中國古代數(shù)學(xué)中的極限思想含論文、綜述、開題-可編輯

-緒論1.1問題的背景和意義微積分是近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志之一，而其中極限概念與極限方法是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)。美國學(xué)者C.B.波斯灣耶在他的《微積分概念史》一書中，多處指出在古希臘數(shù)學(xué)中沒有產(chǎn)生極限概念和使用過極限方法，但在古代東方的中國，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期就有了極限思想的萌芽，對宇宙的無限性與連續(xù)性已有了相當(dāng)深的認(rèn)識；到三國魏晉時(shí)期，我國著名數(shù)學(xué)家劉徽受到秦漢的極限思想的啟迪，繼承并發(fā)展了極限思想，在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，最先創(chuàng)造性地把極限思想引入數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)方法，這種方法在圓田術(shù)和陽馬術(shù)得到了充分的發(fā)揮和廣泛作用，可以說為微積分的產(chǎn)生準(zhǔn)備了必要的條件。（參見文獻(xiàn)[1]）作為數(shù)學(xué)中最重要的思想和方法之一，極限思想就是人們認(rèn)識無限運(yùn)動(dòng)變化的偉大結(jié)晶，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一條重要的紐帶。這種思想和方法的運(yùn)用，擴(kuò)大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。而極限又是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念，高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓與深化。作為研究函數(shù)最基本的方法——極限方法，早在古代就有比較清楚的描述，其在古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也有很多具體實(shí)例。極限的應(yīng)用及推廣已涉及社會、科學(xué)及研究的很多方面，對其進(jìn)行研究不僅在理論上也在實(shí)踐中具有很大的意義。微積分的形成與發(fā)展是數(shù)學(xué)界的重要話題。但翻開有關(guān)微積分的教材和介紹其發(fā)展歷史的著述，無論是外國人編寫的，還是我國的作者，無論是過去，還是現(xiàn)在，大多數(shù)定理的前面都冠之以某某外國人的大名，卻很少甚至根本沒有反映中華民族對于微積分的形成與發(fā)展所作出的貢獻(xiàn)。大量歷史事實(shí)無可辯駁地說明，我國是人類數(shù)學(xué)的故鄉(xiāng)之一。中華民族有著光輝燦爛的數(shù)學(xué)史，中國古代數(shù)學(xué)對微積分形成所做出的貢獻(xiàn)，理應(yīng)受到世人的承認(rèn)與尊重。眾所周知，在牛頓與萊布尼茲發(fā)明微積分前經(jīng)歷了十分艱難曲折的一個(gè)世紀(jì)的醞釀階段。作為產(chǎn)生微積分的必要條件中，有些是在我國早已有之，而為希臘式數(shù)學(xué)所不及的。學(xué)習(xí)和研究中國古代極限可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育?，F(xiàn)行的中學(xué)教材講的大都是外國的數(shù)學(xué)成就，對我國在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn)提得很少,其實(shí)中國數(shù)學(xué)有著光輝的傳統(tǒng)，有劉徽、祖沖之、祖暅、楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，有中國剩余定理、祖暅公理、“割圓術(shù)”等具有世界影響的數(shù)學(xué)成就，對其中很多問題的研究也比國外早很多年。然而，現(xiàn)階段愛國主義教育又不能只停留在感嘆我國古代數(shù)學(xué)的輝煌上。從明代以后中國數(shù)學(xué)逐漸落后于西方，20世紀(jì)初，中國數(shù)學(xué)家踏上了學(xué)習(xí)并趕超西方先進(jìn)數(shù)學(xué)的艱巨歷程。在新時(shí)代的要求下，除了增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感之外，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的“國際意識”，讓學(xué)生認(rèn)識到愛國主義不是體現(xiàn)在“以己之長，說人之短”上，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)上全人類應(yīng)該相互學(xué)習(xí)、互相借鑒、共同提高，我們要尊重外國的數(shù)學(xué)成就，虛心的學(xué)習(xí)，“洋為中用”。因此，結(jié)合國外的極限思想的應(yīng)用實(shí)例，對中國古代極限思想的理論及實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行研究十分必要。1.2極限相關(guān)概念極限是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科?！?.2.1數(shù)列極限若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合QUOTE，則稱f：QUOTE或QUOTE，QUOTE為數(shù)列。定義1[2]設(shè)QUOTE為數(shù)列，a為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)QUOTE時(shí)有QUOTE,則稱數(shù)列QUOTE收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列QUOTE的極限，并記作QUOTE.1.2.2函數(shù)極限x趨于QUOTE時(shí)函數(shù)的極限定義2[3]設(shè)f為定義在［a,QUOTE）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的QUOTE，存在正數(shù)M，使得當(dāng)QUOTE時(shí)有則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于QUOTE時(shí)以A為極限，記作QUOTE.x趨于QUOTE時(shí)函數(shù)的極限定義3[3]設(shè)函數(shù)f在QUOTE的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對任給的QUOTE，存在正數(shù)，使得當(dāng)QUOTE時(shí)有QUOTE,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于QUOTE時(shí)以A為極限，記作QUOTE.本次論文中，我們首先介紹極限思想的萌芽和數(shù)π與極限的關(guān)系。接著對中西方的極限思想進(jìn)行比較，分別從割圓術(shù)與窮竭法的角度考察古代東西方民族思維方式的異同；從先秦極限觀與古希臘極限觀方面比較論述；從中西方哲學(xué)傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立。