2024年全國碩士研究生招生考試數學試題及答案

2024年全國碩士研究生招生考試

數學(一)試題

一、選擇題(每小題5分，共50分)

nx,psin?,2

1、已知函數了(燈=Joecostdt,g(x)=J。e*dt,則

()

(A)/Q)是奇函數，gQ)是偶函數

(B)/儂)是偶函數，gQ)是奇函數

(C)/Q)與gQ)均為奇函數

(D)/Q)與gQ)均為周期函數

2、設尸=「(與幼乃,(3=(53,%乃均為連續(xù)函數，\為曲面

z=y/l—x2—y2(x<.0,y>0)

的上側，則aPdgdN+Qd2d/=()

(A)ff-P+^-Qdxdy(B)JJ；-|P+|Qd/dg

JJ'N2/

(C)rr^P_yQ]dxdy(D)a[-^p-yQ]dxdy

OPOP

3、已知幕級數￡Q,力”的和函數為ln(2+，)，則￡na2n

71=0n=l

()

1111

(A)--(B)--(C)-(D)-

6363

4、設函數f(x)在區(qū)間(-1,1)上有定義，且lim/Q)=0,則()

x—>0

(A)當lim'⑺=m時，f'(0)=m

多—ox

(B)當/z(0)=m時，lim'也)=m

紀f0x

(C)當limf\x)=m時，1f'(0)=m

/一>0

(D)當/'(0)=m時，limf\x)=m

x—>0

第2頁

5、在仝間直角坐標系O—化沙之中，三張平面

7vi:a產++c產=4(I=1,2,3)

的位置關系如下圖所示

萬

%1

萬2

r%

萬

3

n

(B)m=n=2

(C)77l=2,72=3(D)m=n=

%,%,%線性相

關，且其中任意兩個向量均線性無關，則()

(A)a=1,bn—1(B)a=l,b=—1

(C)a0一2,b=2(D)a=—2,b=2

7、設4是秩為2的3階矩陣，a是滿足4a=0的非零向量，若

對滿足力,a=0的3維向量力，均有4萬=萬，貝!J()

(A)A3的跡為2(B)A3的跡為5

(C)A?的跡為8(D)A?的跡為9

8、設隨機變量X,y相互獨立，且X?7V(0,2),y?2V(-2,2),

若「{2X+V<a}=尸{x>y},則0二()

(A)-2-V10(B)-2+V10

(C)-2-V6(D)-2+V6

9、設隨機變量X的概率密度為

第3頁

2(1_乃,0<a?<1

f(x)=-

0,其他

在x=旗0＜宓＜1)的條件下，隨機變量y服從區(qū)間3,1)上的

均勻分布，則cov(x,y)=()

1

(A)-------⑻—專(C)—(D)—

367236

io.設隨機變量x,y相互獨立，且均服從參數為入的指數分布,

令Z=|X—YI,則下列隨機變量與Z同分布的是()

(A)X+r(B)X+Y(C)2X(D)X

2

二、填空題(11」6題，每題5分，共30分)

/\sinx

1+axo21—1

[[、已知lim----------------------=6,貝！]a=___________

x—0,3

12、已知/(加。)存在二階連續(xù)的偏導數，且

d/(l,1)=3d〃+4do.

.\ri2

若沙=/(COSNJ+Z2),則―4=___________.

'/d/

冗=0

13、已知73)=1+=,若

Q00

f⑺=U+￡4cosnx,xe[0,TT],

2n=l

2

八貝!」!lim、nsina?.

n—>oo2n—l----------------

I

14、微分方程/=-------滿足g⑴=0的解為______________

3+y)2

a+1a

15、已知A=,對于任意的實向量OL=',8=1

aa力2%

都有,^TAf3則Q的取值范圍是________

16、設隨機試驗每次成功的概率為P，現(xiàn)進行3次獨立重復試驗,

第4頁

4

在至少成功1次的條件下，3次試驗全部成功的概率為一,則

13

p=

三、解答題：（17-22題，共70分）

17、（10分）已知平面區(qū)域

D=｛儂加1一力<x<1,-1

X

計算/=ffD-1=dxdy.

J/+期2

18、（12分）已知函數4亞g）=d+/一（力+妨2+3,設7

是曲面z=y）在點（1,1,1）處的切平面，。是T與坐標平面所

圍成的有界區(qū)域在④O"面上的投影.

⑴求T的方程；

（2）求了3,g）在區(qū)域。上的最大值和最小值.

19、（12分）設了3）具有二階導數且r（o）=r⑴⑺區(qū)1.

