2024年山西省朔州市應(yīng)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（附答案解析）

2024年山西省朔州市應(yīng)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有項(xiàng)符合題目要求）

1.（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）

A.x》0B.x>0C.xW5D.x<5

2.（3分）下列調(diào)查適合做普查的是（）

A.調(diào)查游客對我市景點(diǎn)的滿意程度

B.調(diào)查我省中小學(xué)生的身高情況

C.調(diào)查九年級（3）班全班學(xué)生本周末參加社區(qū)活動的時間

D.調(diào)查我市中小學(xué)生保護(hù)水資源的意識

3.（3分）下列各點(diǎn)在函數(shù)的圖象上的是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（0,-1）D.（1,0）

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程扇+x-3=0的一個根是1,則左的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

5.（3分）如圖，將RtA48C（N/8C=90°）的一直角邊與刻度尺的邊緣重合，點(diǎn)8,

C對應(yīng)的刻度分別為1和6,若taiM=3，則的斜邊NC的長為（）

6.（3分）如圖，擲兩枚質(zhì)地均勻、大小完全相同的骰子，則下列事件是必然事件的是（）

W

A.擲得的點(diǎn)數(shù)和為5B.擲得的點(diǎn)數(shù)和為9

C.擲得的點(diǎn)數(shù)和大于15D.擲得的點(diǎn)數(shù)和小于13

7.（3分）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段/￡和AD相交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸

在4E的延長線上，測得NC=30c%,3C=40c%,CD=24cm,EC=]8cm,若/8/C=60°,

則斯的度數(shù)為（）

第1頁（共28頁）

A.120°B.125°C.130°D.135°

8.（3分）如圖，在扇形NOB中，AO±OB,ZAOC=ZBOC,若扇形/OB的半徑為2,則

扇形/OC的面積為（）

A.2irB.-7iC.nD.—7r

22

9.（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=〃/與一次函數(shù)的圖象如圖所示,

則二次函數(shù)"2+區(qū)-。的圖象可能是（）

V

10.（3分）如圖，/是平面直角坐標(biāo)系中y軸上的一點(diǎn)，4。=2g，以N。為底構(gòu)造等腰

△ABO,且//3。=120°,將△/臺。沿著射線方向平移，每次平移的距離都等于線

段08的長，則第2024次平移結(jié)束時，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)歷024的坐標(biāo)為（）

第2頁（共28頁）

%

Ak/

XB

o|

A.（2025百，2026）B.（2024舊，2025）

C.（2024,2024V3）D.（2025,2025g）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）計算：（77—3）（3+77）=.

12.（3分）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地

上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺.舞臺區(qū)域的寬均為6米,

中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方

程.

13.（3分）如圖，現(xiàn)有4張卡片，正面書寫不同類型的變化，除此之外完全相同，把這4

張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的概

率是.

糖塊融化鹽酸除銹石塊粉碎火柴燃燒

14.（3分）如圖，四邊形為。。的內(nèi)接四邊形，DB平分NADC,NC為。。的直徑,

若/G4D=60°,AB=2,則AD的長為.

15.（3分）如圖，在矩形/BCD中，AB=4,BC=3,M為對角線8。上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,

第3頁（共28頁）

。重合），連接過點(diǎn)“作上WL4M交邊CD于點(diǎn)N,連接/N.若3環(huán)BD=2：5,

則DN的長為.

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：V25-2cos600+（-9）°-|-1|.

（2）解方程：x2-4x=2x-8.

17.（7分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形菜地，為了節(jié)省材料，菜地的一邊利用長為10米的

墻，另外三邊用長為19米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個寬1

米的門，當(dāng)所圍成的矩形菜地的長、寬分別是多少時，菜地面積為48平方米?

18.（9分）運(yùn)動是一切生命的源泉，運(yùn)動使人健康、使人聰明、使人快樂，運(yùn)動不僅能改

變?nèi)说捏w質(zhì)，更能提升人的品格.某初級中學(xué)為了解學(xué)生每周在家運(yùn)動時間單位：h）

的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將收集到的數(shù)據(jù)整理分析，共分為4,B,

C,D,E五個組別，其中N組的數(shù)據(jù)分別為0.5,0,4,0.4,0,4,0.3,繪制成如下不完

整的統(tǒng)計圖表.

