結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：虛功原理：虛位移與實位移的區(qū)別

結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：虛功原理：虛位移與實位移的區(qū)別1結(jié)構(gòu)力學(xué)與虛功原理簡介在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，虛功原理是一個核心概念，它提供了一種分析結(jié)構(gòu)在各種載荷作用下行為的有效方法。虛功原理基于能量守恒的原理，通過比較虛位移和實位移下的能量變化，來判斷結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。這一原理在工程設(shè)計和分析中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡和穩(wěn)定性問題時。1.1虛位移與實位移的概念引言1.1.1實位移實位移是指結(jié)構(gòu)在實際載荷作用下發(fā)生的位移。這些位移是結(jié)構(gòu)的真實響應(yīng)，可以被測量和觀察到。實位移遵循結(jié)構(gòu)的約束條件，如邊界條件和連續(xù)性條件，是結(jié)構(gòu)在特定載荷下的唯一解。1.1.2虛位移虛位移則是假設(shè)的、與實際載荷無關(guān)的位移。它不遵循結(jié)構(gòu)的平衡條件，但必須滿足約束條件。虛位移可以是無限多的，只要它們不違反結(jié)構(gòu)的約束。在虛功原理中，虛位移用于構(gòu)造能量方程，通過比較不同虛位移下的能量變化，來分析結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。1.1.3虛位移與實位移的區(qū)別約束條件：兩者都必須滿足結(jié)構(gòu)的約束條件，但實位移還必須滿足平衡條件，而虛位移則不需要。載荷相關(guān)性：實位移是載荷的直接結(jié)果，而虛位移與載荷無關(guān)，是假設(shè)的位移。唯一性：實位移對于給定的載荷和約束條件是唯一的，而虛位移可以有無限多個。應(yīng)用：實位移用于描述結(jié)構(gòu)的真實行為，而虛位移用于理論分析和計算，如在虛功原理中用于判斷結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。1.2虛功原理的應(yīng)用虛功原理可以用于判斷結(jié)構(gòu)是否處于平衡狀態(tài)。如果對于所有可能的虛位移，虛功的總和為零，那么結(jié)構(gòu)就處于平衡狀態(tài)。虛功原理的數(shù)學(xué)表達式為：δ其中，δu是虛位移，f是體積力，t是表面力，dV和1.2.1示例：簡單梁的虛功分析假設(shè)我們有一根簡支梁，長度為L，受到均勻分布的載荷q。我們想要分析這根梁在載荷作用下的平衡狀態(tài)。1.2.1.1實位移分析首先，我們計算實位移。對于簡支梁，實位移uxd其中，E是彈性模量，I是截面慣性矩。邊界條件為u01.2.1.2虛位移分析接下來，我們引入虛位移δux。虛位移必須滿足邊界條件，即δ由于實位移ux已經(jīng)滿足平衡條件，因此對于所有可能的虛位移δux1.3結(jié)論虛位移和實位移在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中扮演著不同的角色。實位移描述了結(jié)構(gòu)的真實行為，而虛位移則用于理論分析，幫助我們判斷結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。虛功原理通過比較虛位移下的能量變化，提供了一種強大的工具，用于解決結(jié)構(gòu)力學(xué)中的平衡和穩(wěn)定性問題。請注意，上述示例中沒有提供具體的代碼示例，因為虛功原理的分析通常在理論層面進行，涉及的計算可以通過解析方法或數(shù)值方法（如有限元分析）完成，而這些方法的實現(xiàn)超出了本教程的范圍。然而，理解虛位移與實位移的概念及其在虛功原理中的應(yīng)用，對于深入學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力學(xué)是至關(guān)重要的。2虛位移的基本概念2.1虛位移的定義與特性虛位移（VirtualDisplacement）是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一個重要的概念，它并不描述結(jié)構(gòu)的真實運動，而是為了分析結(jié)構(gòu)在某一力系作用下的平衡狀態(tài)而假想的一種位移。虛位移具有以下特性：任意性：虛位移可以是任意的，只要它滿足結(jié)構(gòu)的約束條件。連續(xù)性：虛位移必須是連續(xù)的，不能有突變。微小性：虛位移通常被認為是微小的，這樣可以進行線性化處理，簡化計算。瞬時性：虛位移是在某一瞬時發(fā)生的，不考慮時間因素。2.1.1示例考慮一個簡單的受力分析問題，一個質(zhì)量為m的物體在光滑水平面上受到一個力F的作用。假設(shè)物體的實位移為x，那么虛位移δx2.2虛位移與約束條件的關(guān)系虛位移必須滿足結(jié)構(gòu)的約束條件，這意味著在結(jié)構(gòu)的任何約束點或約束面上，虛位移必須為零或滿足特定的約束關(guān)系。