解析幾何第一輪復習理科

PAGEPAGE1《解析幾何》復習建議北京八中李雙平2012.11.29一.2012年考試說明考試內容要求層次ABC平面解析幾何初步直線與方程直線的傾斜角和斜率√過兩點的直線斜率的計算公式√兩條直線平行或垂直的判定√直線方程的點斜式、兩點式及一般式√兩條相交直線的交點坐標√兩點間的距離公式、點到直線的距離公式√兩條平行線間的距離√圓與方程圓的標準方程與一般方程√直線與圓的位置關系√兩圓的位置關系√空間直角坐標系空間直角坐標系√空間兩點的距離公式√圓錐曲線與方程圓錐曲線橢圓的定義及標準方程√橢圓的簡單幾何性質√拋物線的定義及標準方程√拋物線的簡單幾何性質√雙曲線的定義及標準方程√雙曲線的簡單幾何性質√直線與圓錐曲線的位置關系√曲線與方程曲線與方程的對應關系√附:北京高考解析匯編●2010年6.極坐標方程(?1)()=0(0)表示的圖形是(C)(A)兩個圓 (B)兩條直線(C)一個圓和一條射線 (D)一條直線和一條射線7.設不等式組表示的平面區(qū)域為D,若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點,則a的取值范圍是(A)(A)(1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)[3,]13.已知雙曲線的離心率為2,焦點與橢圓的焦點相同,那么雙曲線的焦點坐標為;漸近線方程為.(4,0),y=EQ\R(3)x19.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(?1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.●2011年:3.在極坐標系中,圓的圓心的極坐標是(B)A. B. C. D.8.設A(0,0),B(4,0),C(,4),D(t,4)(),記N(t)為平行四邊形ABCD內部(不含邊界)的整點的個數(shù),其中整數(shù)點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點,則函數(shù)N(t)的值域為(C)A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}14.曲線C是平面內與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡,給出下列三個結論:①曲線C過坐標原點;②曲線C關于坐標原點對稱;③若點P在曲線C上,則的面積不大于.其中,所有正確結論的序號是____________.②③19.已知橢圓G:,過點(m,0)作圓的切線l交橢圓G于A,B兩點.(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率;(2)將表示為m的函數(shù),并求的最大值.●2012年:8.某棵果樹前n前的總產量S與n之間的關系如圖所示.從目前記錄的結果看,前m年的年平均產量最高.m值為(C)A.5 B.7 C.9 D9.直線為參數(shù))與曲線為參數(shù))的交點個數(shù)為______.212.在直角坐標系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60o.則△OAF的面積為_____________//EQ\R(3)19.已知曲線C:(5?m)x2+(m?2)y2=8(mR)(1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;(2)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A在點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G,求證:A、G、N三點共線.二.解析幾何的難點從解題的兩個基本環(huán)節(jié)看:1.翻譯轉化:將幾何關系恰當轉化(準確,簡單),變成盡量簡單的代數(shù)式子(等式/不等式),或反之…2.消元求值:對所列出的方程/不等式進行變形,化簡,消元,計算,最后求出所需的變量的值/范圍等等難點:上述兩個環(huán)節(jié)中EQ\B\lc\{(\A\al(變量、函數(shù)/方程/不等式的思想,靈活性和技巧性,分類討論,綜合應用其他的代數(shù)幾何知,不小的計算量))三.建議:分兩個階段,兩個層次復習:1.基礎知識復習:落實基本問題的解決,為后面的綜合應用做好準備.這個階段主要突出各種曲線本身的特性,以及解決解析問題的一般性工作的落實.如:①直線和圓:突出平面幾何知識的應用(d和r的關系!);拋物線:突出定義在距離轉化上的作用,以及設點消元上與橢圓雙曲線的不同之處.②圓錐曲線的定義、方程、基本量(a、b、c、e、p)的幾何意義和計算③直線和圓錐曲線的位置關系的判斷(公共點的個數(shù))④切線、弦長、弦中點問題的基本解法⑤一般程序性工作的落實:設點、設直線(討論?形式?)、聯(lián)立消元、列韋達結論…中的計算、討論、驗…2.綜合復習:重點攻堅翻譯轉化和消元求值的能力.