學(xué)生每周在家運(yùn)動時間的頻數(shù)分布表

組別時間t/h頻數(shù)

A0V/W0.55

BO.5V012

Ca

D1.5<^215

Et>28

請根據(jù)以上信息，解答下列問題.

第4頁（共28頁）

（1）/組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；本次調(diào)查的樣本容量是；C組所在

扇形的圓心角的度數(shù)是.

（2）若該校有1500名學(xué)生，估計該校學(xué)生每周在家運(yùn)動時間超過lh的人數(shù).

學(xué)生每周在家運(yùn)動時間的扇形統(tǒng)計圖

19.（9分）如圖，在△/8C中，。是邊上的一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，OD的長為半徑，

O。恰好與邊48相切于點(diǎn)3,與邊4D交于點(diǎn)C,連接3c.

（1）求證：△4BCS/\4DB.

（2）若/2=5,/C=3,求。。的半徑.

20.（8分）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界上的第一奇

塔.它不僅是中國，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在世界建

筑中占有突出的地位.已知“應(yīng)縣木塔”的高度N8為67.3米，塔前“女神雕像”的高

度CD為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測量，某測量小組為了測量“應(yīng)

縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測量方案（如圖所示）：

①他們在“木塔”和“雕像”之間選擇一觀景平臺E,測得“木塔”頂部/的仰角為30°,

測得“雕像”頂部C的仰角為45。；

②測得測角儀的高度所為L3米；

③測得點(diǎn)8,F,。在同一條直線上，ABLBD,EFLBD,CDLBD,垂足分別是8,F,

D.

求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離80.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):遮?1.7）

第5頁（共28頁）

21.（7分）閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在某科技雜志上有這樣一道題：如圖1,在△48C中，三邊分別為N3=c,AC=b,BC

=a,是△/BC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。，E,F.求。。的半徑.

思路分析：如圖1.連接OB,OC,OD,OE,OF,則有0D_L/8,OELBC,OF

1

VAC,OD=OE=OF,設(shè)OD=O￡=OF=r,p=]（a+b+c）.

1111

于是有S"BC=S"o肚SABOLS“oc=qOE?BC+-^OF9AC=亍（a+b+c）=rp,

..j=號/.（其中S表示△NBC的面積，p表示△/BC的周長的一半）

用語言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑「=△AB：察%.

△ABC的半周長p

若已知△48C的三邊長a,b,c,如何求△/BC的面積S呢？

我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202?1261）,曾提出利用三角形的三邊長求它的面積

的秦九韶公式：若4B=c,BC=a,AC=b

則秦九韶公式為S^BC=[眸*（如穿".

例如：在△N8C中，若a=5,6=6,c=7,利用秦九韶公式求△A8C的面積S.

衣刀r[1「（-27?,52+62-72、2i

解：S^ABC=1.X[52x62-（------2------）2]，

任務(wù):

第6頁（共28頁）

（1）請完成材料中利用秦九韶公式求△/2C面積的剩余步驟，并求出△NBC的內(nèi)切圓

的半徑.

（2）如圖2,在RtZk/BC中，ZC=90°，AC=3,BC=4,為它的內(nèi)切圓，則CE

的長為_______

22.（12分）綜合與實(shí)踐

。為邊5c的中點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作

（1）如圖1,當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)/時，DM交邊AC于點(diǎn)、E,不添加輔助線，則圖①中

與△，￡>￡相似的三角形有.（填序號）

①△/皿；②△ADC；③△/3C；④ADCE.

（2）如圖2,將繞點(diǎn)。沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段NC,于點(diǎn)

E,（點(diǎn)￡與點(diǎn)/不重合），求證：△BDFsADEF.

1

（3）在圖2中，^AB=AC=5,BC=6,當(dāng)△。￡尸的面積等于△48C的面積的一時，求

4

線段跖的長.