證明：。）當力G（0,1）時，有

If（m—f（0）（l-^）-fWx|<^^；

0J>）小54

20、（12分）已知向曲線E是球面/+貨+i=27與平面

2x-z-l=0的交線，從N軸正向往N軸負向看為逆時針方

向，計算曲線積分

=J*(Qxyz—yz2)dx+2x2zdy+xyzdz.

21、(12分)已知數歹此4｝,｛外卜｛%｝滿足

力o=_1,珈=°，%=2且

Xn-—^Xn-l+^Zn-V

'%=-2。冗_1_2勺_1，

Zn=~^Xn-l~3%,_1+眨幾_1，

第5頁

記=yn,寫出滿足口八=的矩陣4,并求4日及

xz

n^yn')n=1,2,…)的通項表達式.

22、(12分)已知總體X服從［0,。］上的均勻分布，ee(0,+oo)

為未知參數，X「X2,…,X0是來自總體X的簡單隨機樣本，記

X(m=max{XVXV???,Xn},T,=cX^.

⑴求c,使得式是。的無偏估計；

(2)記h?=E(Tc一肝,求。，使得貼)最小.

第6頁

2024年全國碩士研究生招生考試

數學(一)試題參考解答

一、選擇題(每小題5分，共50分)

1、【答案】：C

【參考解答】：兩個被積函數都為偶函數，故正確結果為【C】.

2、【答案】：A

【參考解答】：由兩類曲面積分之間的關系，有

rr?cosmcos3,

j*j*^Pdydz+Qdzda?fIP------+Q--dtxdy

cos7cosy

而曲面取為上側的方向余弦為

(cosa,cos⑸cos7)=(力，%n)

代入上式即得

JXPdydzQdzdx=JJP—+Q—

即正確選項為【A】.

3、【答案】：A

【參考解答】：函數ln(2+x)的麥克勞林級數為

oo/-J\n—1

CT

ln(2+CD)=In2+In1H----ln2+V—xn

念展2n

比較系數得=(-1)n~,n=1,2,…?代入所求級數表達式，得

OOOOIll

皿2r;￡-

El816

n=ln=l1-----

4

故正確選項為【A】.

4、【答案】：B

【參考解答】：由r(o)=小可知函數/(⑼在/=。處連續(xù)，故由

limf(x)=0可知/(0)=0,故由導數的定義可知

力一＞0

lim&Ulim%匕幽

==rn

a3->0xg—0①—0

第7頁

即正確選項為【B】.

【注】(A):有可能/Q)在方=0處不連續(xù)，可能為其可取間斷點.

(C)(D):導函數J'Q)在①=0處不一定連續(xù)，故都不確定.

5、【答案】：B

【參考解答】:記A=、，b=d?,由于三個平面交于一條直線,

也即方程組4力=d有無窮多解,故根據線性方程組解存在的條件可

知r(4)=r(A,b)<3.又三個平面不平行，故必有

r(A)=r(A,b)>1,

所以「(4)=r[A,b)=2,即正確選項為【B】.

6、【答案】：D

【參考解答】：由題設可知%,%線性無關，所以awl,且

r(%,a2，％)=2.對向量組(%,%,)實施初等行變換，有

-1—CL

a+2

從而可知a+2=0,a+b=0,解得a=—2,b=2,此時

兩兩線性無關，故正確選項為【D】.

7、【答案】：A

【參考解答】：設4=閑，則由4a=0知/3：a=0,，=l,2,3.

由于對滿足=0的3維向量p均有4萬二萬，故

二處,，=1,2,3且?閨=2.也就表明用,色,63中至少有

兩個線性無關的向量是4的特征值1所對應的特征向量，即1至少

是4的二重特征值.而4顯然有一個特征值是0，所以4的特征值

為1,1,0,從而A2和A3的特征值也是1,1,0從而可知它們的跡都

第8頁

等于2,即正確選項為[A].

8、【答案】：B

【參考解答】：由題設知2X+y?N(—2,10),X—y?N⑵4),

..—r—^-2X+y+2.、X-Y—2-z、_?

從而有-----7=----?NA7(z0J),----------------?NA7(OJ).于是

V102

X-Y-2r

p[x>y}=P[X-Y>o}=P--------------->-1

2

=i—$(—i)=①⑴

2X+y+2

P[2X+Y<a]=P而<=中⑴

Q+2

由條件可知=l,a=屈一2.即正確選項為[B].