最后對極限思想對后世數(shù)學(xué)的影響，在文學(xué)和哲學(xué)方面的反映，以及其在古代中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)。2中國古代的極限思想2.1極限思想的萌芽極限思想是人們對有限、無限問題不斷深化認(rèn)識的過程中取得的。從萌芽到完善，經(jīng)過了近2000年時(shí)間，可以說是數(shù)學(xué)史上一次漫長的旅途。早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期（公元前770——前221）道家的代表人物莊子就有了極限思想，據(jù)《莊子》“天下篇”中記載：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭?！盵4]意思是說，一尺長的木棒每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永遠(yuǎn)也取不完。這反映了古人對極限的一種思考，它不但表達(dá)了我們祖先的極限思想，也提供了一個(gè)“無窮小量”的實(shí)際例子。這個(gè)經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學(xué)中還經(jīng)常使用。我國古代的極限思想與方法主要寓于求積(面積、體積)理論。劉徽繼承和發(fā)揚(yáng)了先秦諸子關(guān)于極限的思想用“割圓術(shù)”和“陽馬術(shù)”等成功地解決了求積問題。在《九章算術(shù)》的“圓田術(shù)”中給出了計(jì)算圓面積的法則:“半周半徑相乘得積步?！奔磮A的面積S與一個(gè)長為半周QUOTE,寬為半徑的長方形的面積相等:QUOTE。（參見文獻(xiàn)[5]）劉徽注文首先指出古率“周三徑一”（即π=3）實(shí)際上既是圓內(nèi)接正六邊形的周長C與直徑2R之比，以此說明古率之粗疏。為推證圓面積公式，劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，不斷割圓，徽注曰：“又按為圖，以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”[6]2.2關(guān)于數(shù)π2.2.1π的來歷如何正確地推求圓周率的數(shù)值，是世界數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要課題。我國古代數(shù)學(xué)家們對這個(gè)問題研究也很早。在《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此后，經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家的相繼探索，推算出的圓周率數(shù)值日益精確。2.2.2π的數(shù)值精確度的發(fā)展西漢末年劉歆在為王莽設(shè)計(jì)制作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發(fā)現(xiàn)直徑為一、圓周為三的古率過于粗略，經(jīng)過進(jìn)一步的推算，求得圓周率的數(shù)值為3.1547。東漢著名科學(xué)家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時(shí)，數(shù)學(xué)家王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155。（參見文獻(xiàn)[7]）魏晉之際的著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)創(chuàng)立了新的推算圓周率的方法——割圓術(shù)，圓周率的研究才獲得了重大的進(jìn)展。他設(shè)圓的半徑為1，把圓周六等分，作圓的內(nèi)接正六邊形，用勾股定理求出這個(gè)內(nèi)接正六邊形的周長。其實(shí)如果把內(nèi)接正六邊形的邊數(shù)加倍，改為內(nèi)接正十二邊形，再用適當(dāng)方法求出它的周長，可以看出，這個(gè)周長比內(nèi)接正六邊形的周長更接近圓的周長，這個(gè)內(nèi)接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：圓內(nèi)所做的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。所以用增加圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的辦法求圓周率，得數(shù)永遠(yuǎn)稍小于π的真實(shí)數(shù)值。（參見文獻(xiàn)[8]）劉徽就是根據(jù)這個(gè)道理，從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計(jì)算到內(nèi)接正九十六邊形為止，得出它的邊長和為6.282048，而圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的邊長就越接近圓的實(shí)際周長，所以此時(shí)圓周率的值為邊長除以2，求得了圓周率是3.141024。并得出π的兩個(gè)近似值就是QUOTE和QUOTE。劉徽以后，探求圓周率有成就的學(xué)者，先后有南朝時(shí)代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為QUOTE。以上的科學(xué)家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻(xiàn)。祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計(jì)算的結(jié)果共得到兩個(gè)數(shù)：一個(gè)是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個(gè)是朒數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間。祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個(gè)直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計(jì)算。當(dāng)他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時(shí)，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個(gè)內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927誤差不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用。盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如：QUOTE，這表明圓周率應(yīng)在盈朒兩數(shù)之間。按照當(dāng)時(shí)計(jì)算都用分?jǐn)?shù)的習(xí)慣，祖沖之還采用了兩個(gè)分?jǐn)?shù)值的圓周率。一個(gè)是QUOTE（約等3.1415927），這一個(gè)數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個(gè)約等于3.14，這一個(gè)數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”?