23.（13分）拋物線y=-#一?jx+Z與x軸交于點(diǎn)/,8（點(diǎn)4在點(diǎn)3的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C,連接/C,BC.

（1）求點(diǎn)/,B,。的坐標(biāo)；

（2）如圖1,P是拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸，使得NR4B=/AC0?若存在，求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,。為線段/C上方拋物線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)0不與點(diǎn)4,C重合），過點(diǎn)。作

0E3

。9〃8C交y軸于點(diǎn)尸，交線段NC于點(diǎn)E,若三=口請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

DC5

第7頁（共28頁）

第8頁（共28頁）

2024年山西省朔州市應(yīng)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有項(xiàng)符合題目要求）

1.（3分）若二次根式訪"有意義，則x的取值范圍是（）

A.B.x>0C.xW5D.x<5

【解答】解：由題意得：5-x^0,

解得：xW5,

故選：C.

2.（3分）下列調(diào)查適合做普查的是（）

A.調(diào)查游客對我市景點(diǎn)的滿意程度

B.調(diào)查我省中小學(xué)生的身高情況

C.調(diào)查九年級（3）班全班學(xué)生本周末參加社區(qū)活動的時間

D.調(diào)查我市中小學(xué)生保護(hù)水資源的意識

【解答】解：/、調(diào)查游客對我市景點(diǎn)的滿意程度，范圍較廣，適合于抽樣調(diào)查，該選項(xiàng)

不符合題意；

8、調(diào)查我省中小學(xué)生的身高情況，人數(shù)多，范圍廣，適合于抽樣調(diào)查，該選項(xiàng)不符合題

忌；

C、調(diào)查九年級（3）班全班學(xué)生本周末參加社區(qū)活動的時間，人數(shù)少，范圍小，適合于

全面調(diào)查，即普查，該選項(xiàng)符合題意；

。、調(diào)查我市中小學(xué)生保護(hù)水資源的意識，人數(shù)多，范圍廣，適合于抽樣調(diào)查，該選項(xiàng)不

符合題意；

故選：C.

3.（3分）下列各點(diǎn)在函數(shù)y=x2-x的圖象上的是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（0,-1）D.（1,0）

【解答】解：??？=，-X

...當(dāng)x=-1時，y=（-1）2-（-I）=2W0,所以點(diǎn)（-1,0）不在函數(shù)圖象上，故

A選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)x=0時，y=0W±l,所以點(diǎn)（0,1）、（0,-1）都不在函數(shù)圖象上，故8、C選項(xiàng)不

第9頁（共28頁）

符合題意;

當(dāng)x=l時，y=0,所以點(diǎn)（1,0）在函數(shù)圖象上，故。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程京2+、-3=0的一個根是1,則左的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

【解答】解：??,一元二次方程區(qū)2+、一3=0的一個根是1,

：.kXl2+\-3=0,

解得左=2,

故選：C.

5.（3分）如圖，WRtA^C（ZABC=90°）的一直角邊5C與刻度尺的邊緣重合，點(diǎn)5,

C對應(yīng)的刻度分別為1和6,若taiM=3，則的斜邊NC的長為（）

，BC=6-1=5,

在RtZkABC中,tanA=|,

BC_5

:?AB==2,

tanA—5

2

：.AC=7AB2+BC2=V22+52=V29,

.-.RtA^SC的斜邊NC的長為何,

故選：A.

6.（3分）如圖，擲兩枚質(zhì)地均勻、大小完全相同的骰子，則下列事件是必然事件的是（）

VW

A.擲得的點(diǎn)數(shù)和為5B.擲得的點(diǎn)數(shù)和為9

C.擲得的點(diǎn)數(shù)和大于15D.擲得的點(diǎn)數(shù)和小于13

【解答】解：4擲得的點(diǎn)數(shù)和為5是隨機(jī)事件，不符合題意；

第10頁（共28頁）

B,擲得的點(diǎn)數(shù)和為9是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、擲得的點(diǎn)數(shù)和大于15是不可能事件，不符合題意；

。、擲得的點(diǎn)數(shù)和小于13是必然事件，符合題意；

故選：D.

