人教版初中七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-角（原卷版）

第03講角

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握角的定義及其表示方法，能夠熟練的表示角，

①角的認(rèn)識(shí)判斷角。

②角的單位與換算2,掌握角單位及其換算，能夠熟練的進(jìn)行換算。

③角的度量與大小比較3,掌握角的度量方法，并能夠正確的進(jìn)行大小比較。

④角的計(jì)算4.掌握角的計(jì)算，并能夠熟練的進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

⑤余角和補(bǔ)角5.掌握余角與補(bǔ)角的概念及其性質(zhì)，并能夠熟練的對(duì)

其應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01角的認(rèn)識(shí)與表示

1.角的定義：

靜態(tài)定義：有端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。

動(dòng)態(tài)定義：把一條射線繞著它的旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。

2.角的圖示與組成:

角的頂點(diǎn)：兩條射線的叫做角的頂點(diǎn)。

角的邊：組成角的是角的邊。

3.角的表示方法：

角的符號(hào)：Z

表示方法1：如圖1：用表示頂點(diǎn)的大寫字母表示。即表示為。（此方法只能用于表示該頂點(diǎn)

只有一個(gè)角的情況）

表示方法2：如圖1,：用三個(gè)大寫字母表示。即表示為。

表示方法3：如圖2：用希臘字母或阿拉伯?dāng)?shù)字表示。即表示為。

（方法2與方法3適用于任意角）

題型考點(diǎn)：①角的表示。②確定角的數(shù)量。

【即學(xué)即練1】

1.下列圖形中，能用/O和N1表示同一個(gè)角的是（）

【即學(xué)即練2】

2.下列四個(gè)圖中，能用Nl、ZAOB./O三種方法表示同一個(gè)角的是（）

【即學(xué)即練3】

3.如圖，從點(diǎn)。出發(fā)的五條射線，可以組成的角有（）

C.8個(gè)D.10個(gè)

【即學(xué)即練41

4.在銳角內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個(gè)銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個(gè)銳角；畫

出3條不同的射線，可以畫出10個(gè)銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個(gè)數(shù)為（)

知識(shí)點(diǎn)02角的單位與換算

1.角的單位:

角的單位有；；O

把周角360份等分，平均一份就是度，記作：,把1°的角進(jìn)行60份等分，其中一份

就是，記作：，把1'角按60份等分，其中一份就是,記作：o

2.角的單位換算：

1周角=°=平角，1平角=°=_____直角，1直角=°,1°=,

1'=O

若把以“度”為單位的角化成以“度分秒”來(lái)表示，先把不足的部分化成分，在把不足的

部分化成秒。

若把“度分秒”為單位的角化為以“度”為單位，先把秒為單位的部分化作分，加上以分為單位的部

分，再把他們的和化成以度為單位，加上以度為單位的部分即可。

題型考點(diǎn)：①單位的換算。

【即學(xué)即練11

5.把40°12,36"化為用度表示，下列正確的是（）

A.40.11°B.40.21°C.40.16°D.40.26°

【即學(xué)即練2】

6.把7.26°用度、分、秒表示正確的是（)

A.7°2,12〃B.7°2,6〃C.7°15'36"D.7°15,6

【即學(xué)即練3】

。/O

7.35.15°=〃；12°15,36〃=

知識(shí)點(diǎn)03角的度量與大小比較

1.量角器的認(rèn)識(shí):

中心

如圖：測(cè)量角度數(shù)的工具是O它是由一個(gè)和兩條以及刻度組成。

2.角度量方法：

把量角器的中心與角的________重合，其中一條0刻度線與_______________重合，另一條邊所在刻

度即為角的度數(shù)。從重合的0刻度線讀起。

題型考點(diǎn)：①有實(shí)際問(wèn)題抽象出方程。②方程的實(shí)際應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