①引導學生在“解題路徑規(guī)劃”的過程中理解解析法:變量、等式(方程/函數(shù))、不等式的思想②積累常見的翻譯轉化,建立常見問題的解決模式③一定量的訓練,提高運算的準確性、速度,提高書寫表達的規(guī)范性、嚴謹性●具體說明1.引導學生在“解題路徑規(guī)劃”的過程中理解解析法:變量、等式(方程/函數(shù))、不等式的思想建議在例題講解時,總是在具體計算之前進行“解題路徑規(guī)劃”:①條件和結論與哪幾個變量相關?解決問題需要設哪些變量?②能根據什么條件列出幾個等式和不等式?它們之間獨立嗎?夠用了嗎?③這些等式/不等式分別含有什么變量?如何消元求解最方便?④根據這些等式和不等式,能變形、消元后得到什么形式的結論(能消掉哪些變量?得到兩個變量的新等式/不等式?變量的范圍?求出變量的值?)好處:①選擇合適的方法;②避免中途迷失(2)關于消元常用的消元法:EQ\B\lc\{(\A\al(代入消元,加減/乘除消元,韋達定理整體代入消掉交點坐標,點差法弦中點與弦斜率的等量關系,……))換元,消元的能力非常重要2.積累常見翻譯轉化,建立常見問題的解決模式(1)常見的翻譯轉化:①點在曲線上點的坐標滿足曲線方程②直線與二次曲線的交點EQ\B\lc\[(\A\al(點坐標滿足直線方程,點坐標滿足曲線方程,x1+x2=…?x1x2=…,y1+y2=…?y1y2=…))③A、B、C共線EQ\B\lc\[(\A\al(\O(AB,→)∥\O(BC,→),kAB=kBC,C滿足直線AB的方程))④點A與B關于直線l對稱EQ\B\lc\{(\A\al(中:AB的中點l,垂:AB⊥l))⑤直線與曲線相切EQ\B\lc\[(\A\al(圓:d=r,一般二次曲線:二次項系數(shù)≠0且=0))⑥點(x0,y0)在曲線的一側/內部/外部代入后,f(x0,y0)>0⑦ABC為銳角或零角EQ\O(BA,→)?\O(BC,→)>0⑧以AB為直徑的圓過點CEQ\B\lc\[(\A\al(EQ\O(CA,→)?\O(CB,→)=0,|CA|2+|CB|2=|AB|2))⑨AD平分BACEQ\B\lc\[(\A\al(AD⊥x軸或y軸時:kBA=?kAC,AD上點到AB、AC的距離相等,\O(AD,→)∥(\O(AB,→)+\O(AC,→))))⑩點A、B、C共線時,EQ\F(|AB|,|AC|)=\F(xB?xA,xC?xA)=…等式恒成立系數(shù)為或對應項系數(shù)成比例……[注]關于直線與圓錐曲線相交的列式與消元:①如果幾何關系與兩個交點均有關系,尤其是該關系中,兩個交點具有輪換對稱性,那么可優(yōu)先嘗試利用韋達定理得到交點坐標的方程,然后整體消元如果幾何關系僅與一個交點相關,那么優(yōu)先嘗試“設點代入”(交點坐標代入直線方程和曲線方程);②如果幾何關系翻譯為交點的坐標表示后,與x1+x2,y1+y2相關(如:弦的中點的問題),還可嘗試用“點差法”(“代點相減”法)來整體消元.但仍需保證>0(2)建立常見題型的“模式化”解決方法(不能太過模式化,也不能沒有模式化)如:①求曲線方程:EQ\B\lc\{(\A\al(待定系數(shù)法,直譯法,定義法,相關點法,參數(shù)法,…))難度較大,北京常考的是待定系數(shù)法,但相關點法和參數(shù)法(相關點法可看作參數(shù)法的一種特殊情況)在解析內外都有用到,個人認為還是讓學生有所了解涉及.另外,參數(shù)法體現(xiàn)了很好的解析法的思想,個人覺得最好講講.②求范圍/最值:EQ\B\lc\{(\A\al(等式型(函數(shù)型):由幾個變量的等式來求其中某個變量的范圍,不等式型:均值.注意等號成立的條件,幾何意義:兩點間線段最短?垂線段最短?切線相關等))③定值/定點:常見模式:很多定值定點問題(也是定值問題――坐標是定值)就是求某個變量的值,通常由條件列出的獨立方程個數(shù)少于變量的個數(shù),但由于其形式的特殊性,通過消元后恰好能求出某個(或幾個)變量的值(而其他變量的值卻仍無法確定).(如第6題)如:消去:t=3約去:t=范圍約束:x=4恒成立.系數(shù)為0:對λR恒成立恒成立.系數(shù)成比例:對λR恒成立等等.關于結論:關于定值定點,有很多總結好了的結論:重在這些結論推導的過程,而不必刻意讓學生去記憶這些結論.有的題解題的突破口在事先知道滿足條件的直線必過一定點(并不明顯,需要大量的推導),然后出現(xiàn)巧妙的解法,我認為這樣的題的重點不在記憶結論,仍在結論的推導過程.題目中已經告訴你是定值/定點的時候,可通過特殊值法先得出結論,或許能得到提示,從而進行一般性的推導.3.一定量的訓練,提高運算的準確性、速度,提高書寫的規(guī)范性、嚴謹性(1)示范和訓練相結合,舍得花時間!不同的設元,消元方案,不同的轉化、“翻譯”方法,帶來的計算量也可能大不一樣,需要通過一定量的實踐來提高敏感度,提高靈活性,使自己能盡快地發(fā)現(xiàn)原有方案的不合適之處,并迅速調整,嘗試.書寫的習慣影響計算的速度和準確性.可以考慮在開始時不過于要求速度,而專重視“一次計算”的準確性(“落筆對”),逐漸養(yǎng)成“一個字寫完了再寫下一個字”、“減少跳步”、“折疊使用草稿紙”等好的習慣.規(guī)范的表達源自老師的板書展示和對平時作業(yè)的嚴格要求.也是一種習慣.老師要舍得用課堂時間帶著學生一步步計算,要舍得讓學生在課堂上獨立完整地計算整道題.