，F(xiàn)在我們用數(shù)論中的連分?jǐn)?shù)法可知，QUOTE是一個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，漸進(jìn)分?jǐn)?shù)都是最佳逼近，用這種方法可求出的更精確的漸近分?jǐn)?shù)為QUOTE，用其他方法可得出在QUOTE之后，第一個(gè)出現(xiàn)而精確程度又超過QUOTE的最佳分?jǐn)?shù)值是QUOTE，這兩個(gè)最佳逼近分子、分母都很大，使用價(jià)值很小，由此更看出祖沖之的密率更精彩。（參見文獻(xiàn)[9]）3中西方極限思想的比較3.1割圓術(shù)與窮竭法“割圓術(shù)”與“窮竭法”是古代東西方數(shù)學(xué)智慧的代表。對之進(jìn)行比較，可以從某一側(cè)面考察古代東西方民族思維方式的異同。思路一致：“割圓術(shù)”與“窮竭法”都是以內(nèi)接多邊形去逼近曲線形，所用方式都是逐步增加內(nèi)接多邊形邊數(shù)的倍數(shù)。以圓為例，劉徽的“割圓術(shù)”是從圓內(nèi)接正六邊形開始的，依次作正12邊形，正24邊形等等；而歐幾里得使用“窮竭法”則是從圓內(nèi)接正四邊形開始的，依次作正8邊形，正16邊形等等?？梢哉f,除了原始正多邊形的邊數(shù)不同以外，劉徽與歐幾里得的出發(fā)點(diǎn)與推證思路不謀而合。（參見文獻(xiàn)[10]）思想不同：劉徽的“割圓術(shù)”包含著深刻的極限思想。他的割圓過程是一個(gè)無限過程，最終可以達(dá)到終極目標(biāo):“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！眲⒒赵O(shè)計(jì)了一個(gè)無限“分割”的過程，最終達(dá)到“合體”這一終極狀態(tài)。這一過程與狀態(tài)的統(tǒng)一，是劉徽辯證的無窮觀。劉徽用“割圓術(shù)”不僅推證了圓的面積公式，還充分利用分割過程，通過計(jì)算圓內(nèi)接正192邊形，算出了圓周率的近似值3.14。劉徽的極限思想還創(chuàng)造了其它重要結(jié)論，以下列舉一二:(1)十進(jìn)小數(shù)表示法。劉徽在《九章算術(shù)》開方術(shù)注文中指出:“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪雖有所余之?dāng)?shù)，不足言之也。”開方法求微數(shù)，實(shí)際上是求無理數(shù)的十進(jìn)分?jǐn)?shù)近似值。但開方程序是一個(gè)無限過程，可以達(dá)到人們預(yù)先需要的精確度，開方求微數(shù)的方法是劉徽極限思想在近似計(jì)算上的應(yīng)用，它促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生。(2)劉徽原理。在《九章算術(shù)》商功章陽馬術(shù)注文中，劉徽指出：“邪解立方得兩塹堵。邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”在推證陽馬體積：鱉臑體積QUOTE的過程中，劉徽也利用了無限分割思想。古希臘的“窮竭法”，雖然適用范圍更廣泛，但它始終是一個(gè)有限過程，阿基米德用“窮竭法”不僅研究過圓，而且還計(jì)算過拋物線弓形的面積。但他是通過力學(xué)手段推證出拋物線弓形與其一內(nèi)接三角形的面積關(guān)系后，再用窮竭法進(jìn)行證明的，與歐幾里得證明圓面積的命題類似。此外，阿基米德還利用“窮竭法”討論了二次曲面的一些體積命題。古希臘的“窮竭法”沒有涉及極限過程。正如美國學(xué)者愛德華所指出:“阿基米德，即使不是在他的正式的分析中，也至少是在他的正式的證明中，沒有擺脫希臘人的‘對無限的恐懼’。希臘人的嚴(yán)格的觀念要求使用繁瑣的雙歸謬法，而不是簡單的取極限的方法?！保▍⒁娢墨I(xiàn)[11]）3.2先秦極限觀與古希臘極限觀的比較3.2.1對無窮大和無窮小認(rèn)識的比較在《莊子·天下篇》中有名家惠施提出的“至大無外謂之大一；至小無內(nèi)謂之小一”[12]的無限觀?！按笠弧毕喈?dāng)于無窮大，“小一”相當(dāng)于無窮小?！巴狻笔恰巴饨纭被颉斑吔纭?。至大是沒有邊界的，叫無窮大；至小是沒有內(nèi)部的，叫無窮小。當(dāng)然，我們可以把“大一”理解為概莫能外，無所不包的無窮空間；“小一”理解為小之至極，無所包容的幾何學(xué)中的點(diǎn)。在《莊子·秋水》中還有“至精無形，至大不可圍”的說法。公元前5世紀(jì)，有關(guān)無限小量的概念已經(jīng)作為古希臘人關(guān)于物質(zhì)世界本質(zhì)的設(shè)想而進(jìn)入了數(shù)學(xué)思潮。阿布德拉學(xué)派主張一切東西都由在虛空中不斷運(yùn)動(dòng)著的原子所組成，這些原子是不可再分的物質(zhì)粒子，它們沒有質(zhì)的區(qū)別，而形狀、大小千差萬別，小到無所覺察。但在畢達(dá)哥拉斯的“無限小但分子論”德謨克利特的“原子論”之后，希臘學(xué)者并不歡迎無窮小。芝諾認(rèn)為：“加到別的東西上不使其增大，從別的東西中減去又不使其減少，不過是子虛烏有而已。”亞里士多德則認(rèn)為無窮事不完美的，未完成的，因而是不可思議的。而為希臘數(shù)學(xué)家所普遍接受的觀點(diǎn)則是“在小的當(dāng)中不存在最小的，但總有更小的”。由此看出中國名、墨兩家已從直觀上理解了無窮小和無窮大，并且對它們有了一定程度的認(rèn)識。希臘德饃克利特的“原子論”與中國這種樸素的無窮小概念類似，但他之后的希臘學(xué)著大都傾向于“無窮小，無窮大是不存在的”觀點(diǎn)。3.2.2對無限可分性、連續(xù)性以及無窮數(shù)和的認(rèn)識比較墨家承認(rèn)以下事實(shí)：一、線段是連續(xù)的，而不是間斷的，否則不可能每次分割都能恰好在線段上；二、線段是無限可分的；三、這種無限分割過程最終會達(dá)到極限狀態(tài)，得到一個(gè)實(shí)在的端，有無限思想；四、暗含有些無窮級數(shù)的和存在的思想。希臘人對無限的理解卻產(chǎn)生了疑惑，為此芝諾提出了以下四個(gè)著明悖論：（1）兩分法悖論向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的東西，首先必須經(jīng)過這路程的一半，然而，要經(jīng)過這路程的一半，又必須先經(jīng)過這一半的一半，如此類推，以至無窮。所以既然這種步步緊縮是無窮的，運(yùn)動(dòng)就根本沒有可能。（2）阿基里斯追不上烏龜阿基里斯總是首先必須到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。（3）飛矢不動(dòng)箭在運(yùn)動(dòng)的過程中的任一時(shí)刻必在一確定位置上因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（4）操場或游行隊(duì)伍悖論甲乙兩件東西以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)，從靜止的丙來看，比如說，甲乙都在一小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2里，可是，從甲看來，則乙在一小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。芝諾的悖論，前兩個(gè)矛頭直指空間和時(shí)間無限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)則是由于不能直觀地看出連續(xù)和無窮集合的性質(zhì)。（參見文獻(xiàn)[13]）3.3從中西方哲學(xué)傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立任何一個(gè)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想都受到某種哲學(xué)思想的影響，而在參考相關(guān)資料后認(rèn)為其中影響較為深遠(yuǎn)的是世界觀中最根本的因素——關(guān)于萬物起源的觀點(diǎn)。