邊5C的長可能為()

A.4B.5C.6D.7

解：的對角線4C和AD相交于點。，AC=4,BD=6,

11

：.OA=^AC=2,OB=^D=3,

???邊45的長的取值范圍是：1VQV5.

故選：A.

6.(3分)把/-6x+9分解因式，正確的結(jié)果是()

A.x(x-6)+9B.(x-3)2C.G+3)(%-3)D.3(x-1)2

解：/-6x+9=(x-3)2.

故選：B.

7.(3分)某校九年級有9名同學參加知識競賽,預賽成績各不相同，要取前5名參加決賽.小

蘭已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，還需要知道這9名同學成績的

()

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

解：由于總共有9個人，且他們的成績互不相同，第5名的成績是中位數(shù)，要判斷是否

進入決賽，故應知道自己的成績和中位數(shù).

故選：A.

8.(3分)點4(xi,yi),B(也，歹2)在反比例函數(shù)歹=，的圖象上，下列推斷正確的是

()

A.若X1〈X2,則歹1〈歹2B.若Xl<X2，則丁1>?2

C.若Xl+X2=0，則歹中2=0D.存在XI=X2使得AW"

解：反比例函數(shù)>=￡的圖象在一、三象限，在每個象限〉隨X的增大而減小，

A.若X1〈X2，且點4(xi，yi),B(X2,>2)在同一象限，則》1>"，故4錯誤；

第10頁共26頁

B.若xi〈X2,且點/（xi,yi）,B（X2,J2）不在同一象限，則yi<y2,故8錯誤；

C.若xi+x2=0,則點/（xi，yi）,B（X2,>2）關于原點對稱，則yi+y2=0,故C正確；

22

D.若X1=X2,則一=一，即yi=V2,故。錯誤；

XlX2

故選C

9.（3分）我國南朝的數(shù)學家祖沖之發(fā)展了劉徽的“割圓術”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不

斷增加，它的周長越來越接近圓的周長），在公元5世紀又進一步求得圓周率的值在

3.1415926和3.1415927之間，是第一個將圓周率的計算精確到小數(shù)點后7位的人，使中

國對圓周率的計算在世界上領先一千多年.依據(jù)“割圓術”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓

（劉徽）（祖沖之）

A.2.9B.3C.3.1D.3.14

解：設半徑為:?的圓內(nèi)接正〃邊形的周長為L圓的直徑為力

T

由題意〃=6時，冗=耳=方=3

故選：B.

10.（3分）如圖，△N3C和△DM都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊5C,M在同一

條直線/上，點C,￡重合.現(xiàn)將△/8C沿直線/向右移動，直至點2與尸重合時停止移

動.在此過程中，設點C移動的距離為x,AF2為y,則下列結(jié)論：

①y始終隨x的增大而減??；

②y的最小值為3；

③函數(shù)y的圖象關于直線x=3對稱；

④當x取不同的數(shù)值時，y也取不同的數(shù)值.

其中，正確的是（）

第11頁共26頁

AD

C.②③D.②

解：如圖所示，當0WxW3時，過點N作/“L于點〃，過點H作HH'于點〃'，

連接HF,

則F=ZAH'8=90°,

VA4BC是邊長為2的等邊三角形,

1

AZABC=60°,4B=BC=2,BH=HC=$C=2,

：.AH=AB-sinZABC^V3,

；ADEF是邊長為2的等邊三角形，

...在△/BC沿直線/向右移動的過程中，是直角三角形，

H'F=3-x,A'H'=V3,

由勾股定理可得，y=H'F2+A'H'2=(3-x)2+(V3)2=(x-3)2+3,

當3<xW4時，如圖2,在△NBC沿直線/向右移動的過程中，是直角三角形,

由勾股定理可得，y=H'F2+A'H'2=(x-3)2+(V3)2=(x-3)2+3,

...將△NBC沿直線/向右移動，直至點3與尸重合時停止移動.在此過程中，拋物線y

=(x-3)2+3(0WxW4),對稱軸為直線x=3,頂點坐標為(3,3),

①y隨x的增大，先減小再增大；故①錯誤；

②了的最小值為3；故②正確；

③對稱軸為直線x=3,但是0WxW4,故③不正確；

第12頁共26頁

④對稱軸為直線x=3,當x=l時和當x=4時，y相同，

...當x取不同的數(shù)值時，y可能取相同的數(shù)值，故④不正確.