8.用量角器度量/"CW,下列操作正確的是（）

【即學(xué)即練2】

9.數(shù)學(xué)課上，小明和小杰想用量角器測(cè)量N/O3的度數(shù)，圖①和圖②分別是小明和小杰的測(cè)量方式，其

中操作正確的是（

A.小明B.小杰

C.小明和小杰D.都不正確

3.角的大小比較

方法1：疊合法：把角的..和..重合，角的另一邊放在重合邊的同一側(cè)，離重合

邊越遠(yuǎn)角度越大，反之越小。

方法2：度量法：直角用量角器度量比較。

注意：角的大小只與角兩邊的張開程度有關(guān)，與兩邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。

題型考點(diǎn)：①角的大小比較。

【即學(xué)即練1】

10.用“疊合法”比較N1與N2的大小，正確的是（

【即學(xué)即練21

11.如圖，射線。C,分別在的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A.ZAOB<ZAODB.ZBOC<ZAOBC.ZCOD>ZAODD.ZAOB>ZAOC

知識(shí)點(diǎn)04角的計(jì)算

1.鐘面角的計(jì)算：

鐘面上一大格表示，一小格表示

題型考點(diǎn)：①求鐘面時(shí)針與分針夾角。

【即學(xué)即練1】

12.已知本學(xué)期某學(xué)校下午上課的時(shí)間為14時(shí)20分，則此時(shí)刻鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為（

A.40°B.50°C.60°D.70°

【即學(xué)即練2】

13.實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午10：10時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

2.方向角:

方向角通常用多少度，多少度，多少度,多少度來(lái)

表示。

題型考點(diǎn)：①方向角的表示

【即學(xué)即練1】

A.CM方向是北偏東30°B.。5方向是北偏西15°

C.OC方向是南偏西25°D.OD方向是東南方向

【即學(xué)即練21

15.如圖，下面說(shuō)法正確的是（）

①書店在商場(chǎng)的南偏西45°方向400米處；

匕

②商場(chǎng)在小玲家西偏北30°方向1000米處；

③小玲家在商場(chǎng)東偏南30°方向1000米處；

④小玲家到商場(chǎng)的距離是書店到商場(chǎng)距離的看.200米

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

3.角的等分線:

①角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成的兩個(gè)角的射線叫做

這個(gè)角的平分線。如圖：若NAOC=/BOC=______ZAOB,則0C是角/AOB的平

分線。反之，若。C是的平分線，貝ijN/OC=N30C=__________/AOB。

②角的三等分線：把角平均分成相等的三份。

③角的四等分線：把角平均分成相等的四份。

以此類推。

4.角的和、差、倍、分計(jì)算：

角的和、差、倍、分與角的計(jì)算就是角度的和、差、倍、分與角度的計(jì)算。

題型考點(diǎn)：①角度的計(jì)算。

【即學(xué)即練11

是/BOC的平分線且/3?！?50°,那么//OC=（)0

A.80B.100C.130D.150

【即學(xué)即練2】

17.如圖，兩個(gè)直角NCOD有相同的頂點(diǎn)。，下列結(jié)論：①/AOC=NBOD；?ZAOC+ZBOD

=90°；③若。C平分N/05,則03平分NC。。；④//OD的平分線與NCOB的平分線是同一條射

線.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【即學(xué)即練3】

18.如圖，已知N/O8=90°,0c是/N08內(nèi)任意一條射線，OB,分別平分/COD,NBOE,下列結(jié)

論：①/COD=NBOE；②NCOE=3NBOD；（3）ZBOE=ZAOC；@ZAOC+ZBOD=W0,其中正

確的有（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【即學(xué)即練4】

19.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，04平分/EOC.

(I)若/EOC=70。,求/BOD的度數(shù)；

(2)若/EOC：ZEOD=2：3,求的度數(shù).

【即學(xué)即練5】

20.如圖，0c是的平分線，ZCO￡>=20°.

(I)若乙4OD=30。，求的度數(shù).

(2)若NBOD=2/AOD,求N40B的度數(shù).

A

0

知識(shí)點(diǎn)05余角和補(bǔ)角

1.余角與補(bǔ)角的定義：

如果兩個(gè)角的和等于，則這兩個(gè)角互余。

即若/1+/2=90°,則或或o

如果兩個(gè)角的和等于,則這兩個(gè)角互補(bǔ)。

即若/1+/2=180°,則或或o

2.余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：

同角的余角o即N1的余角是/2,/2的余角是/3,則o

同角的補(bǔ)角。即N1的補(bǔ)角是/2,/2的補(bǔ)角是/3,則。

等角的余角-即若/1=N2,/I的余角是/3,/2的余角是/4,則.