古代中國關(guān)于萬物起源的根本觀點(diǎn)是《周易·八卦》所說：“是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”老子則把這一觀點(diǎn)用更為形式化的數(shù)字語言闡述得更加精確，他說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！边@一敘述直觀地來看是中國古代關(guān)于數(shù)的起源的觀點(diǎn)，但實(shí)際上卻有更深層次的含義。這里“一、二、三”并不意味著具體的數(shù)“1、2、3”，也不意味著某幾種具體的物質(zhì)形態(tài)，而僅僅是一種形式化的語言，你可以賦予各種不同的具體內(nèi)容。只有這樣才能真正了解中國古人關(guān)于事物產(chǎn)生、演化的思想觀點(diǎn)。由此可以看出古代中國認(rèn)為世間萬物都是由“一”派生、分裂而形成。在西方，古希臘的知識分子認(rèn)為自然界是有秩序的，并且始終按照一定的方案運(yùn)行。他們肯定在一切表面現(xiàn)象千變?nèi)f化之中有一種始終不變的東西，這一原始物質(zhì)的本質(zhì)是永恒的，所有紛繁復(fù)雜的物質(zhì)形態(tài)都可以用它來解釋，或者說都是由它所構(gòu)成的。其中最有典型意義的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆為（整）數(shù)”觀點(diǎn)，他們認(rèn)為世界的本質(zhì)是數(shù)，把數(shù)看作是真實(shí)事物的終極組成部分。即一切事物對象都是由（整）數(shù)構(gòu)成的，而整數(shù)的基本單位是“1”，因此可以更近一步地說一切對象都是由“1”所構(gòu)成的，是由許多的“1”按不同的方式組合而成，所以“1”是所有真實(shí)事物的最終組成成分。從以上敘述可知：從原始的思想起，中國、西方都認(rèn)為一切事物的起源都是“一”，都有“萬物皆為數(shù)的觀點(diǎn)”，然而對“一”的理解卻恰好相反，正是由于這種差異，從而決定了中西世界觀的差異，進(jìn)一步?jīng)Q定了中西方法論的不同。中國是把“一”看作萬物的起源，由“一”分裂而得到其它整數(shù)乃至所有復(fù)雜事物。在中國人看來“一”是最高級的概念，是由神秘的“道”所產(chǎn)生的，它是神圣的。這也就使得人們不敢貿(mào)然去探索這個(gè)神圣的“一”，也就從一個(gè)方面決定了中國古代數(shù)學(xué)缺乏開創(chuàng)性而注重實(shí)用性的特點(diǎn)。西方人則把“一”看作最基本的組成元素，由“一”組合生成其它整數(shù)，進(jìn)一步生成其它所有事物，它是萬物最基本的組成單位。在他們看來“一”不是神圣的，它是人們探究的對象，這就促使人們不斷探求事物最根本的起源，在方法論上，總是把要研究的對象轉(zhuǎn)化為最基本的單位進(jìn)行研究。（參見文獻(xiàn)[14]）4對后世數(shù)學(xué)的影響及其應(yīng)用4.1對后世數(shù)學(xué)的影響以中國為代表的長于算法的東方數(shù)學(xué)和以希臘為代表的長于邏輯的西方數(shù)學(xué)，是雪白梅香，各有所長。我們知道，極限概念是微積分的最重要概念之一。數(shù)學(xué)家們?nèi)绻婚_始因?yàn)闊o窮小的概念不嚴(yán)格而放棄它，那么微積分就不會誕生。當(dāng)時(shí)的微積分是建立在經(jīng)驗(yàn)觀察或并不很審慎的直觀的基礎(chǔ)上的，以在天文力學(xué)上的實(shí)用性為其后盾，這和中國學(xué)者走的道路類似。到了19世紀(jì)，微積分開始嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)，它要求高度演繹，只有這樣才便于理論自身的發(fā)展，這又和古希臘學(xué)者走的道路一致?？梢?，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，不能偏廢任何一方。在古代西方，芝諾的四個(gè)著名悖論首先觸及到數(shù)學(xué)上敏感而后困惑的“無限”問題。歐多克斯的窮竭法，阿基米德的無窮小思想都含有非常重要的微積分思想。到16世紀(jì)末，由于實(shí)踐的需要和對窮竭法的好奇與興趣，那些促使微積分產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題引起了數(shù)學(xué)家們的廣泛興趣，他們做了大量有意義的工作，為微積分的創(chuàng)立做了思想上和技術(shù)上的準(zhǔn)備。到17世紀(jì)，牛頓、萊布尼茨終于在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分。但是通觀十六、七世紀(jì)歐洲微積分學(xué)發(fā)展的歷史，雖然它以對古代希臘阿基米德等人的著作的研究為起點(diǎn)，然而正如卡爾·B·波耶所指出的，這些探索者們并非繼承希臘人思想與傳統(tǒng)而沿著老路往下走。正好相反，史蒂汶、瓦雷里歐、開普勒、伽利略、卡瓦列里、托里拆利等多位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了古希臘數(shù)學(xué)在處理無限數(shù)問題的失敗而轉(zhuǎn)向，朝著東方數(shù)學(xué)算法傳統(tǒng)的道路前進(jìn)。古希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)嚴(yán)重缺陷在于它無法實(shí)現(xiàn)曲邊形與直線形的轉(zhuǎn)化，其根本原因在于他們在幾何中禁用無限，堅(jiān)持?jǐn)?shù)與量的割裂，致使他們在求積理論方面不得不只依賴于形式邏輯的一支腳迂回曲折地前進(jìn)。近代的歐洲學(xué)者，從東方引進(jìn)了實(shí)數(shù)系統(tǒng)，并建立了符號代數(shù)，逐步發(fā)展了數(shù)學(xué)中的無限觀念和極限方法，從而使古希臘的窮竭法得到脫胎換骨的改造?？梢?，早在劉徽、祖暅的時(shí)代，我國數(shù)學(xué)大體已具備了歐洲十六、七世紀(jì)產(chǎn)生微積分所必要的條件，中算家早于西方接近了微積分的大門，為微積分的產(chǎn)生做出了巨大貢獻(xiàn)。（參見文獻(xiàn)[15]）4.2極限思想在文學(xué)和哲學(xué)方面的影響數(shù)學(xué)是民族文化的一部分，我國古代數(shù)學(xué)家的極限思想必然要在愛哲學(xué)，文學(xué)等方面折射出來。莊子在《天下篇》中講：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭?！比绻堰@句話和求數(shù)列的極限聯(lián)系起來的話，無不為古人深邃的極限思想而折服。荀子在《勸學(xué)篇》中說：“積土成山，風(fēng)雨興焉；積水成淵，蛟龍生焉；積善成德，而神明自得，圣心備焉；不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江河。”古人用形象的比喻說明學(xué)習(xí)知識的過程，如果我們單從比喻的本身，用來說明積分思想也是十分貼切的。老子在《道德經(jīng)》中說：“合抱之木，生于毫末；九層之臺，起于累土；千里之行，始于足下。”比喻事情的成功是由小到大逐漸積累的。如果我們單從比喻的本身來說明定積分的微元法是再合適不過的了。還有成語：日積月累，積少成多，積羽沉舟，集腋成裘，聚沙成塔——這里面都蘊(yùn)涵著深刻的極限思想。