故選：D.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接

填寫在答題卡相應位置上）

II.（3分）V49=7.

解：V49=7,

故答案為：7.

12.（3分）光速是每秒30萬公里，每小時1080000000公里.用科學記數(shù)法表示1080000000

是1.08義1（）9.

解：1080000000=1.08X109.

故答案為：1.08X109.

13.（3分）若一個常見幾何體模型共有8條棱，則該幾何體的名稱是四棱錐.

解：這個幾何體共有8條棱，這個幾何體是四棱錐，

故答案為：四棱錐.

14.（3分）用一個。的值說明命題“如果片》1,那么是錯誤的，這個值可以是a

=-2（答案不唯一）.

解：當a=-2時，次=4>1,而-2<1,

，命題“若那么是假命題，

故答案為：-2（答案不唯一）.

15.（3分）以坐標原點。為位似中心，相似比為2,將△A8C放大得到△。斯，點C（2,

3）的對應點F在第一象限，則點F的坐標為（4,6）.

解：與位似.尸與△48C的相似比為2：1,

與△￡）￡尸位似比為1：2,

:點C的坐標為（2,3）,

二點尸的坐標為（2X2,3X2）,即（4,6）,

故答案為：（4,6）.

16.（3分）下列命題的逆命題成立的是①⑷.

①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

②等邊三角形是銳角三角形

第13頁共26頁

③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等

④全等三角形的三條對應邊相等

解：①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，成立，符合

題意；

②等邊三角形是銳角三角形的逆命題為銳角三角形是等邊三角形，不成立，不符合題意;

③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題為平方相等的兩個實數(shù)相等，不成

立，不符合題意；

④全等三角形的三條邊對應相等的逆命題為三條邊相等的三角形全等，成立，符合題意，

故答案為：①④.

17.（3分）某店家進一批應季時裝共400件，要在六周內(nèi)賣完，每件時裝成本500元.前

兩周每件按1000元標價出售，每周只賣出20件.為了將時裝盡快銷售完，店家進行了

一次調(diào)查并得出每周時裝銷售數(shù)量與時裝價格折扣的關系如下：

價格折扣原價9折8折7折6折5折

每周銷售數(shù)量（單位：件）20254090100150

為盈利最大，店家選擇將時裝打7折銷售,后四周最多盈利72000元.

解：；400-20X2=360（件），

，要在六周內(nèi)賣完，后四周每周至少要賣360+4=90（件），

折扣應該在8折以下.

設后四周的利潤為乃折扣為x（xW7）,依題意得

尸（）

?1000x1U^-500X360=36000x-180000,

V36000>0,

.'.y隨著x的增大而增大，

...當x=7時，>有最大值，

止匕時y=36000X7-180000=72000,

，當打七折時，后四周的最大盈利為72000元，

故答案為：7；72000.

18.（3分）葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積.在

研究水稻等農(nóng)作物的生長時，經(jīng)常用一個簡潔的經(jīng)驗公式5=乎來估算葉面的面積，其

K.

中。，6分別是稻葉的長和寬（如圖1）,左是常數(shù)，則由圖1可知:>1（填”

第14頁共26頁

或試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發(fā)現(xiàn)絕大部分稻葉的形狀比較

41

狹長（如圖2）,大致都在稻葉的'處“收尖”.根據(jù)圖2進行估算，對于此品種的稻葉,

經(jīng)驗公式中后的值約為1.27（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.

.".S—第<ab,

由圖2可知，葉片的尖端可以近似看作等腰三角形,

???稻葉可以分為等腰三角形及矩形兩部分,

矩形的長為書，等腰三角形的高為3/,稻葉的款為6,

.._7tb_14

??k-—了「七1.27,

*x3班+4班11

故答案為：>,1.27.

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

19.計算:

(1)2tan45°-(V2-1)°+

(2)(。+26)2-(q+6)(a-b).