7.（3分）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段/￡和AD相交于點(diǎn)C,點(diǎn)廠

在4E的延長線上，測得NC=30cm,8C=40c%,CD=24cm,EC=l8cm,若4B/C=60°,

則/DE尸的度數(shù)為（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【解答】解：；/C=30cm,BC=40cm,CD=24cm,EC^lScm,

.AC305BC405

"CE~18~3'CD~24~3,

?_A_C_B_C

??一——，

CECD

NACB=/DCE,

：.LACBs^ECD,

：.ZBAC=ZDEC=60°,

AZDEF=\S0°-ZDEC=120°,

故選：A.

8.（3分）如圖，在扇形405中，AOLOB,ZAOC=ZBOCf若扇形405的半徑為2,則

扇形40。的面積為（）

第11頁（共28頁）

A

1

A.2TlB.-7TC.71D.—71

22

【解答】解：??ZOJ_O5,

AZAOB=90°，

ZAOC=ZBOC,

ZAOC=x(360°-90°)=135°,

:扇形/OC的半徑為2,

1357rx223

...扇形AOC的面積=

-360-二2正

故選：B.

9.（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/與一次函數(shù)y=bx+c的圖象如圖所示,

則二次函數(shù)>="2+8-。的圖象可能是（）

【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b<0,c>0,

...二次函數(shù)y=a/+bx-c的圖象開口向上，對稱軸x=-/>0,與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)

半軸.

故選：C.

10.（3分）如圖，/是平面直角坐標(biāo)系中〉軸上的一點(diǎn)，AO=2V3,以/。為底構(gòu)造等腰

△480,且/4SO=120°,將沿著射線。g方向平移，每次平移的距離都等于線

第12頁（共28頁）

段08的長，則第2024次平移結(jié)束時，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)82024的坐標(biāo)為（）

A.(2025V3,2026)B.(2024V3,2025)

C.(2024,2024次)D.(2025,2025v5)

【解答】解：如圖，作于點(diǎn)C,

BC=----=~~i==1，

tan6073

，B（1,V3）,

由圖觀察可知，第1次平移相當(dāng)于點(diǎn)向上平移1個單位，向右平移百個單位，第2次平

移相當(dāng)于點(diǎn)向上2平移個單位，向右平移2舊個單位，……

以此類推，第〃次平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為8（1+n,V3+V3n）,

...第2024次平移結(jié)束時，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)比024的坐標(biāo)為（1+2024,V3+2024V3）,即

（2025,2025V3）,

故選：D.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

II.（3分）計算：（夜-3）（3+防=-2.

【解答】解：原式=（V7）2-32

=7-9

第13頁（共28頁）

=-2.

故答案為：-2.

12.（3分）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地

上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺.舞臺區(qū)域的寬均為6米，

中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程（x-6）

故答案為：（X-6）（x-6-6）=216.

13.（3分）如圖，現(xiàn)有4張卡片，正面書寫不同類型的變化，除此之外完全相同，把這4

張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的概

率是-7--

O

糖塊融化鹽酸除銹石塊粉碎火柴燃燒

【解答】解：把4張卡片從左向右分別記為/、B、C、D,

畫樹狀圖如下：

開始

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的結(jié)果有2種，即/C、

CA,

21

...兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的概率是r

126

故答案為：

6

14.（3分）如圖，四邊形4BCD為。。的內(nèi)接四邊形，DB平分/ADC,/C為OO的直徑,

若/C4O=60°,AB=2,則的長為—魚

第14頁（共28頁）

D

B

【解答】解：??ZC為。。的直徑,

ZADC=ZABC=90°，

,.?。8平分N4OC,

1

:?/ADB=/CDB=/ADC=45°,

：.AB=BC,

：.AB=BC,

???AABC是等腰直角三角形,

：.AC=內(nèi)5=2企,

u：ZCAD=60°，

AZACD=30°，

；.AD=%C=V2.