例如，在鉸鏈連接處，虛位移在鉸鏈軸線方向上可以是任意的，但在垂直于軸線的方向上必須為零。2.2.1示例假設(shè)有一個由兩根桿組成的平面桁架，桿的兩端分別固定在鉸鏈上。如果在桁架的自由端施加一個力，那么桁架的虛位移必須滿足以下條件：在鉸鏈處，虛位移垂直于鉸鏈軸線方向為零。在桁架的自由端，虛位移可以是任意方向的微小位移，但必須滿足力的作用方向。2.3虛位移的幾何意義虛位移的幾何意義在于，它描述了結(jié)構(gòu)在某一瞬時可能發(fā)生的微小變形狀態(tài)。通過虛位移，可以分析結(jié)構(gòu)在不同力的作用下可能的變形趨勢，從而判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性或計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。2.3.1示例考慮一個懸臂梁，一端固定，另一端自由。如果在自由端施加一個垂直向下的力，那么懸臂梁的虛位移可以是自由端在垂直方向上的微小位移，以及梁在力的作用下可能發(fā)生的微小彎曲變形。這些虛位移的幾何意義在于，它們描述了梁在力的作用下可能發(fā)生的變形趨勢。2.4虛位移在虛功原理中的應(yīng)用虛功原理是利用虛位移來分析結(jié)構(gòu)在力系作用下的平衡狀態(tài)的一種方法。根據(jù)虛功原理，如果一個結(jié)構(gòu)在某一力系作用下處于平衡狀態(tài)，那么所有作用力對虛位移所做的虛功之和為零。2.4.1示例假設(shè)一個結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，桿件之間通過鉸鏈連接。如果在結(jié)構(gòu)的自由端施加一個力F，那么結(jié)構(gòu)的虛位移δx可以是自由端在力的作用方向上的微小位移。根據(jù)虛功原理，力F對虛位移δx所做的虛功為F?通過這個原理，可以建立結(jié)構(gòu)的平衡方程，從而計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。在實際應(yīng)用中，虛位移和虛功原理被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、機械設(shè)計、工程分析等領(lǐng)域，是解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題的重要工具。以上內(nèi)容詳細介紹了虛位移的基本概念、與約束條件的關(guān)系以及其幾何意義，并通過示例說明了虛位移在虛功原理中的應(yīng)用。虛位移的概念雖然抽象，但在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中具有重要的作用，能夠幫助我們更深入地理解結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。3實位移的解析3.1實位移的定義與來源實位移，顧名思義，是指結(jié)構(gòu)在實際外力作用下發(fā)生的位移。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，實位移是結(jié)構(gòu)響應(yīng)的真實體現(xiàn)，它直接反映了結(jié)構(gòu)在給定載荷下的變形情況。實位移的來源主要是外力，包括靜力載荷、動力載荷、溫度變化、材料的非均勻性等，這些因素都會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生位移。3.1.1力學(xué)意義實位移的力學(xué)意義在于，它能夠幫助我們理解結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性。通過分析實位移，工程師可以評估結(jié)構(gòu)在不同載荷下的變形程度，從而判斷結(jié)構(gòu)是否能夠承受預(yù)期的載荷，是否會發(fā)生過大的變形，以及是否有可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。3.1.2實位移與外力的關(guān)系實位移與外力之間存在直接的因果關(guān)系。根據(jù)胡克定律，實位移與外力成正比，即外力越大，實位移也越大。這種關(guān)系在彈性范圍內(nèi)是線性的，但當外力超過材料的彈性極限時，這種線性關(guān)系將不再成立，實位移將不再與外力成正比，而是會發(fā)生非線性的變化。3.2實位移的計算示例假設(shè)我們有一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，長度為L，兩端固定，中間受到一個垂直向下的集中力F。我們可以通過以下步驟計算梁的實位移：確定梁的截面屬性：假設(shè)梁的截面為矩形，寬度為b，高度為h，彈性模量為E。計算梁的抗彎剛度：抗彎剛度I為截面的慣性矩，對于矩形截面，I=(b*h^3)/12。應(yīng)用梁的撓度公式：對于兩端固定的梁，中間點的撓度δ可以通過公式δ=(F*L^3)/(48*E*I)計算。下面是一個使用Python計算實位移的示例代碼：#定義梁的參數(shù)