等角的補(bǔ)角o即若/1=N2,/I的補(bǔ)角是23,N2的補(bǔ)角是/4,則.

一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大=

題型考點(diǎn)：①余角與補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算。

【即學(xué)即練11

21.若/a=54°32',則/a的余角的大小是（）

A.35°38'B.35°28,C.125°28'D.125°38'

【即學(xué)即練2】

22.若/a與N0互余,/a=72°30\則的大小是（）

A.17°30'B.18°30,C.107°30'D.108°30'

【即學(xué)即練3】

23.一個(gè)角的余角和這個(gè)角的補(bǔ)角互補(bǔ)，則這個(gè)角是（）

A.銳角B.直角C.鈍角D.不能確定

【即學(xué)即練4】

24.下列結(jié)論：①互補(bǔ)且相等的兩個(gè)角都是45。；②同角的余角相等；③若/1+/2+/3=180。，則/I,

Z2,23互為補(bǔ)角；④銳角的補(bǔ)角是鈍角；⑤銳角的補(bǔ)角比其余角大80。.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

題型精講

題型01角的數(shù)量規(guī)律

【典例1】

如圖;，從//O5的頂點(diǎn)引出兩條射線OC,OD,圖中的角共有()

0A

A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【典例2】

如圖所示，ZAOB^90°,則圖中銳角有()

BC

A.12個(gè)B.14個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

【典例3】

如圖①，若在//O3的內(nèi)部以。為端點(diǎn)做一條射線0/1,得到3個(gè)角;如圖②，若在的內(nèi)部以。

為端點(diǎn)做兩條射線和0/2,得至IJ6個(gè)角…?以此類推，如果在的內(nèi)部以。為端點(diǎn)做〃條射

線，則圖③中角的個(gè)數(shù)為()

?A

L上.「

0B°B。B

圖①圖②圖③

A.n(H+1)B(n+1)(n+2)

2

C.D,n(n-1)

22

【典例4】

如圖，在內(nèi)，從圖（1）的頂點(diǎn)O畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；從圖（2）頂點(diǎn)。畫2條射線，圖

中共有6個(gè)角，按這樣規(guī)律繼續(xù)下去，若從頂點(diǎn)。畫29條射線，則圖中共有（）個(gè)角.

A.465B.450C.425D.300

題型02角的換算

【典例1】

若/a=5.15。，則/a用度、分、秒表示為（)

A.5°15,B.5°1，5〃C.5°9,D.5°3(T

【典例2】

0.25°等于（）

A.90,B.607C.15,D.360z

【典例3】

20°13U2”化為用度表示是（）

A.20.12°B.20.2°C.20.20°D.20.22°

【典例4】

下列運(yùn)算正確的是（）

A.34.5°=34°5，B.90°-23°457=66°15,

C.12°34'X2=25°18，D.24°24,=24.04°

題型03角的大小比較

【典例1】

若/4=32。18,，Z5=32°15’30",ZC=32.25°，貝U()

A.NA>/B>NCB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【典例2】

如圖，若/AOB>/COD,則/NOD與4BOC的大小關(guān)系是()

0A

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOD<ZBOC(3.ZAOD>ZBOCD.不能確定

【典例3】

若乙4=30.25°,Z5=30°28〃，ZC=30°18,,則有（）

A./C>/A>/BB./B>/A>/CC./A>/C>/BD.ZA>ZB>ZC

【典例4】

如圖1,圖2所示，把一副三角板先后放在N/O5上，則N405的度數(shù)可能（）

BB

A.60°C.40°D.30°

題型04角的計(jì)算

【典例1】

如圖，OC是乙405的平分線，OD是N4OC的平分線，且NCOZ）=25°,貝（JN/O5等于（）

ADC

OJ

A.50°B.75°C.100°D.120°

【典例2】

如圖，點(diǎn)。在直線45上，ZCOZ）=90°，若/BOD=32°,平分N4OC.則44?！?（

E/C

AO

A.60°B.61°C.66°D.56°

【典例3】

如圖，已知//。2=120°，0c是N/O3內(nèi)的一條射線，5.ZAOC：/B0C=l：2.