解：（1）原式=2義1-1+4=5

(2)原式=q2+4ab+4b2-(tz2-b2)

=4ab+5b2

3-x1

20.（1）解方程:-----+------二1；

X—44—x

,1x+1<|

（2）解不等式組:

0-5(x+1)<6

解：（1）方程兩邊都乘以％-4得：3-x-1=x-4,

解得：x=3,

檢驗：把％=3代入x-4#0,

第15頁共26頁

所以x=3是原方程的解,

即原方程的解是x=3；

②2X+1<2①

1-5(x+1)<6@

???解不等式①得：xV1,

解不等式②得：X2-2,

不等式組的解集為-2Wx<l.

21.如圖，△ABC和△/￡)￡中，AB=AC,AD=AE,點D在BC上,ZBAC^ZDAE.

(1)求證：4ABD咨4ACE；

(2)當?shù)扔诙嗌俣葧r，AB//EC2證明你的結(jié)論.

(1)證明：VZBAC=ZDAE,

：./BAD=/CAE,

在△48。和中，

AB=AC

乙BAD=Z-CAEi

AD=AE

???△ABD義AACE(SAS)；

(2)當NB=60°時，AB//EC,

證明：：/2=60°,AB^AC,

￡\ABC是等邊三角形，

ZBAC=60°,

第16頁共26頁

A4BD義LACE,

：.ZABD=ZACE=60°,

ZBAC=ZACE,

：.AB//CE.

22.某中學隨機抽取了30名初二男生，測得他們的身高（單位：c加）如下:

153162165157158170168163158172

166169159171160155157159161160

168154164162160159163164156163

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）這30個數(shù)據(jù)的極差等于19cm；

（2）將這30個數(shù)據(jù)分組，組距取4c",可將數(shù)據(jù)分成8個組:

（3）該校初二年級共有男生270名，估計其中有多少名男生的身高在161?165cm（含

161cm,不含165cm）范圍內(nèi)？

解：（1）這30個數(shù)據(jù)的極差為：172-153=193%）,

故答案為：19”?；

（2）304-4=7.5,故可將數(shù)據(jù)分成8個組；

故答案為：8；

O

（3）270X=72（人），

答：估計其中有72名男生的身高在161?165cm（含161cm,不含165c加）范圍內(nèi).

23.某校共有2名男生和2名女生競選學校學生會主席，現(xiàn)抽簽決定演說順序.

（1）第一個演說的是男生的概率是

（2）求第一個和第二個演說的都是女生的概率.（請用畫樹狀圖或列表的形式給出分析

過程）

解：（1）;?共有2名男生和2名女生競選學校學生會主席，

...第一個演說的是男生的概率是?=J

4L

1

故答案為：

（2）畫樹狀圖圖如下：

第17頁共26頁

開始

女女男男

/NZl\/K/1\

女男男女男男女女男女女男

共有12種等可能的情況，其中第一個和第二個演說的都是女生的情況有2種，

，第一個和第二個演說的都是女生的概率為三=7.

126

24.如圖，45為。。的直徑，。為。。上一點，過點。作的切線CE,過點5作

CE于點D.

(1)求證：/ABC=NDBC；

(2)若CQ=6,sinZABC=求的長.

(1)證明：???C￡是。。的切線，

：.OC±DE,

9：BDLCE,

C.OC//BD,

：./DBC=/OCB,

?：OB=OC,

：?NOBC=NOCB,

：./ABC=NDBC；

(2)解：?:/ABC=/DBC,sinZABC=

3

AsinZD5C=I，

在中，sinZDBC=CD=6,

.\5C=10,

第18頁共26頁

???45為。。的直徑,

AZACB=90°，

設4C=3x,

3

VsinZ^C=|,

.\AB=5x,

由勾股定理得，(5x)2-(3x)2=102,

解得，x=|>

25

：.AB=5x=號.

25.如圖，在△/BC中，點。是的中點，AC<BC.

(1)試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在2。上作一點E,使得直線助平分△NBC的周長;

(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，若48=10,AC=2EC,求NE的長.

(2)連接4B."：AC=2CE,

.,?可以假設EC=m，則/C=2加，BE=3m,

CB—4冽，

:?C/=CE/CB,

?_C_A_C_B

??—，

CECA

ZACE=ZACBf

第19頁共26頁

???dACEsABCA,

.AEAC2m1

*ABCB4m2’

1

：.AE=妙=5.