故答案為：V2.

15.（3分）如圖，在矩形中，AB=4,BC=3,M為對角線3。上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)5,

。重合），連接/跖過點(diǎn)M作兒W_L4M交邊CD于點(diǎn)N,連接NN.若加：BD=2：5,

3

則DN的長為

【解答】解：過點(diǎn)M作于G,延長GW交CD于〃，則G8LCD,如圖:

第15頁（共28頁）

:./BAD=/ADC=NAGH=90°,AD=BC=3,AB=CD=4,

???四邊形4G/TO為矩形，

：?AG=DH,GH=AD=3,GM//AD,

：.ABGMsABAD,

?BGGMBM

^~BA=~AD=訪'

VW：BD=2：5,

.BGGMBM2

“BA~AD~BD~

：.BG==|,MG=|ZD=I，

**.AG=HD=AB—BG=4—耳=毛-,

69

：.MH=GH-GM=3-=

":MNLAM,

：.ZAMN=90°,

AZAMG+ZHMN=90°,

VZAMG+ZMAG=90°,

???/HMN=NMAG,

VZAGM=ZMHN=90°,

???AAGMsAMHN,

tAGMG

MH~HN'

126

即：年=磊，

5

Q

解得：HN=卷,

1293

：.DN="D-”N=苦一擊=力

第16頁（共28頁）

3

故答案為：

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：V25-2cos600+（-9）°-|-1|.

（2）解方程：x2-4x=2x-8.

【解答】解：（1）原式=5—2X）+1—1

=5-1+1-1

=4；

（2）變形整理，得/-6%+8=0,

（x-4）（x-2）=0,

x-4=0或x-2=0,

=4,%2=2.

17.（7分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形菜地，為了節(jié)省材料，菜地的一邊利用長為10米的

墻，另外三邊用長為19米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個寬1

米的門，當(dāng)所圍成的矩形菜地的長、寬分別是多少時，菜地面積為48平方米?

AD

1m

BC

19+1-x

【解答】解：設(shè)3C的長為x米，則的長為?米,

2

19+1-x

根據(jù)題意得：x------------=48,

整理得：x2-20x+96=0,

解得：xi=8,m=12,

:墻長10米,

??x=8,

19+1-x19+1-8

—6（米）.

22

答：當(dāng)矩形菜地的長為8米，寬為6米時，菜地面積為48平方米.

18.（9分）運(yùn)動是一切生命的源泉，運(yùn)動使人健康、使人聰明、使人快樂，運(yùn)動不僅能改

變?nèi)说捏w質(zhì)，更能提升人的品格.某初級中學(xué)為了解學(xué)生每周在家運(yùn)動時間1（單位：h）

的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將收集到的數(shù)據(jù)整理分析，共分為/,B,

第17頁（共28頁）

C,D,￡五個組別，其中/組的數(shù)據(jù)分別為0.5,0.4,0.4,0,4,0.3,繪制成如下不完

整的統(tǒng)計圖表.

學(xué)生每周在家運(yùn)動時間的頻數(shù)分布表

組別時間t〕h頻數(shù)

A0CW0.55

B0.5</^112

C1<0.5a

D1.5<反215

Et>28

請根據(jù)以上信息，解答下列問題.

(1)A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是0.4；本次調(diào)查的樣本容量是60;C組所在扇形的圓

心角的度數(shù)是72。.

(2)若該校有1500名學(xué)生，估計該校學(xué)生每周在家運(yùn)動時間超過的人數(shù).

學(xué)生每周在家運(yùn)動時間的扇形統(tǒng)計圖

【解答】解：(1):/組的數(shù)據(jù)分別為：0.5,0,4,0.4,0,3,0.3,

：.A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是0.4；

本次調(diào)查的樣本容量是15?25%=60,

3組所在扇形的圓心角的大小是360。x希=72。.

(2)Va=60-5-12-15-8=20,

/.1500x=1075(A),

VoU?

答：估計該校學(xué)生勞動時間超過lh的大約有1075人.

