高等數(shù)學(xué)下冊(cè)試題及詳細(xì)答案

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試題及詳細(xì)答案（精講版）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

1.向量a=｛后,1,1｝與y軸的夾角"為（）

A.-B.-

64

C.-D.-

32

【答案】C

【解析】本題考查了向量與坐標(biāo)軸的夾角。cosP=-11--,所以夕=上71。

-2

【提醒】本題還可以轉(zhuǎn)化為求兩向量a=｛VI1,1｝與｛0,1,0｝之間的夾角。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是空間解析幾何中的重點(diǎn)，考試熱度：☆☆☆；大部分出現(xiàn)在選擇

題或填空題中。

2.函數(shù)/（尤,y）=Jf+y2在點(diǎn)（0,0）處（）

A.連續(xù)B.間斷

C,可微D.偏導(dǎo)數(shù)存在

【答案】A.

【解析】本題考查了二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與可微等概念。點(diǎn)（0,0）在初等函數(shù)

f（x,y）=Jf+y2的定義域內(nèi),故它在點(diǎn)（0,o）處連續(xù)。由于

￡（。,。）=1而〃°+一,°）—〃°,°）=1而色

'7。Ax-Ax

不存在，所以函數(shù)在（0,0）處偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而在該點(diǎn)一定不可微。故本題選A。

【提醒】記住以下結(jié)論：（1）二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)。（2）可微必定

連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù)，連續(xù)未必可微，偏導(dǎo)

數(shù)存在也未必可微，偏導(dǎo)不存在一定不可微，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是多元函數(shù)微分學(xué)中的難點(diǎn)，考試熱度：☆☆☆;大部分出現(xiàn)在選

擇題中。

3.設(shè)函數(shù)尸Cr,y),Q(x,y)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且P(x,y)dx+Q(尤,y)dy是某函數(shù)"(尤,y)

的全微分，則()

絲

A.2=絲-

dydx5y

絲

cdP=_dQ?-

dydx

【答案】A.

【解析】本題考查了二元函數(shù)的全微分求積定理：設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一單連通域，函數(shù)尸(x,y),

Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則尸(無(wú)，y)〃x+Q(x,y)辦是某函數(shù)a(x,y)的全微分

的充要條件是空=絲在G內(nèi)恒成立。故本題選A。

dydx

【提醒】右尸行，y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),則稱P(x,y)辦+Q(尤,y)dy=O為全微分方

程。顯然，這時(shí)該方程通解為u(x,y)=C(C是任意常數(shù))。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是求解全微分方程的基礎(chǔ)，大部分出現(xiàn)在選擇、填空題中。考試熱

度：☆☆☆☆；

【歷年考題鏈接】(2007,7)3.設(shè)函數(shù)/(x,y)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且;■(x,y)Mc+/(x,y)My

是某個(gè)函數(shù)"(x,y)的全微分，則/(x,y)滿足()

更

更

理

y--o

5T&②&-辦

A.c=0

更

更

X5T&sf￥-OX+-O

--&冷-

答案：Co

4.下列方程中，是一階線性非齊次微分方程的是)

A.ydy=(x+y)dxB.xdy=(y?+y)dx

@=靖+3

C.--xcosy=9D.

dxdx

【答案】Bo

【解析】本題考查了一階線性非齊次微分方程的概念。所有能化為

立+P(x)y=Q(x)(Q(x)不恒為零)的方程就是一階線性非齊次微分方程。本題中的四個(gè)

dx

方程，只有選項(xiàng)B中的方程能化為電-Ly=x,故選B。

dxx

【提醒】若方程中出現(xiàn)了y,y'的非線性函數(shù)(如本題選項(xiàng)C,D中出現(xiàn)的cos%V),則

此方程就不是線性方程。另外，一定要掌握此類(lèi)方程的求解方法。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是微分方程中的重要概念，需牢記。一般以選擇題的形式考查，考

試熱度：☆☆☆☆；

【歷年考題鏈接】(2009,10)4.微分方程孫'+尸尤+3是()

A.可分離變量的微分方程B.齊次微分方程

C.一階線性齊次微分方程D.一階線性非齊次微分方程

答案：Do

5.下列無(wú)窮級(jí)數(shù)中，收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)是()

y2n+ly1+C-1)"-1

A.B.

