一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系難題

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系難題韋達定理得應(yīng)用:1、已知方程得一個根,求另一個根和未知系數(shù)2、求與已知方程得兩個根有關(guān)得代數(shù)式得值3、已知方程兩根滿足某種關(guān)系,確定方程中字母系數(shù)得值4、已知兩數(shù)得和與積,求這兩個數(shù)5、已知方程得兩根x1,x2,求作一個新得一元二次方程x2–(x1+x2)x+x1x2=06、利用求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式ax2+bx+c

=a(x-x1)(x-x2)

題1:(1)若關(guān)于x得一元二次方程2x2+5x+k=0

得一根就是另一根得4倍,則k=________(2)已知:a,b就是一元二次方程x2+2000x+1=0得兩個根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________

考考您！解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a?5b=30ab解法二:由題意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a?5b=30ab

∵ab=1,a+b=-200∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab

+2006a+a2)(ab

+2005b+b2)=a(b

+2006+a)?b(

a

+2005+b)=a(2006-2000)?b(2005-2000)=30ab解法三:由題意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a?5b=30ab題2:已知:等腰三角形得兩條邊a,b就是方程x2-(k+2)x+2k=0得兩個實數(shù)根,另一條邊c=1,求:k得值?？伎寄?！題3:已知關(guān)于x得一元二次方程x2+3x+1-m=0(1)請為m選取一個您喜愛得數(shù)值,使方程有兩個不相等得實數(shù)根。(2)設(shè)x1,x2就是(1)中方程得兩個根,不解方程求:①(x1-2)(x2–2)②(x1-x2)2(3)請用(1)中所選取得m值,因式分解:x2+3x+1-m(4)若已知x12+x22=10,求此時m得值。(5)問:就是否存在符合條件得m,使得x12+x22=4？若存在,求出m,若不存在,請說明理由?？伎寄〈蠹矣幸蓡柕?，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點題4:已知αβ就是方程x2＋2x－7＝0得兩個實數(shù)根。求α2＋3β2＋4β得值。

解法1∵α、β就是方程x2＋2x－7＝0得兩實數(shù)根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2α β2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3(7－2β)＋4β＝28－2(α＋β)＝28－2×(－2)＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α2＋3β2＋4β＝(－1＋2)2＋3(－1－2)2＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由已知得:α＋β＝－2αβ＝－7∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4(α2＋β2)＋4(α＋β)＝4×18＋4×(－2)＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得:2A＝64∴A＝32題5:已知x1、x2就是方程x2－x－9＝0得兩個實數(shù)根,求代數(shù)式。x13＋7x22＋3x2－66得值。

解:∵x1、x2就是方程x2－x－9＝0得兩根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1＋9x22＝x2＋9∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16題6:已知a＋a2－1＝0,b＋b2－1＝0,a≠b,求ab＋a＋b得值、

分析:顯然已知二式具有共同得形式:x2＋x－1＝0、于就是a和b可視為該一元二次方程得兩個根、再觀察待求式得結(jié)構(gòu),容易想到直接應(yīng)用韋達定理求解、解:由已知可構(gòu)造一個一元二次方程x2＋x－1=0,其二根為a、b、由韋達定理,得a＋b＝－1,a·b＝－1、故ab＋a＋b＝－2、題7:若實數(shù)x、y、z滿足x＝6－y,z2＝xy－9、

求證x＝y(tǒng)、證明:將已知二式變形為x＋y＝6,xy＝z2＋9、由韋達定理知x、y就是方程u