19.(9分)如圖，在△/3C中，。是邊上的一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，的長為半徑,

O。恰好與邊AB相切于點(diǎn)3,與邊交于點(diǎn)C,連接3c.

(1)求證：

第18頁(共28頁)

（2）若45=5,4C=3,求。。的半徑.

【解答】(1)證明：連接05,

,?Z5與圓相切于5,

C.OBLAB,

：.ZABC+ZCBO=90°,

???CQ是圓的直徑，

:?NCBD=90°,

ZD+ZOCB=90°,

?：OC=OB,

：?NOCB=/OBC,

：.ND=NABC,

■:/CAB=/BAD,

：.△ABCs^ADB.

(2)解：???△ABCs^ADB,

：.AB：AD=AC：AB,

?：AB=5,AC=3f

.*.5：AD=3：5,

：.CD=AD-AC=^,

20.（8分）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界上的第一奇

第19頁（共28頁）

塔.它不僅是中國，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在世界建

筑中占有突出的地位.已知“應(yīng)縣木塔”的高度為67.3米，塔前“女神雕像”的高

度CD為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測量，某測量小組為了測量“應(yīng)

縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測量方案（如圖所示）：

①他們在“木塔”和“雕像”之間選擇一觀景平臺E,測得“木塔”頂部N的仰角為30°,

測得“雕像”頂部C的仰角為45°；

②測得測角儀的高度跖為L3米；

③測得點(diǎn)3,F,。在同一條直線上，ABLBD,EFLBD,CDLBD,垂足分別是8,F,

D.

求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離（結(jié)果精確到01米，參考數(shù)據(jù):班?1.7）

【解答】解：如圖，過點(diǎn)、E作MN〃BD,交48于交,CD于M,

'JABLBD,EFLBD,CDLBD,MN//BD,

：.MN±AB,MNLCD,

，四邊形NDFE,AffiDN均為矩形,

:.MB=DN=EF=\3,BD=MN,

：.AM=AB-MB=613-1.3=66,CN=CD-DN=W.3-1.3=9.

在Rt/X/Affi■中，N/￡M=30。，

.'.ME=布=萼=66X我=112.2,

T

在Rt/XCNE中，ZC￡7V=45°,

.w/7CN9Q

第20頁（共28頁）

BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2,

即“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離8。約為121.2米.

21.（7分）閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在某科技雜志上有這樣一道題：如圖1,在△NBC中，三邊分別為N5=c,AC=b,BC

=a,是△/BC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D,E,F.求。。的半徑.

思路分析：如圖L連接OB,OC,OD,OE,OF,則有0D_L/8,OELBC,OF

VAC,OD=OE=OF,設(shè)OD=OE=OF=r,p=寺（a+6+c）.

1111

于是有S"BC=S"o及SABOLS“oc=《OE?BC+-^OF*AC=（a+b+c）=rp,

.?j=號/.（其中s表示△NBC的面積，p表示△/BC的周長的一半）

用語言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑「=MB。肥2]

△ABC的半周長p

若已知△48C的三邊長a,b,c,如何求△/BC的面積S呢？

我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202?1261）,曾提出利用三角形的三邊長求它的面積

的秦九韶公式：若4B=c,BC=a,AC=b

則秦九韶公式為S9BC=]孤2*（如穿".

例如：在△/8C中，若a=5,b=6,c=7,利用秦九韶公式求△48C的面積S.

bjjo[1rr-nTo,52+62-72、2i

解：S^ABC=yj4x[5x6-（----2------A]，

任務(wù)：

（1）請完成材料中利用秦九韶公式求△/2C面積的剩余步驟，并求出△NBC的內(nèi)切圓

的半徑.

（2）如圖2,在中，ZC=90°,4c=3,BC=4,為它的內(nèi)切圓，貝ljCE

的長為1.