Zf3/7+5Ztn

001

ooz-i\n-l

C.D.

a

【答案】D。

【解析】本題考查了常見(jiàn)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。由于lim型蟲(chóng)=2/0,所以1四發(fā)

83〃+53M3w+5

co1ooco001

散;由于￡上發(fā)散，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以￡i+（T）發(fā)散。?為p=5

Tin署〃M〃念”

的p級(jí)數(shù)，發(fā)散。故選D。

00001

【提醒】（1）不論什么級(jí)數(shù)￡%,若則它一定發(fā)散。（2）p級(jí)數(shù)￡），

n—>00v）P

當(dāng)夕>1收斂，當(dāng)夕K1發(fā)散。（3）交錯(cuò)級(jí)數(shù)，（-1）"-%"的斂散性一般用萊布尼茲判別法:

%單調(diào)遞減且趨于0,則收斂。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重點(diǎn)熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢睢?；

【歷年考題鏈接】（2010,1）5.下列無(wú)窮級(jí)數(shù)中發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)是（）

(-1)"

Jn+1

答案：Ao

二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

6.在空間直角坐標(biāo)系中，直線）的方向向量為.

x-y-2z=3

【答案】｛-1,3,-2｝。

【解析】本題考查了如何從直線的一般式方程中得到直線的方向向量。直線卜+，+：=0,的

x-y-2z=3

方向向量為:

k=-i+3j-2k.

-1-2

故本題答案可以是-i+3/-2左或者｛-1,3,-2｝。后者是前者的簡(jiǎn)寫(xiě)形式。

【提醒】要熟悉直線的點(diǎn)向式方程(對(duì)稱式方程)、一般式方程、參數(shù)式方程及它們之間

的轉(zhuǎn)換。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重點(diǎn)，常出現(xiàn)在各類(lèi)題型中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢睢?；

【歷年考題鏈接】(2010,4)11.求過(guò)點(diǎn)尸(3,-1,0)并且與直線;=二5=一垂直的平面方

程。

答案：x-2y-5=0.

7.函數(shù)/(x,y)=---\~廣的定義域?yàn)開(kāi)__________.

In(l-x2-y2)

【答案】｛(x,j)|0<x2+y<1｝-

【解析】本題考查了二元函數(shù)的定義域求法。要是此函數(shù)有意義，則需滿足：

ln(l-f—y2)H0,

1-x2-/>0,

解得：0</+/<1,因此定義域?yàn)椋簗(%,j)|0<%2+/<1｝

【提醒】二元函數(shù)的定義域是平面的一部分，稱為區(qū)域，一定要用平面點(diǎn)集的形式寫(xiě)出。

如本題若填寫(xiě)0<f+丁2<1,就是錯(cuò)誤的。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及的內(nèi)容是多元函數(shù)微分學(xué)的基本內(nèi)容，常出現(xiàn)在選擇和填空題中。考試

熱度：☆☆☆;

8.設(shè)積分區(qū)域D：V+y2W4,則二重積分。7(爐+/)公辦在極坐標(biāo)中的二次積分為

【答案】啖/(產(chǎn))4廠。

【解析】本題考查了極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。本題中，積分區(qū)域D為以原點(diǎn)為圓心、

半徑為2的圓域，故D可用不等式

D=1(r,^)|0<r<2,0<6^<2?}

來(lái)表示，應(yīng)用公式辦Uy=/(rcosO/sin9)rdrd。得:

DD

[]/(*2+/)如fy=J。d'\(3'r2)rdr0

D

【提醒】當(dāng)被積函數(shù)中含有一+)?,且積分區(qū)域?yàn)閳A域，用極坐標(biāo)計(jì)算較為方便。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重點(diǎn)，常出現(xiàn)在填空題和計(jì)算題中。考試熱度：☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2009,10)15.計(jì)算二重積分063一丁溫,，其中積分區(qū)域0：一+尸式

D

2o

答案：(1-”2)乃。

9.微分方程y"+>2?y+2y=1的一個(gè)特解y*=.