L=10#梁的長度，單位：米

F=1000#集中力，單位：牛頓

b=0.2#截面寬度，單位：米

h=0.5#截面高度，單位：米

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡

#計算抗彎剛度

I=(b*h**3)/12

#計算實位移

delta=(F*L**3)/(48*E*I)

#輸出結(jié)果

print(f"梁的實位移為：{delta:.6f}米")在這個例子中，我們首先定義了梁的幾何和材料屬性，然后計算了梁的抗彎剛度I，最后使用撓度公式計算了實位移δ。輸出結(jié)果為實位移的具體數(shù)值，單位為米。3.3實位移的分析與應(yīng)用實位移的分析在結(jié)構(gòu)設(shè)計中至關(guān)重要。工程師通過分析實位移，可以確保結(jié)構(gòu)在各種載荷作用下不會發(fā)生過大的變形，從而避免結(jié)構(gòu)的失效。實位移的分析通常包括以下幾個方面：線性分析：在彈性范圍內(nèi)，實位移與外力成線性關(guān)系，可以使用線性理論進行分析。非線性分析：當外力超過材料的彈性極限時，需要使用非線性理論來分析實位移，這通常涉及到材料的塑性變形和結(jié)構(gòu)的幾何非線性。動態(tài)分析：對于動力載荷，如地震、風載荷等，需要進行動態(tài)分析，考慮實位移隨時間的變化。在實際應(yīng)用中，實位移的分析結(jié)果可以用于優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計，選擇合適的材料和截面尺寸，以及確定結(jié)構(gòu)的安全裕度。通過上述解析，我們可以看到實位移在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要性，它不僅是結(jié)構(gòu)響應(yīng)的真實體現(xiàn)，也是評估結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和安全性的重要工具。理解和掌握實位移的計算方法，對于結(jié)構(gòu)工程師來說是必不可少的技能。4虛功原理的理論基礎(chǔ)4.1虛功原理的數(shù)學(xué)表達虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一個重要的概念，它基于能量守恒的原則，用于分析結(jié)構(gòu)在各種力的作用下的平衡狀態(tài)。虛功原理的數(shù)學(xué)表達可以概括為：對于任何處于平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，所有外力對虛位移做的虛功總和等于零。假設(shè)一個結(jié)構(gòu)受到外力F的作用，結(jié)構(gòu)的實位移為u，而虛位移為δuF其中，F(xiàn)T表示外力的轉(zhuǎn)置，δ4.2虛功原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用虛功原理在結(jié)構(gòu)分析中有著廣泛的應(yīng)用，它可以幫助工程師計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移和應(yīng)力。在實際應(yīng)用中，虛功原理通常與有限元方法結(jié)合使用，通過求解虛功方程來獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。例如，考慮一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，受到垂直向下的力F作用。我們可以通過虛功原理來計算梁的撓度。首先，假設(shè)梁在任意點x處的虛位移為δy0其中，L是梁的長度，Mx是梁在x處的彎矩，Nx是軸向力，δθx和4.3虛功原理與能量守恒的關(guān)系虛功原理與能量守恒原理緊密相關(guān)。在靜力學(xué)中，虛功原理可以看作是能量守恒的一種特殊形式。當結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時，外力對結(jié)構(gòu)所做的功等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部能量的變化。虛功原理正是基于這一原理，通過考慮外力對虛位移所做的功，來分析結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。在動力學(xué)中，虛功原理同樣適用，但需要考慮動能和勢能的變化。此時，虛功原理可以表達為外力對虛位移所做的功等于動能和勢能的變化率。這種關(guān)系在分析結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)時尤為重要。4.3.1示例：使用虛功原理計算梁的撓度假設(shè)我們有一個簡支梁，長度為L=4m，受到垂直向下的集中力F=10首先，根據(jù)梁的彎曲理論，梁在任意點x處的彎矩MxM梁的撓度yxd我們假設(shè)梁在中點的虛位移為δy0由于梁的實位移yx和虛位移δF通過求解這個方程，我們可以得到梁在中點的撓度δy4.3.2結(jié)論虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一個強大的工具，它不僅適用于靜力學(xué)分析，也適用于動力學(xué)分析。通過虛功原理，工程師可以更深入地理解結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)和能量守恒原理，從而更準確地預(yù)測和分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。在實際工程中，虛功原理通常與數(shù)值方法結(jié)合使用，如有限元方法，以解決復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析問題。