2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊：多邊形及其內(nèi)角和 知識梳理與講解

專題IL7多邊形及其內(nèi)角和（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識點(diǎn)歸納】

【知識點(diǎn)一】多邊形及其相關(guān)概念

1.多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果

一個(gè)多邊形由力（"是大于或等于3的自然數(shù)）條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做77邊

形.

2.多邊形的相關(guān)概念

（1）多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

（2）多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

（3）多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱

多邊形的角.

（4）多邊形的外角：多邊形的一邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

（5）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.

特別提醒：①多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；②把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題

求解的常用方法是連接對角線.

【知識點(diǎn)二】正多邊形

各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形必須滿同時(shí)滿足以下兩個(gè)條

件：①各邊都相等；②各角都相等.

【知識點(diǎn)三】凸多邊形與凹多邊形

如圖①所示，畫出四邊形/BCD的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一

側(cè)，這樣的多邊形成為凸多邊形；

而圖②就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺嫵鯟D所在的直線，整個(gè)多邊形不都在

這條直線的同一側(cè)，所以我們稱它為凹多邊形.

圖①圖②

試卷第1頁，共6頁

我們在學(xué)習(xí)中提到的多邊形大都是凸多邊形.

【知識點(diǎn)四】多邊形內(nèi)角和定理

_O）1QQO

〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）xl80°.特別地，正〃邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是^——x

n

【知識點(diǎn)五】多邊形外角和定理

1.多邊形的外角和：在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外

角和.

2.多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360。.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】由多邊形內(nèi)角和公式求度數(shù)

【例1】（23-24八年級上?河南許昌?階段練習(xí)）

1.求圖中的x的值

【變式1】（23-24七年級下?全國?假期作業(yè)）

2.若多邊形的邊數(shù)增加1,則其內(nèi)角和的度數(shù)（）

A.增加180。B.為360。C.不變D.減少

【變式2］（2024?四川自貢?中考真題）

3.凸七邊形的內(nèi)角和是度.

【題型2】由多邊形內(nèi)角和公式求邊數(shù)

【例2】（23-24八年級上?江西贛州?期末）

4.下面是正多邊形〃和N的對話：

試卷第2頁，共6頁

求〃■和N的邊數(shù).

【變式1］（22-23八年級上?山東威海?期末）

5.如果一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角都為140。，那么該正多邊形的邊數(shù)是（）

A.六B.七C.八D.九

【變式2】

6.若正多邊形的內(nèi)角和是1440。，則該正多邊形的邊數(shù)是.

【題型3】由多邊形內(nèi)角和與外角和度數(shù)求邊數(shù)

［例3］⑵-24七年級下?福建泉州?期中）

7.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差剛好等于一個(gè)十邊形的內(nèi)角和，求這個(gè)多邊形的

邊數(shù).

【變式】（23-24八年級下?浙江溫州?期中）

8.若〃邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，則邊數(shù)〃是（）

A.10B.9C.8D.7

【題型4】由多邊形內(nèi)、外角和公式求角度

【例4】⑵-24八年級下?湖南永州?期中）

9.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的;倍，求這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

【變式1】（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）

10.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,是四邊形/BCD的外角，且

NABE=ND,ZC=110°,則2/的度數(shù)是（）

【變式2】（23-24七年級下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）

11.如圖，五邊形4BCDE中，AB//CD,Z1>/2、/3分別是/3/E、NAED、ZEDC

的外角，則ZI+/2+/3等于.

試卷第3頁，共6頁

4X1B

DC

【題型5】由多邊形對角線數(shù)量求角度或?qū)蔷€條數(shù)

【例5】（23-24八年級上?安徽阜陽?期中）

（1）七邊形的對角線條數(shù)為.

4x04x1

（2）三邊形的對角線條數(shù)可表示為；一,四邊形對角線條數(shù)可表示為；五邊形的對角線

條數(shù)可表示為〒，…，〃邊形的對角線條數(shù)可表示為.

（3）【規(guī)律應(yīng)用】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1620。，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù).

【變式1】（23-24八年級上?河北唐山?期中）

13.若從一個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引6條對角線，則它的一個(gè)內(nèi)角為（）

A.1080°B.720°C.140°D.135°

【變式2］（2024?陜西咸陽?三模）

14.已知某正多邊形的每個(gè)外角均為72。，則該正多邊形的對角線共有條.

【題型6】由多邊形截角問題

［例6］（22-23八年級上?廣東惠州?階段練習(xí)）

15.閱讀下題及解題過程.

如圖（1）,我們知道四邊形的內(nèi)角和為（4-2）*180。=360。，現(xiàn)在將一張四邊形的紙剪掉一

個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是多少？

如圖（2）,剩余紙為五邊形，所以剩余紙所有內(nèi)角的和為（5-2）x180。=540。.