【答案】-?

2

【解析】本題考查了微分方程特解的概念。本題中的方程不是線性的，不是一個(gè)常見(jiàn)的方

程，求特解沒(méi)有固定的公式可以用。根據(jù)觀察，、=,滿足微分方程丫〃+丁?3/+2丫=1,

2

故為它的一個(gè)特解。

【提醒】注意微分方程通解、特解的定義，以及二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的求法。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的難點(diǎn)，常出現(xiàn)在填空題和計(jì)算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢?

10.設(shè)函數(shù)/(尤)是周期為2兀的函數(shù)，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為

兀2(―I)"]

——+>(......—cos(2n-l)x+——sinnx)

2￡'(2"1)2%n

則傅里葉系數(shù)。2=

【答案】0。

【解析】本題考查了傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的概念。若周期為2兀的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)

數(shù)為？+2cosnx+bnsinnx),貝(J由

2n=l

1.開(kāi)

〃o=—于(x)dx

?！恳?

10開(kāi)

<〃〃=—/(x)cosnxdx{n=1,2,)

兀

1「冗.

bn=—\/(x)sinnxdx(n=1,2,)

定出的系數(shù)為,4,4,?叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)。由定義知，出為式中cos2]的系數(shù)。

由已知，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為-工+>(---2cos(2n-l)x+—sin幾x),其中不含

2￡(2〃-1)2兀n

cos2nx,即cos2%的系數(shù)為零，因此。2=0。

【提醒】謹(jǐn)記周期為2兀的函數(shù)的傅里葉系數(shù)的求法。(見(jiàn)解析)

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重難點(diǎn)，常出現(xiàn)在填空題和計(jì)算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢?/p>

☆。

【歷年考題鏈接】(2010,4)22.設(shè)函數(shù)/^，.?！?''〈。的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

[xfi<X<71

—+^(ancosnx+bnb7.

2〃=i

答案：-o

7

三、計(jì)算題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

11.已知直線L過(guò)點(diǎn)P(2,-1,-1),并且與平面71:x-y+z=0垂直，求直線L的方程.

【答案】-x---2=2y—+1=——z+1

1-11

【解析】本題考查了空間解析幾何中直線方程的求法。一般是先找到一個(gè)已知點(diǎn)，然后去

尋求直線的方向向量，最后寫(xiě)出直線的對(duì)稱式(點(diǎn)向式)方程。由題意，已知平面的法向

量可作為直線的方向向量，即5={1,—1,1},所以直線的方程為：二二2=五1=三擔(dān)。

【提醒】只要與直線平行的任何非零向量都可以取成直線的方向向量；只要是與平面垂直

的任何非零向量都可以取成平面的法向量。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重點(diǎn)，平面和直線的方程的建立是幾乎每年必考的，常出

現(xiàn)在填空題和計(jì)算題中。考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2010,4)11.求過(guò)點(diǎn)尸(3,-1,0)并且與直線H=上==垂直的平面方程。

1-20

答案：x-2y-5=0.