（參見文獻(xiàn)[16]）4.3極限思想在古代的應(yīng)用極限思想和方法的運(yùn)用，擴(kuò)大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。例題一[17]從前，有個(gè)農(nóng)人要將23個(gè)西瓜分給四個(gè)兒子，要求甲、乙、丙、丁所分份額的比是QUOTE:QUOTE:QUOTE:QUOTE，且不能切開任何一個(gè)西瓜，問怎樣才能分完25個(gè)西瓜?解利用莊周的極限思想，第一次分甲得QUOTE個(gè)，乙得到QUOTE個(gè)，丙得到QUOTE個(gè)，丁得到QUOTE個(gè)，余下QUOTE個(gè)；第二次將余下的QUOTE個(gè)再按上述比例分給四人：甲得到QUOTE個(gè)，乙得到QUOTE個(gè)，丙得到QUOTE個(gè)，丁得到QUOTE個(gè)，余下QUOTE個(gè)；第三次再將余下的QUOTE個(gè)按上述比例分給四人……一直進(jìn)行下去，四個(gè)人分得個(gè)數(shù)分別為公比為QUOTE的等比數(shù)列，求其和S甲=QUOTE個(gè)S乙=QUOTE+QUOTE個(gè)S丙=QUOTE個(gè)S丁=QUOTE個(gè)又8+6+4+5=23，且8:6:4:5=1/3:1/4:1/6:1/5所以上述解法正確。例題二[18]傳說很久很久以前，有一位老人臨終前留下了41頭羊的遺產(chǎn)給他的3個(gè)兒子，遺囑中要求將遺產(chǎn)的二分之一分給老大，三分之一分給老二，七分之一分給老三。然后面對這41頭羊的遺產(chǎn)及遺囑，三兄弟卻犯難了：總不能將活羊宰殺后進(jìn)行分割。正在三兄弟一籌莫展的時(shí)候，一位過路的老人給他們出了一個(gè)主意：將自己的1頭羊送給三兄弟進(jìn)行分割。這樣，老大分得羊21頭，老二分得羊l4頭，老三分得羊6頭，都很滿意。最后，這位老爺爺又牽著他的那頭羊走了。這就怪了!既然三兄弟都覺得“占了老爺爺?shù)谋阋恕?，然而老爺爺居然又沒有“吃虧”，問題出現(xiàn)在哪里呢?我們仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)遺囑中有問題：QUOTE。按照常理，三兄弟所占比例之和等于1才對。這正是三兄弟不能自行分割遺產(chǎn)的根源所在：他們落入了常規(guī)思維的俗套。事實(shí)上，正因?yàn)槿齻€(gè)分?jǐn)?shù)之和小于l，遺產(chǎn)的分割不能一次性的完成。那么，第一次分割下來，老大分得羊QUOTE頭，老二分得羊QUOTE頭，老三分得羊QUOTE頭，還余下QUOTE頭羊。這仍然算是老人的遺產(chǎn)，按照遺囑依然要分割下去（常規(guī)思維是一次分割止）。二次分割下來，老大再得QUOTE頭羊，老二再得QUOTE頭羊，老三再得QUOTE頭羊，如此至無窮，當(dāng)然上面這些都是理論上的數(shù)學(xué)，兄弟實(shí)際應(yīng)得遺產(chǎn)數(shù)分別是公比為QUOTE，無窮遞減等比數(shù)列的各項(xiàng)和，即老大應(yīng)得QUOTE頭。老二應(yīng)得14頭，老三應(yīng)得6頭，老人按照極限思想早就合理地安排好的分割。也正是如此，老爺爺知道三兄弟可以自行分割遺產(chǎn)，卻又不便說明，便弄虛送給三兄弟一頭羊分割。由此看出，我們只有善于觀察思考，就會發(fā)現(xiàn)原來我們身邊充滿了數(shù)學(xué)，我們仿佛置身在一個(gè)數(shù)學(xué)的海洋之中。5結(jié)論數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長，古代數(shù)學(xué)極限思想帶有明顯的創(chuàng)造性，對后世影響是巨大和深遠(yuǎn)的，在整理和學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)時(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)：中國獨(dú)創(chuàng)的十進(jìn)制小數(shù)與極限概念一脈相承，割圓術(shù)則是極限概念的實(shí)際應(yīng)用，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”已蘊(yùn)含著極限的基本思想。可以肯定地說，極限思想的偉大發(fā)現(xiàn)，中國古代數(shù)學(xué)的思想發(fā)揮了重要作用。微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等在求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的《夢溪筆談》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時(shí)代巨著《數(shù)書九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”——增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門。可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的。沒有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)就不會有現(xiàn)代的文化，沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的。中國在14世紀(jì)以前是世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國，數(shù)典念祖，我們相信，有良好數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的中國，一定可以成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)強(qiáng)國。參考文獻(xiàn)[1]吳文俊.九章算術(shù)與劉徽[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1982.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3]Walter.Rudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis[M].LibraryofCongressCataloginginPublicationdata.1976.[4]吳立寶,王新民.中國古代數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵的變量思想[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào).2005,24(4):83-85.[5]陳宇.極限論的發(fā)展[J].邯鄲大學(xué)學(xué)報(bào).2000,2:11-12.[6]JohnStillwell.GeometryofSurfaces[M].北京:世界圖書出版公司,2009.[7]佟健華.中國古代數(shù)學(xué)教育史[M].北京：科學(xué)出版社,2007.[8]許晶.淺談劉徽的極限思想[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2009,25(9):25-26.[9]韓桂玲徐峰.談?wù)剶?shù)π[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào).2008,6(24):61.[10]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1979.[11]宋述剛,潘清芳.割圓術(shù)與窮竭法[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).