26.如圖，有兩只大小不等的圓柱形無蓋空水杯（壁厚忽略不計），將小水杯放在大水杯中.現(xiàn)

沿著大水杯杯壁勻速向杯中注水，直至將大水杯注滿.大水杯中水的高度>（厘米）與注

水時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示.根據(jù)圖象，解答下列問題：

（2）若小水杯的底面積為30平方厘米，求大水杯的底面積.

解：（1）°秒后小杯注滿水，根據(jù)水在大杯中的平均升高速度相等得：

16-816

160-a-160’

解得￡7=80,

經(jīng)檢驗，。=80是原方程的解，

故答案為：80；

（2）設大水杯的底面積是s平方厘米，

根據(jù)注滿小水杯用80-60=20（秒），注滿大水杯用160秒可知，小水杯與大水杯體積比

.20

為同

,30x820

16s-160’

解得s=120,

經(jīng)檢驗，s=120是原方程的解，

答：大水杯的底面積是120平方厘米.

27.如圖，拋物線y=ax2+6x+c（a為常數(shù)，且a<0）與x軸相交于/（-1,0）,B（3,0）

兩點，與y軸相交于點C,頂點為。，直線AD與y軸相交于點E.

1

（1）求證2。氐

第20頁共26頁

(2)M為線段08上一點，N為線段上一點，當a=—4時，求△CW的周長的最小

值；

(3)若。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當點。與點。重合時，四邊形/80C

的面積取得最大值.請判斷小林猜想是否正確，并說理由.

(1)證明：:?拋物線)=Qx2+bx+c(Q為常數(shù)，且q<0)與X軸相交于/(-1,0),B

(3,0)兩點，??.tHj。n，解得廿，

19a+3b+c=01c=—3a

???拋物線為y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4Q,C(0,-3Q),D(1,-4Q),

設直線5。的解析式為y=所用也，把5、。兩點的坐標分別代入得：

13kl+九=0解用戶i=2。

41+比=-4優(yōu)解行1瓦=—6優(yōu)

1

直線助為y=2ox-6a,：.E(0,-6a),：.OC=3a,OE=6a,：.OC=^OE；

(2)解：當。=T時，拋物線為尸一算+工+看作點C關于的對稱點關于X

軸的對稱點C",連接C'C",與OB交為M,與BE交息為N,此時的周長最

小，連接C'E,如圖所示：

3

此時。(0,直線5￡為〉=-1+3,點、E(0,3),

???。5=3,

第21頁共26頁

：?OB=OE=3,

VZBOE=90°,

；?NOEB=NOBE=45°,

VCC'LBE,

：.ZCEB=ZECCf=45°,

??,5E垂直平分CC，，

：.CE=CrE=3-1=1.CN=C'N,

：.ZCEB=ZCrEB=45°,

：.ZCEC'=90°,

???C￡_L)軸，

3

?,?點U(-,3),

???C關于X軸的對稱點?！?0,

：.CM=Cf,M,

???△CW周長的最小值為：

CM+CN+MN=C"M+CN+MN=CC"=J(|)2+(3+|)2

(3)解：小林猜想不正確，理由如下:

過0作QKLx軸，交BC于點、K,

,:B(3,0),C(0,-3a),

?,.直線BC為歹=ax-3a,

設點。的橫坐標為x,則。(x，辦2-2辦-3。)，K(x,ax-3a),

QK=ax2-2ax-3a-(.ax-3a)=ax2-3ax,

113327c^

1?S四邊形2x4義(-3Q)-3QX)----g----6a,

第22頁共26頁

Va<0,

,2

當點Q的橫坐標為X=狎，S四邊形有最大值，

:點。的橫坐標是1,

四邊形ABQC的面積取得最大值時，點。與點。不重合，小林猜想不正確.

28.如圖，矩形/8CO中，48=2b，3C=6,點。是8C中點，點E從點3出發(fā)，以每秒

1個單位長度的速度沿射線2C勻速運動；點下從點。出發(fā)，以每秒2