9、【答案】：D

【參考解答】：由題設可知，在x=/(。<%<1)的條件下，y的

條件概率密度為

f/I\-----，X<y<1

fY\X(y\X)=1-x

0,其他

所以x與y的聯(lián)合概率密度為

2,0<x<y<1

f(x,y)=f(x)f(y\x)=

Y]x0,其他

于是可得

Cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y)

y1

=fo的2嗎d'—J：dgj：2M力心打。2yax

0

——1-1--—2—----1-

-433-36

即正確選項為【D】.

10、【答案】:D

【參考解答】：先求Z的分布函數3(z):

當zgO時,Fz(z)=0.

當z>0時，

第9頁

Fz(z)=P{z<z}=P{\X-Y\<z}

=l-P\\X-Y\>z]

p+oopx—z、、

=1-2dx/入e—6?Xe~Xydy

JzJo

=1-2J0°Ae~Ax(1-eAz~Ax^dx=1-e~Az

由此可知Z服從參數為人的指數分布，所以正確選項為【D】.

二、填空題(11-16題，每題5分，共30分)

11、【答案】：6

【參考解答】：由二—1?力?sin/~In(1+力)(,T0),得

\sinx,I2、

l+a，-1sm叫1+M)

---------------------=lim-----------------------

宓一>0/3力10①3

sin/lnl+a，)/.萩

=lim---------------------L=lim---------=Q=6

2—0z—>0況3

故a=6.

12、【答案】：5

【參考解答】：由d/(l,l)=3dw+4do可知

的1)=3,依,1)=4.

由復合函數求導法則，可得

二*cos①,1+，)?(一sinx)+力［cos①,1+，).2⑦

對上式兩端繼續(xù)求導，可得

12

—g=4'?sin2x—2xsinxf；；—cosx于:

dx2

-2zsin時;;+4獷以?+2為'

代入力=0,得粵=—*1,1)+24'(1,1)=5.

dXx=0

13、【答案】：一工

7T

【參考解答】：由題設可知，傅里葉級數為余弦級數，故為對函數/Q)

視為偶函數展開，故得其傅里葉系數為

第10頁

2

anx]cosnxdx+x]cosnxdx

7T

2cos(nx)?xsin(nx)+sin(na?)2cos(7rn)—1

4n2nkn2

故得a2n-l=2cos（2-—l=-1—J.代入極

不（2”葉（2n-1）2

限式并由等價無窮小sin%?力,T0）得

41

limn2sin%=limn2sin

moc2n_1n—>oon(2n-l)2

4n21

=-----lirm--------------=------?

14、【答案】：y=arctan（a?+y）-----

4

【參考解答】：對微分方程兩端取倒數，視9為自變量，力為函數，

有名'=（力+g）2令力+9=〃，則況'=〃'一1,代入得

〃，=“2+1,分離變量積分得

arctanu=arctan（"+9）=沙十0

7F

代入夕=0,z=1，得C=arctan1=：.故所求微分方程的解為

arctan（力+g）=yH.

15、【答案】：［0,+8）

【參考解答】：直接將必萬代入計算不等式，得

<W+a（%+力+a僅1+%）2

當。之0,則由柯西不等式可知不等式成立.如果。<0,假定

力1以

叫+=N0,4+%N0，令U=----------,O=--------,則上

%+%%+%

述不等式等價于

222

(xy+a)<(力?_|_a\[y+a|O2axy<_a(力?_|_y

第11頁

即顯然不成立.所以a的取值范圍是［0,+oo）.

9

16、【答案】：-

3

【參考解答】：設在3次試驗中，8表示事件4至少發(fā)生1次，。

表示事件4發(fā)生3次，由題設可知，

p34

13

解得P=--

3

三、解答題：（17-22題，共70分）

17、【參考解答】：積分區(qū)域如下圖：

積分區(qū)域為簡單X—型區(qū)域，直接可以轉換為累次積分，得

fyfhX

dx=(——dg

x2+.y2tv

-1dg=dy-2

令V=tan%,則積分為

+/dg=

_Wdsintdu

sint=〃)=J2

Jocos，t2

1-w2

111

--------------77-------rH-du

4(口-I)24(。+1)4(u+I)24(〃—1)

冊

112

H——In1+tt—--lnu-1

4(u—1)44(?z+1)4

第12頁

=i272+In1+1

-In1-----尸

4血，

+1

2472-122

代入上面的積分式，得

+1-2.

18、【參考解答】：⑴曲面曲面N=/(I,切在點(1,1,1)處的法向

量為

|的dy.、

I必(1,1,1)

—卜宏2—2(a?+妨,3娟—2(力+g)，-1)()=(―1,—1,—1).

所以切平面T的方程為

一(3?_1)—(n—1)—(z—1)—0xyz—3—0.