5結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：虛功原理：虛位移與實位移的區(qū)別5.1虛位移與實位移的對比分析在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，實位移和虛位移是兩個核心概念，它們在分析結(jié)構(gòu)的平衡和變形中扮演著重要角色。實位移是指結(jié)構(gòu)在實際載荷作用下發(fā)生的位移，它是結(jié)構(gòu)的真實響應(yīng)，可以被測量和觀察。虛位移則是假設(shè)的、與實位移無關(guān)的位移，它用于在數(shù)學(xué)上描述結(jié)構(gòu)的可能變形狀態(tài)，是分析結(jié)構(gòu)平衡和穩(wěn)定性的一種工具。5.1.1實位移實位移是結(jié)構(gòu)在特定載荷作用下，各點的真實位置變化。例如，一根梁在重力作用下會發(fā)生彎曲，梁上各點的位移就是實位移。實位移必須滿足結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)性條件，即在固定端位移為零，在連續(xù)處位移連續(xù)。5.1.2虛位移虛位移是假設(shè)的位移，它不考慮載荷的影響，也不需要滿足邊界條件。虛位移可以是任意的，只要它在結(jié)構(gòu)的連續(xù)處保持連續(xù)性。虛位移在虛功原理中被廣泛使用，用于分析結(jié)構(gòu)在不同載荷下的平衡狀態(tài)。5.2虛位移在虛功原理中的作用虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個基本原理，它基于能量守恒的概念，用于判斷結(jié)構(gòu)在給定載荷下的平衡狀態(tài)。虛功原理表述為：在平衡狀態(tài)下，外力對虛位移做的虛功等于內(nèi)力對同一虛位移做的虛功。5.2.1虛功原理的數(shù)學(xué)表達設(shè)結(jié)構(gòu)上作用的外力為F，虛位移為δu，則外力對虛位移做的虛功為FTδu。同樣，設(shè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力產(chǎn)生的力為F5.2.2虛位移的選擇在應(yīng)用虛功原理時，虛位移的選擇是關(guān)鍵。虛位移可以是任意的，但通常選擇那些能夠簡化計算的虛位移，例如，選擇與結(jié)構(gòu)的變形模式相匹配的虛位移，可以更直觀地分析結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。5.3實位移在結(jié)構(gòu)變形中的體現(xiàn)實位移是結(jié)構(gòu)在實際載荷作用下發(fā)生的變形，它直接反映了結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。通過分析實位移，可以評估結(jié)構(gòu)的承載能力、穩(wěn)定性以及安全性。5.3.1實位移的計算實位移的計算通?；诮Y(jié)構(gòu)的平衡方程和變形方程。在有限元分析中，結(jié)構(gòu)被離散成多個單元，每個單元的位移通過單元的位移模式和載荷狀態(tài)來計算。最終，整個結(jié)構(gòu)的位移通過組合各單元的位移來得到。5.3.2實位移的測量實位移可以通過實驗測量來驗證理論計算的準確性。常見的測量方法包括激光位移傳感器、應(yīng)變片以及數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)等。這些方法可以提供結(jié)構(gòu)在載荷作用下的位移分布，幫助工程師評估結(jié)構(gòu)的性能。5.3.3實例分析假設(shè)有一根簡支梁，長度為L，在中點受到集中載荷P的作用。我們可以通過虛功原理來分析梁的平衡狀態(tài)。確定實位移：在實際載荷P作用下，梁的中點會發(fā)生下垂，兩端位移為零。選擇虛位移：假設(shè)梁的中點向上發(fā)生虛位移δu計算虛功：外力對虛位移做的虛功為Pδ應(yīng)用虛功原理：在平衡狀態(tài)下，外力和內(nèi)力對虛位移做的虛功相等，即Pδu=0LMxδθ通過上述分析，我們可以確定梁在集中載荷作用下的平衡狀態(tài)，進一步計算梁的實位移。通過對比實位移與虛位移，我們可以更深入地理解結(jié)構(gòu)力學(xué)中的虛功原理。虛位移提供了一種分析結(jié)構(gòu)平衡的數(shù)學(xué)工具，而實位移則直接反映了結(jié)構(gòu)在實際載荷下的變形狀態(tài)。兩者結(jié)合使用，可以全面評估結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。6虛功原理的應(yīng)用實例6.1平面桁架的虛功分析在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，虛功原理是一個強大的工具，用于分析結(jié)構(gòu)在各種載荷下的行為。對于平面桁架，虛功原理可以幫助我們確定結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。平面桁架由一系列直桿組成，這些直桿在節(jié)點處連接，只承受軸向力。6.1.1虛位移與實位移實位移：結(jié)構(gòu)在實際載荷作用下發(fā)生的位移。虛位移：在不改變結(jié)構(gòu)約束條件下，假設(shè)的、無限小的位移，它與實際載荷無關(guān)。6.1.2虛功原理虛功原理指出，對于任何靜定或超靜定結(jié)構(gòu)，在平衡狀態(tài)下，所有外力對任意虛位移做的虛功等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部力對同一虛位移做的虛功。6.1.3示例分析假設(shè)我們有一個平面桁架，由三個節(jié)點和四根桿組成，如圖所示：A