第21頁（共28頁）

［解答］解：(1)s滓=出X［52義62—("±*虧］

二］曰,［25義36_(25+,—49)2］

=J|x(25x36-36)

=VH6

=6^6,

a+b+c5+6+7

又,:的周長的一半

AABCp-2-=-2-

:.△NBC的內(nèi)切圓的半徑r=號區(qū)=警=孚.

（2）如圖，連接7E和比，

?.?在Rt^/BC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,

.MB=y/AC2+BC2=V32+42=5,

設(shè)IF=IE=r,p為△NBC的周長的一半，

則S^ABC—4AC-BC=ix3x4=6,p=="j+S=6,

...我△/BC的內(nèi)切圓的半徑r=號/=*=1.

：.IF=IE=1；

又,/。/為RtA^5C的內(nèi)切圓,

：.IFLAC,IE±BC,

：.ZC=ZIFC=ZIEC=9Q°,

四邊形比CF是正方形，

：.CE=IE=IF=\.

故答案為：1.

22.（12分）綜合與實(shí)踐

在△4BC中，AB=AC,。為邊3c的中點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作

第22頁（共28頁）

（1）如圖1,當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)/時，DM交邊AC于點(diǎn)、E,不添加輔助線，則圖①中

與△幺￡>￡相似的三角形有①②⑷.（填序號）

①△AB。；②△ADC；③AABC；④ADCE.

（2）如圖2,將NMDN繞點(diǎn)。沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段NC,4B于點(diǎn)、

E,（點(diǎn)E與點(diǎn)/不重合），求證：ABDFs/XDEF.

1

（3）在圖2中，若/5=/C=5,BC=6,當(dāng)△。跖的面積等于△/5C的面積的二時，求

4

線段所的長.

【解答】（1）解：。為8C的中點(diǎn)，

J.ADLBC,/B=/C,ZBAD=ZCAD,

又,:/MDN=/B,

：.^ADE^AABD,故①正確；

同理可得：AADEsAACD,故②正確；

■:/MDN=/B,/B+/BAD=90°,ZMDN+ZEDC=90°,

ZBAD=ZEDC,

,：ZBAD=ZDAE,

：.NDAE=ZEDC,

?/ZMDN=ZC,

:.△ADEsADCE,故④正確；

在△4DE與△48C中只有/aZB或/MDN=/C,故不能判定△/￡>￡與A4BC相

似.

，圖①中與△/￡>￡相似的三角形有①②④.

（2）證明：；/B+/BFD=/CDF=NMDN+NCDE,/MDN=NB,

：.NBFD=NCDE,

由N2=/C,得/B=/C,

:.叢BDFs叢CED.

第23頁（共28頁）

?_B_D___E_C

??—，

DFDE

,:BD=CD,

.CDEC

DF~DE'

又■:NB=/EDF,

:.ACEDsADEF.

：.ABDFsdDEF.

(3)解：連接40,過。點(diǎn)作。DH±BF,垂足分別為G,H.

;AB=AC=5,。是3c的中點(diǎn),

：.ADLBC,BD=3.

在Rt^ABD中，力。=7AB2-BD2=V52-32=4,

11

?"△ARC—冗BC-AD=）X6x4=12.

_1_1_

SADEF=4s△ABC=4x12=3.

11

XV-XD-BD=-AB-DH,

.AD-BD4x3

??DH=F-=M=24,

,:△BDFs^DEF,

???ZDFB=ZEFD

■:DGIEF,DH_LBF,

：.DH=DG=2A.

1

?：S^DEF=2XEFXDG=3,

3

：.EF=^-=2.5.

切G

i&

23.（13分）拋物線y=—2%2-2%+2與％軸交于點(diǎn)4,B（點(diǎn)4在點(diǎn)5的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C,連接4C,BC.

第24頁(共28頁)

(1)求點(diǎn)/,B,C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,尸是拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得/力3=N/CO?若存在，求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,。為線段NC上方拋物線上的一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)/,C重合)，過點(diǎn)。作

0E3

。尸〃2C交y軸于點(diǎn)尸，交線段NC于點(diǎn)E,若二=口請直接寫出點(diǎn)0的坐標(biāo).

DC5

y八

圖1