割圓術(shù)與窮竭法.2002,25(5):108-110.[12]王曉碩.極限概念發(fā)展的幾個(gè)歷史階段[J].高等數(shù)學(xué)研究.2001,4(3):40-43.[13]孫慶華,王剛.中國先秦時(shí)期與古希臘時(shí)期極限思想的比較研究[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào).2000,26(2):107-109.[14]譚瓊?cè)A.從中西方哲學(xué)傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用.2004,24(4):100-102.[15]陳順清.中國古代數(shù)學(xué)對微積分形成的貢獻(xiàn)[J].四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)).2007,17(2):1-5.[16]張曉麗.淺談古代數(shù)學(xué)極限思想[J].經(jīng)驗(yàn)交流.2005,9:110-112.[17]王汝發(fā).古代極限思想在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.1993,6:42-43.[18]何國富.古典衰分中的極限問題[J].麗水師專學(xué)報(bào)(自然并學(xué)版).1994,16(2):24-25.文獻(xiàn)綜述中國古代數(shù)學(xué)中的極限思想前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)）極限是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果(參見文獻(xiàn)[1])。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。極限的應(yīng)用及推廣已涉及社會、科學(xué)及研究的很多方面。對其進(jìn)行研究不僅在理論上也在實(shí)踐中具有很大的意義。主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期（公元前770——前221）道家的代表人物莊子就有了極限思想，據(jù)《莊子》“天下篇”中記載：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”[2][3]。意思是說一尺長的木棒每天去下前一天所剩的一半，如此下去，永遠(yuǎn)也取不完。這反映了古人對極限的一種思考，它不但表達(dá)了我們祖先的極限思想，也提供了一個(gè)“無窮小量”的實(shí)際例子。這個(gè)經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學(xué)中還經(jīng)常使用(參見文獻(xiàn)[4])。我國古代的極限思想與方法主要寓于求積(面積、體積)理論。劉徽繼承和發(fā)揚(yáng)了先秦諸子關(guān)于極限的思想用“割圓術(shù)”和“陽馬術(shù)”等成功地解決了求積問題。在《九章算術(shù)》的“圓田術(shù)”中給出了計(jì)算圓面積的法則:“半周半徑相乘得積步?！奔磮A的面積S與一個(gè)長為半周C/2,寬為半徑的長方形的面積相等:S=C/2×R(參見文獻(xiàn)[5])。劉徽注文首先指出古率“周三徑一”(即π=3)實(shí)際上既是圓內(nèi)接正六邊形的周長C與直徑2R之比,以此說明古率之粗疏。為推證圓面積公式,劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始,不斷割圓,徽注曰:“又按為圖,以六觚之一面乘半徑,因而三之,得十二觚之冪。若又割之,次以十二觚之一面乘半徑,因而六之,則得二十四觚之冪。割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣?！盵6]。西漢末年劉歆在為王莽設(shè)計(jì)制作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發(fā)現(xiàn)直徑為一、圓周為三的古率過于粗略，經(jīng)過進(jìn)一步的推算，求得圓周率的數(shù)值為3.1547。東漢著名科學(xué)家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時(shí)，數(shù)學(xué)家王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155(參見文獻(xiàn)[7])。劉徽以后，探求圓周率有成就的學(xué)者，先后有南朝時(shí)代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。以上的科學(xué)家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻(xiàn)(參見文獻(xiàn)[8])。祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計(jì)算的結(jié)果共得到兩個(gè)數(shù)：一個(gè)是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個(gè)是朒數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間。祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個(gè)直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計(jì)算。當(dāng)他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時(shí)，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形??一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個(gè)內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用（參見文獻(xiàn)[9]）?！案顖A術(shù)”與“窮竭法”是古代東西方數(shù)學(xué)智慧的代表。對之進(jìn)行比較,可以從某一側(cè)面考察古代東西方民族思維方式的異同：思路一致，思想不同等等(參見文獻(xiàn)[10][11])。中國名、墨兩家已從直觀上理解了無窮小和無窮大，并且對它們有了一定程度的認(rèn)識；希臘德饃克利特的“原子論”與中國這種樸素的無窮小概念類似，但他之后的希臘學(xué)著大都傾向于“無窮小，無窮大是不存在的”觀點(diǎn)（參見文獻(xiàn)[12]）。墨家承認(rèn)以下事實(shí)：一、線段是連續(xù)的，而不是間斷的，否則不可能每次分割都能恰好在線段上；二、線段是無限可分的；三、這種無限分割過程最終會達(dá)到極限狀態(tài)，得到一個(gè)實(shí)在的端，有實(shí)無限思想；四、暗含有些無窮級數(shù)的和存在的思想。希臘人對無限的理解卻產(chǎn)生了疑惑，為此芝諾提出了以下四個(gè)著名悖論：（1）兩分法悖論向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的東西，首先必須經(jīng)過這路程的一半，然而，要經(jīng)過這路程的一半，又必須先經(jīng)過這一半的一半，如此類推，以至無窮。所以既然這種步步緊縮是無窮的，運(yùn)動(dòng)就根本沒有可能。（2）阿基里斯追不上烏龜阿基里斯總是首先必須到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是泡在前頭。