⑵由⑴可知區(qū)域。=a{(宏,始|定+V;3,④20,420}.令

a=312—2(冗+y)=0,

a

a

444417

在。內解得/=—,g=—?代入函數表達式，得f——-----

333’3-27

再考慮三個邊界：

4:y=0,0<x<3_E,f(x,0)=/—，+3,令

/'(傷0)=3X2-2X=0,得區(qū)間僅,3)內的解力=-.計算得

3

2'77

7(0,0)=3"-,0=—,/(3,0)=21.

4：宓=0,0S?/S3上，由對稱性可知有相同的值

/(0,0)=3,f0,|=["(0,3)=21.

O//

33

L3:y=3—ic,0<a?<3Jz/(sc,3—a?)=a？+(3—se)—6,令

區(qū)間僅,3)內的解力計算得/=［比較上面

/\(44)17

的函數值，得"=/(0,3)=21,熊§事”

?

19、【參考解答】：(1)【法1】由于/(⑼具有二階導數，故

V?G(0,1),有

f{t)=/同+r同?一%)+‘F)(%-?『.

其中(位于方山之間，代入力=0"=1,得

/(1)=/(q+r(。)(1—勾+(1—4，

/僅)=/(①)+r3(T+'x2.

其中④<&<1,0<J<%?兩式消去“勾，得

(1-a?)f(o)+xf(1)-f(a;)

故由絕對值不等式與〃⑺區(qū)1和④6(0,1),得

［㈤―(1—句刖—時仰

、；力(1―7)2+力2(1—="與")?

【法2】由于13)具有二階導數,故注，［僅R,有

f(x)=.0)+/'僅)出+/

上)=則+/，(1)(”—1)+華("/

其中其中o<備<傷=<&<L由于r(o)=r⑴，將第二式

中的?。)替換為r(o),然后兩式消去〃o),整理得

f3)-f(0)(l~x)~f(l)x

_，(1一司/〃(幻+-if/〃(&)

—2

故由絕對值不等式與廠㈤區(qū)1和⑦e仙1),得

第14頁

|/(宏)—(1—%)刖一時(1)1

_/(1—X)

<-X\l—X2+/(1—力

—22

(2)由⑴及

/(O)(1-MT⑴司dx

9一筆幽

所以由定積分的絕對值不等式性質，得

<Jo|/3)—7(。)(1一⑼一/(1)司dx

1

<r^^ldx=±,

一Jo212

即所證不等式成立.

20、【參考解答】：【法1】用兩曲面方程消去z,得

y2+5a?2—67+1=0,

2

3y24

即①——H.......——.記

5/525

322)

E:z=2比一1,x----+L〈土

55-25

方向朝上.又曲面、的單位法向量為

o

n—(cosa,cos/3,cos7)=(—2,0,1)

故由斯托克斯公式公式,得

cosacos/3

dd

=ffdxOy

Qxyz—yz22X2Z

z1—2\xz—2x2—2xz

-------dS

=ff靠

由^dSudb,故由對面積的曲面積分的直接計算法,將

N=2力一1代入，整理得

第15頁

I=ffld<T

D

易知區(qū)域。是a=~,b=二的橢圓.故/=irab="員

57525

【法2】由被積表達式定義在積分曲線上，故滿足積分曲線的方

程，也即可以直接將z=2①一1代入，故得

I=J(6xy(2x—1)—y(2x—I)2jda?

+2X2(2X—l)dy+xy(2x—l)d(2①—1)

=J(12比2—4%—3_,d力+(4宏③—2x

由于積分僅僅與電g有關，故只需要考察其在/O3/面的投影曲線.

用兩曲面方程消去N,得投影曲線為④。?/面上的橢圓，

_4

c:x-----n.......——

5525

方向取為逆時鐘方向.于是由格林公式，可得

4v

dQdP=ffd<T

I=ff(D

dx8y,25

Xn-202Xn

21、【參考解答】：由題設得0-2-2y,故得

ynn

Zn-6-33%

-202

A=0-2-2

一6-33

滿足外=4a-廣令

A+20-2

\XE-A\=0A+22

63A-3

=A(A—1)(A+2)=0

得矩陣4的特征值為入i=0,入2==一2.

對％=0,解方程組(0E—4)力=0,得對應的特征向量

%二(LTD、

對A=L解方程組(E-A)x=0t得對應的特征向量

第16頁

%=(2,一2,3)2.

對％=-2,解方程組（一2E-A）x=O,得對應的特征向

量％=(—1,2,0)7.令

12-1

產=(%,)=—1—22

130

000000

則尸1{?=