(2)常用的“小方法”:①涉及直線、圓的問題充分利用平面幾何知識②點差法③經過某處點的直線與二次曲線必定相交④直線方程的設法⑤由對稱性,形式上的一致性"同理"可得⑥定值定點問題可由特殊值法先得到結論⑦直線與二次曲線相交且已知一個交點時?利用韋達定理求另一個交點⑧三角形(或多邊形)的面積用平/直的直線割補后再求(3)常易忽略的細節(jié):①設直線時注意:直線與坐標軸垂直的情況單獨考慮;②使用韋達定理之前,要確保0+要討論二次項系數(shù)是否為0;③消元、換元時注意新舊變量的范圍不僅僅是在解析中的問題了…④EQ\O(OA,→)?\O(OB,→)>0AOB為銳角或零角四.參考題1.(2012.北京.理19)已知曲線C:(5?m)x2+(m?2)y2=8(mR)(1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;(2)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A在點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G,求證:A、G、N三點共線./*(1)(2)由已知直線代入橢圓方程化簡得:,,解得:由韋達定理得:xM+xN=?EQ\F(16k,2k2+1)①,②設,,方程為:,則,,,欲證三點共線,只需證,共線即成立,化簡得:將①②代入易知等式成立,則三點共線得證*/2.(2012年西城一模)已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由./*（Ⅰ）.………………5分（Ⅱ）設，，直線的方程為.將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得.………………7分所以，.………………8分若平分，則直線，的傾斜角互補，所以.……………9分設，則有.將，代入上式，整理得，所以.………………12分將，代入上式，整理得.………………13分由于上式對任意實數(shù)都成立，所以.綜上，存在定點，使平分.……………14分*/3.(2010北京理數(shù).19)在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(?1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于?EQ\F(1,3).(1)求動點P的軌跡方程;(2)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由./*(1)解:因為點B與A關于原點對稱,所以點得坐標為.設點的坐標為由題意得化簡得.故動點的軌跡方程為(2)[法一](設點P,EQ\F(1,2)×底×高求出面積)設點的坐標為,點,得坐標分別為,.則直線的方程為,直線的方程為令得,.于是的面積又直線的方程為,,點到直線的距離.于是的面積當時,得又,所以=,解得.因為,所以故存在點使得與的面積相等,此時點的坐標為.[法二](設點P,EQ\F(1,2)×a×b×sinC求面積線段比)若存在點使得與的面積相等,設點的坐標為則.因為,所以所以即,解得因為,所以故存在點S使得與的面積相等,此時點的坐標為.[法三](設線AP,割補求面積)設直線AP的斜率為k,則AP:y?1=k(x+1),BP:y+1=EQ?\F(1,3k)(x?1)∴M(3,4k+1),N(3,?EQ\F(2,3k)?1)延長AB,交直線x=3于Q,則:S△ABP=S△MNPS△AMQ=S△BNQ即:|4k+1+3|×4=EQ\B\lc\|\rc\|(?\F(2,3k)?1+3)×2,解得k聯(lián)立AP,BP解得P點坐標…[法四](等面積AN∥BM)由S△ANM=S△ANBAN∥BM斜率等[法五](法三+法四P為△ANQ重心)延長AB,交x=3于Q,連接AN.EQ\B\lc\{(\A\al(B為AQ中點,S△ANM=S△ANBAN∥BMM為NQ中點))

P為△ANQ重心EQ\O(AP,→)=\F(2,3)\O(AM,→)xP+1=EQ\F(2,3)(3+1)xP=EQ\F(5,3),代入橢圓yP=…或用重心公式求xP.*/4.(2009年山東.文)設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值./*(1).當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時,方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓;當時,方程表示的是雙曲線.(2)當時,軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即……(*)要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,則使△=即,即,由韋達得: ,要使,需使,即,所以,即且,即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,即:,所求的圓為.當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.