(1)求//OC的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作射線。＞,^ZAOD=^ZAOB,求NC0D的度數(shù).

2

【典例4】

如圖，03是//0C內(nèi)部的一條射線，OM是內(nèi)部的一條射線，0N是/B0C內(nèi)部的一條射線.

(1)如圖1,若乙403=36°,N3OC=110°,OM、ON分別是N/O3、/50C的角平分線，求/M0N

的度數(shù)；

(2)如圖2,若03平分N/OC,且NC0N=2N/0M,ZBOM：/4OC=2：5,則N2(W和/BON

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

題型05余角與補(bǔ)角

【典例1】

如果一個(gè)角的余角是55°,那么這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.90°D.35°

【典例2】

若N1與/2互補(bǔ)，N2與/3互補(bǔ)，則N1與N3的關(guān)系滿足（)

A.Z1-/3=90°B.Zl+Z3=90°

C.Zl+Z3=180°D.N1=N3

【典例3】

已知/I與N2互余，若/2=29°20\則N1的度數(shù)等于（）

A.61°40'B.60°80*C.60°40,D.29°20'

【典例4】

若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的2,則這個(gè)角的度數(shù)是（）

5

A.30°B.60°C.120°D.150°

【典例5】

已知Na是銳角，Na與N0互補(bǔ)，/a與Ny互余，則NB-Ny的度數(shù)為（)

A.180°B.90°C.45°D.無(wú)法確定

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.若//=50°,則//的補(bǔ)角為（）

A.40°B.140°C.130°D.50°

2.鐘表上從早上6點(diǎn)30分到早上8點(diǎn)10分時(shí)針?biāo)叩亩葦?shù)為（）

3.下列說(shuō)法中正確的有（）

①在時(shí)刻8：30時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針的夾角是75°；②線段A8的長(zhǎng)度就是/,3兩點(diǎn)間的距離;

③若點(diǎn)尸使NP=P3，則尸是48的中點(diǎn)；④1°=3600'.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.如圖，ZAOB=15°,N/OC=90°,點(diǎn)、B,O,。在同一直線上，則NC。。的度數(shù)為（）

A.75°B.15°C.105°D.165°

5.如圖，/處在3處的西北方向，/處在C處的南偏西80°方向，從/處觀測(cè)2,。兩處的視角NR4c的

大小是（）

C.60°D.65°

6.如圖，射線OC平分射線。。平分/30C,則下列等式中成立的有（）

(1)ZCOD=ZAOD-ZBOC；

②/COD=/AOD-ZBOD；

③2/COD=2/4OD-ZAOB；

@ZCOD=4ZAOB-

A.①②B.①③C.②③

7.如圖所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則/I、/2、/3三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（)

A.Zl+Z2+Z3=90°B.Z1+Z2-Z3=90°

C.Z1-Z2+Z3=90°D.Nl+2/2-N3=90°

8.已知三條射線。/、OB、OC,若其中一條射線平分另兩條射線所組成的角時(shí)，我們稱。/、OB、OC組

成的圖形為‘‘角分圖形"，如圖（1）,當(dāng)。2平分時(shí)，圖（1）為角分圖形.如圖（2）,點(diǎn)。是直

線上一點(diǎn)，/DON=70：射線（W繞點(diǎn)。以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OWi,設(shè)時(shí)間為/（0W

fW36）,當(dāng)/為何值時(shí)，圖中存在角分圖形.小

明認(rèn)為f=29s,小亮認(rèn)為f=lls,你認(rèn)為正確的

答案為（）

A.小明

B.小亮

C.兩人合在一起才正確

D.兩人合在一起也不正確

9.如圖，已知/COD=/4O3=75°,當(dāng)/COD繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)且OC在內(nèi)部