12.設(shè)函數(shù)z=x2+arctan工,求和°工.

xdxdxdy

_8z-yd2zy2-x*

22

dx+ydxdy(x+y

【解析】本題考查了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。

【提醒】對(duì)于具體的多元函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)和求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣，對(duì)哪個(gè)變量求偏導(dǎo)，

計(jì)算時(shí)就將其余的變量視為常數(shù)，直接將函數(shù)對(duì)此變量求導(dǎo)數(shù)即可。對(duì)于抽象的多元函數(shù),

求偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候要引入中間變量，畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的重點(diǎn)，幾乎是每年必考的，常出現(xiàn)在填空題和計(jì)算題中。

考試熱度：☆☆☆☆☆。

【歷年考題鏈接】(2010,4)6.設(shè)函數(shù)z=^衛(wèi)三，則生=___________.

ydx

田上sinysinx

答案t：Z=-----------o

y

13.設(shè)函數(shù)z=xy+1,求全微分dz.

,依心,Szcyd2zy2-x2

［答案1-=2x—----,———==-------°

22

dx冗之+yQxdy(x+yj

【解析】本題考查了二元函數(shù)的全微分。若二元函數(shù)z=/(x,y)是可微的，則它的全微分

y+1

為：dz=df(x,y)=—dx+—dyo本題中，z=x,因?yàn)?/p>

dxdy

京=(y+1)x=xv+1Inx,

oxdy

故它的全微分是：

yy+i

dz=(^y+l)xdx+xInxdy。

【提醒】只要記住全微分的公式dz=4(x,y)=g&c+|^6fy,這類(lèi)題其實(shí)是求兩個(gè)偏導(dǎo)

oxdy

數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)，必須掌握。這類(lèi)題常出現(xiàn)在填空題和計(jì)

算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢?

【歷年考題鏈接】(2009,10)7.設(shè)函數(shù)2=2/+/,則全微分dz=.

答案：dz=4-xdx+2ydy0

分7

14.設(shè)函數(shù)農(nóng)〃%,sin(2x+y)),其中/(%y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求一和一.

dxdy

【答案】=0+2/,cos(2x+y).—=fcos(2x+y).

oxoyv

【解析】本題考查了抽象的二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。先引入中間變量a#：設(shè)"=x,

v=sin(2x+y),則此函數(shù)是由z=/(〃/),a=尤#=sin(2x+y)復(fù)合而成。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t

(68頁(yè))可得,

dzdzdudzdv?.?..、ic,c,，c、

二=三二+丁丁=力1+工「rcos(2x+y).2=/,+2fcos(2x+y),

OXOUoxovoxr

dzdzdu+dzdv?+?r"4,小、

-^=-^^-^^-=fu-0fv-cos(2x+y)]-l=fvcos(2x+y)。

oyouoyovoy

【提醒】求解這類(lèi)題首先要引入中間變量，搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu)，然后按照鏈?zhǔn)椒▌t展開(kāi)即可。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點(diǎn)，重在考查二元復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)和偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。常

出現(xiàn)在填空和計(jì)算題中。熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2010,1)12.設(shè)函數(shù)z=f(2,x),其中f是可微函數(shù)，求包，包.

xexoy

dzy?dz1?

答案：￡=――2fu+rfv^=~fu-

oxxoyx

15.設(shè)函數(shù)/(%,丁)=5—1公十,,求grad/(2,1).

[2君問(wèn)

【答案】gradf(2,l)=＜二，丁卜

【解析】本題考查了多元函數(shù)梯度的求法。根據(jù)梯度的定義，函數(shù)2=/(匹丁)在點(diǎn)(%,%)

處的梯度為gradf(%0,j0)=￡(%,%)i+/v(%0,%)J={￡(%,%),/*后,%)}?了解到這一

點(diǎn)，本題就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)了。因?yàn)?/p>

更=_xSf=y

dx7%2+y，dy+

3-晟T-乎/⑵…&=—身

所以有

gra（V（2』）=￥，M。

【提醒】函數(shù)〃=/（x,y,z）在點(diǎn)（%,%,2（））處的梯度為：

zk

gradf（%0，%）=力（/，％，z°?+｛（%，％，z°）J+｛（/，％，o）

=｛，（Xo，％，Zo）/（Xo，%，Zo），工（Xo，%，Zo）｝?