（3）飛矢不動(dòng)箭在運(yùn)動(dòng)的過程中的任一時(shí)刻必在一確定位置上因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（4）操場或游行隊(duì)伍悖論甲乙兩件東西以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)，從靜止的丙來看，比如說，甲乙都在一小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2里?？墒?，從甲看來，則乙在一小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。芝諾的悖論，前兩個(gè)矛頭直指空間和時(shí)間無限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)則是由于不能直觀地看出連續(xù)和無窮集合的性質(zhì)（參見文獻(xiàn)[13]）。以中國為代表的長于算法的東方數(shù)學(xué)和以希臘為代表的長于邏輯的西方數(shù)學(xué),是雪白梅香,各有所長。我們知道,極限概念是微積分的最重要概念之一。數(shù)學(xué)家們?nèi)绻婚_始因?yàn)闊o窮小的概念不嚴(yán)格而放棄它,那么微積分就不會誕生。當(dāng)時(shí)的微積分是建立在經(jīng)驗(yàn)觀察或并不很審慎的直觀的基礎(chǔ)上的,以在天文力學(xué)上的實(shí)用性為其后盾。這和中國學(xué)者走的道路類似。到了19世紀(jì),微積分開始嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng),它要求高度演繹。只有這樣才便于理論自身的發(fā)展,這又和古希臘學(xué)者走的道路一致?？梢?在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中,不能偏廢任何一方。在古代西方,芝諾的四個(gè)著名悖論首先觸及到數(shù)學(xué)上敏感而后困惑的“無限”問題。歐多克斯的窮竭法,阿基米德的無窮小思想都含有非常重要的微積分思想.到16世紀(jì)末,由于實(shí)踐的需要和對窮竭法的好奇與興趣,那些促使微積分產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題引起了數(shù)學(xué)家們的廣泛興趣,他們做了大量有意義的工作,為微積分的創(chuàng)立做了思想上和技術(shù)上的準(zhǔn)備。到17世紀(jì),牛頓、萊布尼茨終于在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分(參見文獻(xiàn)[14])。極限思想和方法的運(yùn)用，擴(kuò)大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。例題一[15]從前，有個(gè)弄人要將23個(gè)西瓜分給四個(gè)兒子，要求甲、乙、丙、丁所分份額的比是13：14：16解利用莊周的極限思想，第一次分甲得233個(gè)，乙得到234個(gè)，丙得到236個(gè)，丁得到524×23個(gè)，余下2324個(gè)；第二次將余下的2324個(gè)再按上述比例分給四人：甲得到2372個(gè)，乙得到2396個(gè)，丙得到23144個(gè)，丁得到S甲=233S乙=234+23S丙=236S丁=11524又8+6+4+5=23，且8:6:4:5=1/3:1/4:1/6:1/5所以上述解法正確。例題二[16][17]傳說很久很久以前，有一位老人臨終前留下了41頭羊的遺產(chǎn)給他的3個(gè)兒子，遺囑中要求將遺產(chǎn)的二分之一分給老大，三分之一分給老二，七分之一分給老三。然后面對這41頭羊的遺產(chǎn)及遺囑，三兄弟卻犯難了：總不能將活羊宰殺后進(jìn)行分割。正在三兄弟一籌莫展的時(shí)候，一位過路的老人給他們出了一個(gè)主意：將自己的1頭羊送給三兄弟進(jìn)行分割。這樣，老大分得羊21頭，老二分得羊l4頭，老三分得羊6頭，都很滿意。最后，這位老爺爺又牽著他的那頭羊走了。這就怪了!既然三兄弟都覺得“占了老爺爺?shù)谋阋恕?，然而老爺爺居然又沒有“吃虧”，問題出現(xiàn)在哪里呢?我們仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)遺囑中有問題：12+13+17=4142<1。按照常理，三兄弟所占比例之和等于1才對。這正是三兄弟不能自行分割遺產(chǎn)的根源所在：他們落入了常規(guī)思維的俗套。事實(shí)上，正因?yàn)槿齻€(gè)分?jǐn)?shù)之和小于l，遺產(chǎn)的分割不能一次性的完成。那么，第一次分割下來，老大分得羊412頭，老二分得羊413頭，老三分得羊由此看出，我們只有善于觀察思考，就會發(fā)現(xiàn)原來我們身邊充滿了數(shù)學(xué)，我們仿佛置身在一個(gè)數(shù)學(xué)的海洋之中?？偨Y(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見解并對進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測）數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長，古代數(shù)學(xué)極限思想帶有明顯的創(chuàng)造性，對后世影響是巨大和深遠(yuǎn)的，在整理和學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)時(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)：中國獨(dú)創(chuàng)的十進(jìn)制小數(shù)與極限概念一脈相通，割圓術(shù)則是極限概念的實(shí)際應(yīng)用，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”等等已蘊(yùn)含著極限的基本思想。可以肯定地說，極限思想的偉大發(fā)現(xiàn)，中國古代數(shù)學(xué)的思想發(fā)揮了重要作用。四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）（通常閱讀文獻(xiàn)不少于15篇，其中外文文獻(xiàn)不少于2篇）[1]Walter.Rudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis[M].LibraryofCongressCataloginginPublicationdata.1976.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊,第三版)[M].北京:高等教育出版社.2001.[3]吳立寶,王新民.中國古代數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵的變量思想[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào).2005,24(4):83-85.[4]陳宇.極限論的發(fā)展[J].邯鄲大學(xué)學(xué)報(bào).2000,2:11-12.[5]陳順清.中國古代數(shù)學(xué)對微積分形成的貢獻(xiàn)[J].四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)).2007,17(2):1-5.[6]JohnStillwell.GeometryofSurfaces[M].北京:世界圖書出版公司，2009.[7]佟健華.中國古代數(shù)學(xué)教育史[M].北京:科學(xué)出版社,2007.