上面的解答過程是否正確？若正確，說出你的判斷根據(jù)；若不正確，請說明原因，并寫出你

試卷第4頁，共6頁

認(rèn)為正確的結(jié)論.

【變式1】（22-23八年級上?貴州安順?期末）

16.將一個(gè)五邊形紙片，剪去一個(gè)角后得到另一個(gè)多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是

()

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【變式2］（23-24八年級下?全國?課后作業(yè)）

17.小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是

2022°,則少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2022?四川攀枝花?中考真題）

18.同學(xué)們在探索“多邊形的內(nèi)角和“時(shí)，利用了“三角形的內(nèi)角和請你在不直接運(yùn)用結(jié)論

“"邊形的內(nèi)角和為（"-2）/80?！庇?jì)算的條件下，利用“一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180。“，結(jié)合

圖形說明：五邊形4BCDE的內(nèi)角和為540。.

【例2】（2024?四川遂寧,中考真題）

19.佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為1080。的正多邊形圖案,

這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

2、拓展延伸

【例1】（23-24七年級下?江蘇?期中）

試卷第5頁，共6頁

20.在平面內(nèi)有〃個(gè)點(diǎn)，其中每三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，我們把具有這樣性質(zhì)的〃個(gè)點(diǎn)

構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集，如圖，四邊形NBCD的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成愛爾特希點(diǎn)集，若平面

內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)尸與A,B,C,。也構(gòu)成愛爾特希點(diǎn)集，則44尸8=.

【例2】

21.一個(gè)正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分,

再沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分：又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿

一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了45個(gè)48邊形和一些多

邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

試卷第6頁，共6頁

1.(1)80

(2)110

【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理：

(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360度列出方程求解即可；

(2)根據(jù)五邊形內(nèi)角和為180。*(5-2)列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，180-x+2x-50+90+60=360,

解得x=80；

(2)解：由題意得，x+x+20+x-10+x+90=180x(5-2),

解得x=110.

2.A

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式("-2)/80。(”為多邊

形的邊數(shù))成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式("-2).180°("為多邊形的邊數(shù))，然后進(jìn)行判斷解答.

【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為〃，則原多邊形的內(nèi)角和為5-2).180。，

邊數(shù)增加1后的多邊形的內(nèi)角和為("+1-2b180。，

.?.(n+l-2)-180°-(n-2)-180°=180°,

;其內(nèi)角和的度數(shù)增加180。.

故選A.

3.900

【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理.應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可.

【詳解】解：七邊形的內(nèi)角和=(〃-2*180。=(7-2*180。=900。，

故答案為：900.

4.M和N的邊數(shù)分別是4和6

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及多邊形的性質(zhì)是

正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)對話和多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可；

答案第1頁，共9頁

【詳解】解：設(shè)M的邊數(shù)為2〃，N的邊數(shù)為3”，

由題意得：180。、(2〃一2)+180。、(3〃-2)=1080。

解得：77=2,

.?.2〃=4,3〃=6,

??."和N的邊數(shù)分別是4和6.

5.D

【分析】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角.首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理

求出邊數(shù).

【詳解】解：???正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140。，

它的外角是：180。-140。=40。，

360°+40°=9.

即這個(gè)正多邊形是九邊形.

故選：D.

6.10##+

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理.根據(jù)〃邊形內(nèi)角和為("2).180。，列方程計(jì)算即

可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是"，

則(“-2).180。=1440。,

解得"=10.

故答案為：10.

7.這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12.

【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為"，根據(jù)題意得出方程("-2)*180。-360。=(10-2N180。,

求出方程的解即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得：

(n-2)xl80°-360°=(10-2)x180°,

解得：〃=12.

答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12.

8.C

答案第2頁，共9頁

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及多邊形的外角和；利用多邊形的外角和是360

度，一個(gè)“邊形的內(nèi)角和等于它外角和的3倍，則內(nèi)角和是3x360。，而“邊形的內(nèi)角和是

-2)180。，則可得到方程，解方程即可.

【詳解】根據(jù)題意列方程，得：

(”2)180°=3x360°,

解得："=8,

故選：C.

9.108°

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得出

(H-2)X180°=-X360°,求出〃的值即可.

3

【詳解】解：???該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，

設(shè)此多邊形的邊數(shù)為〃，則有：(?-2)xl80o=-x360°,

解得：〃=5,

,(5-2)x180°

內(nèi)角的度數(shù)為——』---------=108°.

5

10.C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理，掌握邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)得出乙43。=70。，再求出40=110。，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理解答即

可.

【詳解】解：???45〃C。，ZC=110°,

:.ZABC+ZC=1SO°,

/ABC=70°,

vZABE是四邊形ABCD的外角，

:.ZABE=1W°,

???/ABE=ND,

/.ZD=110°,

ZA=3600-ZABC-ZC-ZB=360°-70°-110°-110=70°.

故選：c

11.180°

答案第3頁，共9頁

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，是基礎(chǔ)題，理清求解思路是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)3、點(diǎn)C為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度

數(shù)之和等于180。，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解.