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BC節(jié)點A、B、C分別受到外力FA、FB、6.1.3.1步驟1：定義虛位移假設(shè)節(jié)點C的虛位移為δC6.1.3.2步驟2：計算外力的虛功外力FC對虛位移δC做的虛功為6.1.3.3步驟3：計算內(nèi)力的虛功對于每根桿，計算其軸力N對虛位移δC做的虛功。假設(shè)桿BC的軸力為NBC，則其虛功為W6.1.3.4步驟4：應(yīng)用虛功原理由于結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功，即Wext6.2連續(xù)梁的虛位移與實位移計算連續(xù)梁是一種常見的結(jié)構(gòu)形式，由多段梁通過鉸接或剛性連接組成，可以承受分布載荷和集中載荷。虛位移和實位移在連續(xù)梁的分析中同樣重要。6.2.1虛位移在連續(xù)梁中，虛位移可以是梁的任意點的無限小位移，只要它滿足梁的約束條件。6.2.2實位移實位移是梁在實際載荷作用下發(fā)生的位移，包括彎曲、剪切和軸向變形。6.2.3示例計算考慮一個兩端固定的連續(xù)梁，中間有一個鉸接點，受到均勻分布載荷q的作用。我們想要計算梁中點的實位移。6.2.3.1步驟1：確定實位移使用梁的彎曲理論，可以計算出梁中點的實位移δr6.2.3.2步驟2：應(yīng)用虛功原理通過定義一個虛位移δv，并計算外力（分布載荷q）和內(nèi)力（彎矩M6.3虛功原理在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析是確保結(jié)構(gòu)在各種載荷下不會發(fā)生失穩(wěn)的重要步驟。虛功原理可以用于分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，特別是對于非線性問題。6.3.1穩(wěn)定性分析在穩(wěn)定性分析中，虛位移可以用來模擬結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的失穩(wěn)形態(tài)。通過計算這些形態(tài)下的虛功，可以評估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。6.3.2示例分析考慮一個受壓的柱子，我們想要分析其在軸向載荷P作用下的穩(wěn)定性。6.3.2.1步驟1：定義虛位移假設(shè)柱子的虛位移為一個微小的側(cè)向位移δv6.3.2.2步驟2：計算虛功外力虛功：軸向載荷P對虛位移δv內(nèi)力虛功：柱子內(nèi)部應(yīng)力對虛位移δv6.3.2.3步驟3：分析穩(wěn)定性如果外力虛功大于內(nèi)力虛功，柱子可能失穩(wěn)。通過比較這兩個虛功，我們可以確定柱子的臨界載荷，即開始失穩(wěn)的最小載荷。通過以上實例，我們可以看到虛功原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的廣泛應(yīng)用，從平面桁架的位移分析到連續(xù)梁的實位移計算，再到結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的評估，虛功原理都是一個不可或缺的工具。它不僅幫助我們理解結(jié)構(gòu)的行為，還提供了計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的有效方法。7虛功原理在現(xiàn)代工程中的重要性虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一個核心的概念，它在現(xiàn)代工程設(shè)計與分析中扮演著至關(guān)重要的角色。虛功原理允許工程師在不考慮力的物理性質(zhì)的情況下，通過計算力與虛位移的乘積來分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)。這一原理在解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題時，提供了理論基礎(chǔ)和計算方法，特別是在有限元分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和振動分析等領(lǐng)域。7.1應(yīng)用實例7.1.1有限元分析在有限元分析中，虛功原理被用來建立結(jié)構(gòu)的平衡方程。通過將結(jié)構(gòu)離散成多個小單元，每個單元的虛功可以被計算，然后將所有單元的虛功相加，得到整個結(jié)構(gòu)的虛功表達式。這一表達式被用來求解結(jié)構(gòu)在給定載荷下的位移和應(yīng)力分布。7