【點(diǎn)評(píng)】上面的12,13,14題以及本題中出現(xiàn)的概念不同，但都與偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算有關(guān)，只要

概念清楚了，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題，它就顯得比較簡(jiǎn)單。本題考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】（2010,1）14.求函數(shù)f（x,y,z）=xyz-x2-y2+3z在點(diǎn)（-1,-1,2）處的梯度.

答案：gradf（-l-1,2）=｛0,0,4｝o

16.計(jì)算二重積分jj（x+y）斌y,其中積分區(qū)域。是由直線x+y=2,y=x及y=0所圍成的區(qū)

D

域.

4

【答案】一。

3

【解析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。先應(yīng)該畫(huà)出積分區(qū)域，如下圖陰

影部分。

它是一個(gè)y型區(qū)域，故這個(gè)二重積分可以先對(duì)x積分后對(duì)y積分:

(x+y)dxdy=￡dyJ(x+y)dx

D,

'(1+y^dx^y

2廣，+沖夕辦

o2

2二

4

3

【提醒】要求直角坐標(biāo)系下以及極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算要熟練掌握，因?yàn)檫@些是積

分學(xué)中的基本技能。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點(diǎn)，重在考查學(xué)員二重積分的計(jì)算能力。這類(lèi)題一般出

現(xiàn)可以出現(xiàn)在各類(lèi)題型中，選擇、填空可能考查交換積分的次序等較容易的問(wèn)題，計(jì)算題

中主要考查計(jì)算能力。本題考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】（2010,1）16.計(jì)算二重積分I=U（x+2y）dxdy,其中D是由坐標(biāo)軸和直

D

線x+y=4所圍成的區(qū)域.

答案：32。

17.計(jì)算三重積分丫以4Mz,其中積分區(qū)域Q是由平面2x+3y+z=2及坐標(biāo)面所圍成的區(qū)

域.

【答案】—.

27

【解析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算。先分析積分區(qū)域。積分區(qū)域Q是

由平面2x+3y+z=2及坐標(biāo)面所圍成的區(qū)域，它位于第一卦限，在xoy坐標(biāo)面上的投影為平

面區(qū)域：j（x,y）|0<x<l,0<y<|-1xl,區(qū)域中變量z的變化范圍是：

Q<z<2-2x-3y.然后來(lái)計(jì)算積分:

22

fffydxdydz=￡可；%ydz

Q

=￡^￡3y（2-2x-3y）dy

1

27

【提醒】一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算直角坐標(biāo)系下的三重積分時(shí)，先看積分區(qū)域在一個(gè)坐標(biāo)面（通常

選xoy平面）上的投影區(qū)域是什么，確定是什么型區(qū)域，繼而得到兩個(gè)變量的取值范圍，然

后要從已知的式子或圖形中找到第三個(gè)變量的取值范圍，積分限確定好了，最后計(jì)算積分。

積分限的確定方法不止一種，限于篇幅，這里不展開(kāi)陳述，希望學(xué)員們多看例題，多總結(jié)。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點(diǎn)，重在考查直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。多出

現(xiàn)在計(jì)算題中。另外，極坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算同樣重要，不容忽視。熱度：☆☆☆☆

【歷年考題鏈接】（2010,1）17.計(jì)算三重積分I=j]j（x2+y2+z2）dxdydz,其中積分區(qū)域Q：

C

x2+y2+z2^l.

答案：一兀。

5

18.計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分卜聲而7ds,其中C是圓周f+y2=l.

【答案】

【解析】本題考查了對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算。曲線C是圓周x2+y2=i,它可用參數(shù)方程來(lái)

表示：x=cost,y=sint(O<t<2^)o根據(jù)計(jì)算公式可得:

―—12?~~12

JeWs=即)2+2M)1(?osJ+(sin/dt

酒力

Jo

=2e%.