Z4+Z5=180°,

根據(jù)多邊形的外角和定理可得Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

Zl+Z2+Z3=360°-180°=l80°.

故選：180。.

12.(1)14

—3)

⑵"4"^

⑶這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11,對角線的條數(shù)為44.

【分析】此題考查多邊形對角線計(jì)算公式，多邊形內(nèi)角和公式，圖形類規(guī)律探究，

（1）根據(jù)各圖形分別求出對角線條數(shù)，由規(guī)律即可得到答案；

（2）利用（1）的計(jì)算結(jié)果即可得到規(guī)律；

（3）設(shè)多邊形的邊數(shù)為〃，則列方程為（"-2*180。=1620。，解得〃=9,再根據(jù)（2）求出

對角線.

【詳解】（1）三邊形的對角線條數(shù)可表示為3x寸0,

4x1

四邊形對角線條數(shù)可表示為；一,

五邊形對角線條數(shù)可表示為亍，

六邊形對角線條數(shù)可表示為三，

7x4

七邊形對角線條數(shù)可表示為〒=14,

故答案為：14；

答案第4頁，共9頁

3x0

(2)三邊形的對角線條數(shù)可表示為二，

2

4x1

四邊形對角線條數(shù)可表示為k,

2

Sx?

五邊形對角線條數(shù)可表示為亍，

n邊形的對角線條數(shù)可表示為心二3,

2

以田以、，n(n-3\

故答案為：△——

2

(3)設(shè)多邊形的邊數(shù)為"，則

(“-2)x180。=1620°,解得”=11,

對角線為“'(Il-3=44(條)，

2

???這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11,對角線的條數(shù)為44.

13.C

【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的內(nèi)角，根據(jù)“邊

形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(“-3)條對角線，求得多邊形的邊數(shù)，結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式及正

多邊形的內(nèi)角求解是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)正多邊形邊數(shù)為"，由題意得："-3=6,

可得〃=9,

則內(nèi)角和：180。、(9-2)=1260。，

??.它的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：1260。+9=140。，

故選：C.

14.5

【分析】根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等，多邊形的邊數(shù)=360。+72。，進(jìn)而求得多邊形的

對角線條數(shù).本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)：360。+72。=5,

則對角線的條數(shù)是：1x5x(5-3)=5.

故答案為：5.

答案第5頁，共9頁

15.不正確，見解析，正確結(jié)論是將一張四邊形紙剪掉一個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是540。

或180?；?60。.

【分析】一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后形成的多邊形邊數(shù)有三種可能：比原多邊形邊數(shù)小1、相

等、大1,由此即可解決問題，考慮到不過頂點(diǎn)，只有一種情形，據(jù)此分析即可得出答

案.

【詳解】上面的解答不正確，出錯(cuò)的原因是思考問題不全面.除了題目中的解法外，還要補(bǔ)

充正確的解答如下：

如圖（1）所示，剪掉一個(gè)角后，剩余紙的所有內(nèi)角的和是180。；

如圖（2）所示，剪掉一個(gè)角后，剩余紙的所有內(nèi)角的和是360。.

所以將一張四邊形紙剪掉一個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是540?；?80。或360。.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是記住一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的

邊數(shù)可能增加1,可能減少1,或不變，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

16.D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個(gè)角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)〃邊

形內(nèi)角和公式（"-2）180。得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題.

【詳解】解：如圖，將一個(gè)五邊形沿虛線裁去一個(gè)角后得到的多邊形的邊數(shù)是4或5或6,

答案第6頁，共9頁

其中四邊形內(nèi)角和為360。，五邊形內(nèi)角和為（5-2）x180。=540。，六邊形內(nèi)角和為

（6-2）x180°=720°,

，得到的多邊形的內(nèi)角和是360?；?40°或720°,

故選：D.

17.138°##138度

【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，解不等式，設(shè)多邊形的邊數(shù)是〃（”23,且〃

為整數(shù)），根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出不等式（"-2>180。22022。，進(jìn)而求出〃=14,再計(jì)算

出該多邊形內(nèi)角和即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是〃（?>3,且〃為整數(shù)），

依題意得（"-2）/80。22022。，

7

解得〃213套.

???少算一個(gè)內(nèi)角，且該內(nèi)角小于180。，

???〃=14.

???多邊形的內(nèi)角和是（14-2）'180。=2160。，

???少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為2160。-2022。=138。，

故答案為：138。.

18.答案見解析

【分析】

如下圖，連接ND,AC,將五邊形分成三個(gè)三角形，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解

即可.

【詳解】

解：連接ND,AC,

五邊形4BCDE的內(nèi)角和等于A4E。，"DC,A48c的內(nèi)角和的和，

五邊形ABCDE的內(nèi)角和=180°x3=540°.

E

'C

答案第7頁，共9頁

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的