[8]許晶.淺談劉徽的極限思想[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2009,25(9):25-26.[9]韓桂玲,徐峰.談?wù)剶?shù)π[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào).2008,6(24):61.[10]宋述剛,潘清芳.割圓術(shù)與窮竭法[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2002,25(5):108-110.[11]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1979.[12]王曉碩.極限概念發(fā)展的幾個(gè)歷史階段[J].高等數(shù)學(xué)研究.2001,4(3):40-43.[13]孫慶華,王剛.中國先秦時(shí)期與古希臘時(shí)期極限思想的比較研究[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào).2000,26(2):107-109.[14]譚瓊?cè)A.從中西方哲學(xué)傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用.2004,24(4):100-102.[15]王汝發(fā).古代極限思想在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.1993,6:42-43.[16]何國富.古典衰分中的極限問題[J].麗水師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).1994,16(2):24-25.[17]張曉麗.淺談古代數(shù)學(xué)極限思想[J].經(jīng)驗(yàn)交流.2005,9:110-112.開題報(bào)告中國古代數(shù)學(xué)中的極限思想一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）微積分是近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志之一，而其中極限概念與極限方法是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)。美國學(xué)者C.B.波斯灣耶在他的《微積分概念史》一書中，多處指出在古希臘數(shù)學(xué)中沒有產(chǎn)生極限概念和使用過極限方法，但在古代東方的中國，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期就有了極限思想的萌芽，對宇宙的無線性與連續(xù)性已有了相當(dāng)深的認(rèn)識；到三國魏晉時(shí)期，我國著名數(shù)學(xué)家劉徽受到秦漢的極限思想的啟迪，繼承并發(fā)展了極限思想，在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，最先創(chuàng)造性地把極限思想引入數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)方法，這種方法在圓田術(shù)和陽馬術(shù)得到了充分的發(fā)揮和廣泛作用，可以說為微積分的產(chǎn)生準(zhǔn)備了必要的條件(參見文獻(xiàn)[1][2])。本次論文設(shè)計(jì)針對極限思想的萌芽、發(fā)展到完善過程，以及其在古代數(shù)學(xué)中應(yīng)用和影響做較為全面的探討。數(shù)學(xué)中有很多重要的思想和方法，比如極限思想就是人們認(rèn)識無限運(yùn)動(dòng)變化的偉大結(jié)晶，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一條重要的紐帶[3]。這種思想和方法的運(yùn)用，擴(kuò)大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結(jié)論和經(jīng)典故事。而極限又是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念，高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓與深化。作為研究函數(shù)最基本的方法——極限方法，早在古代就有比較清楚的描述，其在古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也有很多具體實(shí)例。因此，結(jié)合國外的極限思想的應(yīng)用實(shí)例，對中國古代極限思想的理論及實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行研究十分必要。以中國為代表的長于算法的東方數(shù)學(xué)和以希臘為代表的長于邏輯的西方數(shù)學(xué),是雪白梅香,各有所長(參見文獻(xiàn)[4])。我們知道,極限概念是微積分的最重要概念之一。數(shù)學(xué)家們?nèi)绻婚_始因?yàn)闊o窮小的概念不嚴(yán)格而放棄它,那么微積分就不會誕生。當(dāng)時(shí)的微積分是建立在經(jīng)驗(yàn)觀察或并不很審慎的直觀的基礎(chǔ)上的,以在天文力學(xué)上的實(shí)用性為其后盾。這和中國學(xué)者走的道路類似。到了19世紀(jì),微積分開始嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng),它要求高度演繹。只有這樣才便于理論自身的發(fā)展,這又和古希臘學(xué)者走的道路一致?？梢?在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中,不能偏廢任何一方（參見文獻(xiàn)[5]）。在古代西方,芝諾的四個(gè)著名悖論首先觸及到數(shù)學(xué)上敏感而后困惑的“無限”問題。歐多克斯的窮竭法,阿基米德的無窮小思想都含有非常重要的微積分思想。到16世紀(jì)末,由于實(shí)踐的需要和對窮竭法的好奇與興趣,那些促使微積分產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題引起了數(shù)學(xué)家們的廣泛興趣,他們做了大量有意義的工作,為微積分的創(chuàng)立做了思想上和技術(shù)上的準(zhǔn)備。到17世紀(jì),牛頓、萊布尼茨終于在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分（參見文獻(xiàn)[6]）。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題極限思想是人們對有限、無限問題不斷深化認(rèn)識的過程中取得的。從萌芽到完善，經(jīng)過了近2000年時(shí)間，可以說是數(shù)學(xué)史上一次漫長的旅途。早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期（公元前770——前221）道家的代表人物莊子就有了極限思想，據(jù)《莊子》“天下篇”中記載：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”[7]。意思是說一尺長的木棒每天去下前一天所剩的一半，如此下去，永遠(yuǎn)也取不完。這反映了古人對極限的一種思考，它不但表達(dá)了我們祖先的極限思想，也提供了一個(gè)“無窮小量”的實(shí)際例子。這個(gè)經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學(xué)中還經(jīng)常使用。我國古代的極限思想與方法