(3)當時|A1B1|取得最大值,最大值為1.*/5.(2011西城一模.文.19)已知拋物線的焦點為,直線過點.(Ⅰ)若點到直線的距離為,求直線的斜率;(Ⅱ)設為拋物線上兩點,且不與軸垂直,若線段的垂直平分線恰過點,求證:線段中點的橫坐標為定值./*(Ⅰ).…5分(Ⅱ)設線段中點的坐標為,,因為不垂直于軸,則直線的斜率為,直線的斜率為,…7分直線的方程為,…8分聯(lián)立方程消去得,…10分所以,…11分因為為中點,所以,即,…13分所以.即線段中點的橫坐標為定值.…14分*/6.(2010年東城一模)已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍．/*（Ⅰ）．…………4分（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．由得．①………6分設點，，則．直線的方程為．令，得．將，代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直線與軸相交于定點．……9分（Ⅲ）當過點直線的斜率存在時，設直線的方程為，且，在橢圓上．由得．易知．所以，，．則．因為，所以．所以．當過點直線的斜率不存在時，其方程為．解得，．此時．所以的取值范圍是．……13分*/7.(2010西城一模(理科)18)橢圓的離心率為,長軸端點與短軸端點間的距離為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于兩點,為坐標原點,若為直角三角形,求直線的斜率./*(Ⅰ)EQ\F(x2,4)+y2=1(Ⅱ)設,聯(lián)立,消去得,則,設兩點的坐標分別為,(ⅰ)當為直角時,即,∴,∴,解得.(ⅱ)當或為直角時,不妨設為直角,此時,,所以,即………①,又………②,將①代入②,消去得,解得或(舍去),將代入①,得,所以,綜上,的值為和.*/8.(2010年西城二模)如圖，橢圓短軸的左右兩個端點分別為，直線與軸、軸分別交于兩點，與橢圓交于兩點，.ADCBxOylADCBxOylEF（Ⅱ）設直線的斜率分別為,若,求的值./*（Ⅰ）設，由得，，，，…2分由已知，又，所以…4分所以，即，…5分所以，解得，…6分符合題意.所以，所求直線的方程為或.…7分（Ⅱ），，，所以，…8分平方得，…9分又，所以，同理，代入上式，計算得，即，…12分所以，解得或，…13分因為，，所以異號，故舍去，所以.…14分*/

9.(2007年寧夏理19題)在平面直角坐標系xOy中,經過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍;(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量+與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由./*(1)由已知條件知直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程得+(kx+)2=1.整理得+2kx+1=0 ①直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2?4=4k2?2＞0, 解得k＜?或k＞.即k的取值范圍為(?∞,?)∪(,+∞).(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),則+=(x1+x2,y1+y2),由方程①得x1+x2=? ②又y1+y2=k(x1+x2)+2 ③而A(,0),B(0,1),=(?,1).所以+與共線等價于x1+x2=?(y1+y2),將②③代入上式,解得k=.由(1)知k＜?或k＞,故沒有符合題意的常數(shù)k.*/

10.橢圓兩個焦點F1、F2在x軸上,且與短軸兩個端點B1、B2正好是正方形的四個頂點,且焦點到橢圓上一點的最近距離為.(1)求橢圓的標準方程:(2)過D(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點M,N,且M在D,N之間,設,求的取值范圍/*(1)(2)①若l⊥x軸,則λ=②若l與x軸不垂直,則可設l為:y=kx+2聯(lián)立,消y,得:(*)由Δ>0由①②③消去x1,x2,得:由,即解得:又∵M在D、N之間∴0<λ<1綜上,λ*/

11.(北京理19)已知橢圓G:.過點(m,0)作圓的切線I交橢圓G于A,B兩點.(I)求橢圓G的焦點坐標和離心率;(II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值./*(1)由已知得:a=2,b=1∴c=EQ\R(3)∴焦點坐標:EQ\B(?\R(3)?0)、EQ\B(\R(3)?0)離心率e=EQ\F(c,a)=\F(\R(3),2)(2)由題意知:|m|1顯然,切線l不可能垂直于y軸,故可設其方程為:x=ty+m1由相切EQ\F(|m|,\R(1+t2))=1m2=1+t2t2=m2?1…………①2聯(lián)立切線與橢圓,EQ\B\lc\{(\A\al(x=ty+m,x2+4y2=4))消x,得:(t2+4)y2+2mty+(m2?4)=0…………(*)∴|AB