【提醒】一般的，若曲線L的方程為參數(shù)方程：x=(p(t),y=^tXa<t<j3),貝U

L/(x,y)ds=/4⑺0⑺]J"⑺『+[〃")『dt.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一樣，幾乎是每年必考的內(nèi)容，需重點(diǎn)掌

握。它們大都出現(xiàn)在計(jì)算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢睢?

【歷年考題鏈接】(2008,4)18.計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(2x-y+l)ds,其中乙是直線y=x-l

上點(diǎn)(0,-1)到點(diǎn)(1,0)的直線段.

…5后

答案：——。

2

19.驗(yàn)證對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

J(2xy-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

與路徑無(wú)關(guān)，并計(jì)算

/=[()(2D-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

J(i,o)

【答案】5o

【解析】本題考查了平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件以及對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算。曲

423

線積分JcPdx+=jc(2xy-y+3)dx+(x-4xy)dy與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是：

—=—o因?yàn)?￡=2%一4丁3,義=2%—4/,所以變=絲，從而。曲線積分

dydxdydxdydx

fPdx+Qdy=[(2孫-y'+3)為:+評(píng)一4孫辦與路徑無(wú)關(guān)。

*CJc

由于積分與積分路徑無(wú)關(guān)，為了方便計(jì)算，可以取積分路徑為：(LO)f(2,0).(2,1),

(1,0)-(2,0)時(shí),l<x<2,y=0；(2,0)9(2,1)時(shí)，0<y<l,x=2,所以：

/=[(2xy-y4++(x2-4xy3)dy=f3dx+f(22—4?2-y3)dy=3+4—2=5o

J(l,0)■JlJo■

【提醒】一般地，曲線積分fRa+。力與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是：—o

【點(diǎn)評(píng)】曲線積分無(wú)路徑的無(wú)關(guān)性的考察大多出現(xiàn)在填空和計(jì)算題中，它和曲線積分的計(jì)

算都是考察的重點(diǎn)，需熟練掌握。考試熱度：☆☆☆☆☆.

20.求微分方程?=/工+^的通解.

dx

【解析】本題考查了一階線性非齊次微分方程的通解的求法。先將此方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式：

^-y=e-x,用一階線性非齊次微分方程的通解公式求通解：

dx

="(廣辦+0

F…

=--ex+Cer.

2

【提醒】一定要記住一階線性非齊次微分方程yr+P(x)y=Q(x)的通解公式：

【點(diǎn)評(píng)】本題設(shè)計(jì)內(nèi)容是微分方程中的基本內(nèi)容，這類(lèi)題和二階常系數(shù)線性微分方程的解

法幾乎是二者必考其一，需多加練習(xí)。考試熱度：☆☆☆☆.

n

21.判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)8￡n匕的斂散性.

zt初

【解析】本題考查了正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判斷。當(dāng)一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中含階乘、乘方、指

數(shù)函數(shù)等時(shí)，一般用比值審斂法來(lái)判斷其斂散性。令氏二—，由于

n\

=lim1+—=e>l,

goo/s(n+1)!n\snJ

8nn

所以無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。

W〃！

22.將函數(shù)/(x)=」展開(kāi)為x-1的塞級(jí)數(shù).

x+4

【解析】本題考查了如何將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)為塞級(jí)數(shù)。這類(lèi)題一般有兩種方法求解：一種是

直接法，一種是間接法。多考查利用間接法將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)為塞級(jí)數(shù)。需要學(xué)員們記住常

見(jiàn)函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式。本題，先將所給函數(shù)變形:

f(x)=^—=l-=1——--1

x+4x+45+x-l,x—1

1+----

5

18

根據(jù)：——=y(-i)nx"(-i<x<i),得

1+x"=0

100x-1I(-1<^<1)

=X(-1)'

~~5~

n-0

5